63. ročník matematickej olympiády 2013-2014

aktualizované 20.8.2014 14:40

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
				krajské
Zadania úloh domáceho kola na stiahnutie vo formáte PDF: (uložiť ako …)

Z5-I-1
Medzi dvoma tyčami je napnutá šnúra dlhá 3,8m, na ktorú chce mamička zavesiť vypraté vreckovky. Všetky vreckovky majú tvar štvorca so stranou 40 cm. Na šnúre však už visia dve vreckovky rovnakého tvaru od susedky a tie chce mamička nechať na svojich miestach. Pritom ľavý roh jednej z týchto vreckoviek je 60 cm od ľavej tyče a ľavý roh tej druhej je 1,3m od pravej tyče. Koľko najviac vreckoviek môže mamička na šnúru zavesiť? Vreckovky sa vešajú natiahnuté za oba rohy tak, aby sa žiadne dve neprekrývali.

Z5-I-2
Vojto má dve rovnaké sklíčka tvaru rovnostranného trojuholníka, ktoré sa líšia iba svojou farbou – jedno je červené, druhé modré. Keď sa sklíčka položia cez seba, vznikne útvar fialovej farby. Uveďte príklad prekrývania sklíčok, pri ktorom mohol Vojto dostať:

1. fialový trojuholník,

2. fialový štvoruholník,

3. fialový päťuholník,

4. fialový šesťuholník.

Z5-I-3
Palindróm je také číslo, ktoré je rovnaké, či už ho čítame spredu alebo zozadu. (Napr. číslo 1881 je palindróm.) Nájdite taký dvojciferný a trojciferný palindróm, aby ich súčet bol štvorciferný palindróm.

Z5-I-4
Eve sa páčia čísla deliteľné šiestimi, Zdenke čísla obsahujúce aspoň jednu šestku a Jane čísla, ktorých ciferný súčet je 6.

1. Ktoré dvojciferné čísla sa páčia všetkým trom dievčatám?

2. Ktoré dvojciferné čísla sa dvom dievčatám páčia, ale jednej sa nepáčia?

Z5-I-5
Doplňte do prázdnych krúžkov na obrázku prirodzené čísla tak, aby súčet čísel na každej strane trojuholníka bol rovnaký a aby súčet všetkých šiestich čísel bol 100.

Z5-I-6
Recepčná v hoteli si vykladala karty a dostala nasledujúcu postupnosť:

5, 9, 2, 7, 3, 6, 8, 4.

Presunula dve susedné karty na iné miesto tak, že táto dvojica opäť susedila, a to v rovnakom poradí. Tento krok urobila celkom trikrát, kým neboli karty usporiadané vzostupne podľa svojej hodnoty. Zistite, ako recepčná postupovala.

Z5-II-1
Na kraji cesty je za sebou niekoľko rovnako dlhých parkovacích miest. Jeden autobus stál na piatom až siedmom mieste zľava, druhý autobus zaberal ôsme až desiate miesto sprava, inak bolo parkovisko prázdne. Neskôr tu zaparkovali ďalšie štyri autobusy a žiadny ďalší autobus už sa na parkovisko nezmestil. Určte, koľko najviac parkovacích miest mohlo byť na parkovisku, ak každý autobus zaberá presne tri parkovacie miesta.

Z5-II-2
Ľuboš rozdelil obdĺžnik jednou čiarou na dva menšie obdĺžniky. Obvod veľkého obdĺžnika je 76 cm, obvody menších obdĺžnikov sú 40 cm a 52 cm. Určte rozmery veľkého obdĺžnika.

Z5-II-3
Juraj a Peter spustili stopky a niekedy v priebehu prvých 15 sekúnd od spustenia každý z nich začal tlieskať. Juraj po svojom prvom tlesknutí tlieskal pravidelne každých 7 sekúnd, Peter po svojom prvom tlesknutí tlieskal pravidelne každých 13 sekúnd. V 90. sekunde tleskli obaja naraz. Určte všetky možnosti, kedy mohol začať tlieskať Juraj a kedy Peter.

Z6-I-1
V továrni na výrobu plyšových hračiek majú dva stroje. Prvý vyrobí štyroch zajacov za rovnaký čas, za ktorý vyrobí druhý päť medveďov. Aby bolo ich ovládanie jednoduchšie, oba stroje sa spúšťajú a vypínajú naraz spoločným vypínačom. Navyše sú stroje nastavené tak, že prvý po spustení najskôr vyrobí troch ružových zajacov, potom jedného modrého, potom zasa troch ružových atď. Druhý po spustení najskôr vyrobí štyroch modrých medveďov, potom jedného ružového, potom opäť štyroch modrých atď. Po istom čase bolo na týchto dvoch strojoch vyrobených celkom 220 modrých hračiek. Koľko bolo vtedy vyrobených ružových zajacov?

Z6-I-2
Juro, Mišo, Peter, Filip a Samo skákali do diaľky. Samo skočil 135 cm, Peter skočil o 4 cm viac ako Juro, Juro o 6 cm menej ako Mišo a Mišo o 7 cm menej ako Filip. Navyše Filipov skok bol presne v polovici medzi Petrovým a Samovým. Zistite, koľko cm skočili jednotliví chlapci.

Z6-I-3
Koľko musíme napísať cifier, ak chceme vypísať všetky prirodzené čísla od 1 do 2013?

Z6-I-4
Správne vyplnená tabuľka na obrázku má obsahovať šesť prirodzených čísel, pričom v každom sivom políčku má byť súčet čísel z dvoch bielych políčok, ktoré s ním susedia.

Určte čísla správne vyplnenej tabuľky, ak viete, že súčet prvých dvoch čísel zľava je 33, súčet prvých dvoch čísel sprava je 28 a súčet všetkých šiestich čísel je 64.

Z6-I-5
Adam dostal od deda drevené kocky. Všetky boli rovnaké a mali hranu dlhú 4 cm. Rozhodol sa, že z nich bude stavať komíny, a to také:

• aby boli použité všetky kocky,
• aby komín pri pohľade zhora vyzeral ako „dutý obdĺžnik“ alebo „dutý štvorec“ ohraničený jedným radom kociek (podobne ako na obrázku),
• aby ani v najvyššej vrstve žiadna kocka nechýbala.

Adam zistil, že komín vysoký 16 cm, 20 cm aj 24 cm sa podľa týchto pravidiel určite dá z jeho kociek postaviť.

• Aký najmenší počet kociek mohol Adam dostať od deda?
• Aký vysoký je najvyšší komín, ktorý môže Adam s týmto najmenším počtom kociek postaviť podľa uvedených pravidiel?

Z6-I-6
Na obrázku je sieť zložená z 20 zhodných obdĺžnikov, do ktorej sme zakreslili tri útvary a vyfarbili ich. Obdĺžnik označený písmenom A a šesťuholník označený písmenom B majú zhodné obvody, a to 56 cm. Vypočítajte obvod tretieho útvaru označeného písmenom C.

	A
B			C

Z6-II-1
Keď kráčame pozdĺž plota zo severu na juh, sú rozstupy medzi jeho stĺpikmi zozačiatku zhodné. Od určitého stĺpika sa rozstup zmenší na 2,9 metra a taký zostáva až po južný koniec plota. Medzi 1. a 16. stĺpikom (počítané od severu) sa rozstupy nemenia a vzdialenosť medzi týmito dvoma stĺpikmi je 48 metrov. Vzdialenosť medzi 16. a 28. stĺpikom je 36 metrov. Koľký stĺpik má od svojich susedných stĺpikov rôzne rozstupy

Z6-II-2
Ivana, Majka, Lucka, Saša a Zuzka pretekali v čítaní tej istej knihy. Za jednu hodinu stihla Lucka prečítať 32 strán, čo bolo presne v strede medzi počtami strán, ktoré stihli prečítať Saša a Zuzka. Ivana prečítala o 5 strán viac ako Zuzka a Majka prečítala o 8 strán menej ako Saša. Ivanin výsledok bol presne v strede medzi Majkiným a Zuzkiným. Určte, koľko strán prečítali jednotlivé dievčatá.

Z6-II-3
Na obrázku je znázornených niekoľko pravouholníkov s niekoľkými spoločnými vrcholmi. Ich dĺžky strán zapísané v centimetroch sú celé čísla. Obsah pravouholníka DRAK je rovný 44 cm², obsah pravouholníka DUPE je rovný 64 cm² a obsah mnohouholníka DUPLAK je rovný 92 cm². Určte dĺžky strán mnohouholníka DUPLAK.

Z7-I-1
Na lavičke v parku sedia vedľa seba Anička, Barborka, Cilka, Dominik a Edo. Anička má 4 roky, Edo má 10 rokov, súčin vekov Aničky, Barborky a Cilky je 140, súčin vekov Barborky, Cilky a Dominika je 280 a súčin vekov Cilky, Dominika a Eda je 560. Koľko rokov má Cilka?

Z7-I-2
K starej mame prišli na prázdniny vnuci – päť rôzne starých bratov. Stará mama im povedala, že pre nich má celkom 60€ ako vreckové, ktoré si majú rozdeliť tak, aby:

• najstarší dostal najviac,
• každý mladší dostal o určitú čiastku menej ako jeho starší vekom najbližší súrodenec,
• táto čiastka bola stále rovnaká,
• najmladší dostal sumu, ktorá sa dá vyplatiť v jednoeurovkách a ktorá nie je menšia ako 5€, ale nie je väčšia ako 8€.

Určte všetky možnosti, ako si mohli vnuci vreckové rozdeliť.

Z7-I-3
Juro, Mišo, Peter, Filip a Samo skákali do diaľky. Samo skočil 135 cm, Peter skočil o 4 cm viac ako Juro a Mišo o 7 cm menej ako Filip. Navyše Filipov skok bol presne v polovici medzi tým Petrovým a Samovým a najkratší skok meral 127 cm. Zistite, koľko cm skočili jednotliví chlapci.

Z7-I-4
V hostinci U troch prasiatok obsluhujú Pašík, Rašík a Sašík. Pašík je nečestný, takže každému hosťovi pripočíta k celkovej cene 6 grajciarov. Rašík je poctivec, každému vyúčtuje presne to, čo zjedol a vypil. Sašík je dobrák, takže každému hosťovi dá zľavu z celkovej ceny vo výške 20%. Prasiatka sa na seba tak podobajú, že žiadny hosť nepozná, ktoré práve obsluhuje. Koza Lujza zašla v pondelok, v utorok aj v stredu do tohto hostinca na čučoriedkovú buchtu. Napriek tomu, že vedela, že v pondelok bol Rašík chorý a neobsluhoval, utratila za svoju pondelkovú, utorkovú aj stredajšiu buchtu dokopy rovnako, ako keby ju vždy obsluhoval Rašík. Koľko grajciarov účtuje Rašík za jednu čučoriedkovú buchtu? Nájdite všetky možnosti. (Ceny uvádzané v jedálnom lístku sa v tieto dni nemenili.)

Z7-I-5
Mamička delí čokoládu, ktorá má 6 × 4 rovnakých dielikov, svojim trom deťom. Ako môže mamička čokoládu rozdeliť na práve tri časti s rovnakým obsahom tak, aby jeden útvar bol trojuholník, jeden štvoruholník a jeden päťuholník?

Z7-I-6
Keď Cézar stojí na psej búde a Dunčo na zemi, je Cézar o 70 cm vyšší ako Dunčo. Keď Dunčo stojí na psej búde a Cézar na zemi, je Dunčo o 90 cm vyšší ako Cézar. Aká vysoká je psia búda?

Z7-II-1
Tabuľka na obrázku má obsahovať sedem prirodzených čísel, pričom v každom sivom políčku má byť súčin čísel z dvoch bielych políčok, ktoré s ním susedia. Čísla v bielych políčkach sú navzájom rôzne a súčin čísel v sivých políčkach je rovný 525. Aký je súčet čísel v sivých políčkach? Nájdite všetky možnosti.

Z7-II-2
Ivana, Majka, Lucka, Sača a Zuzka pretekali v čítaní tej istej knihy. Za jednu hodinu stihla Lucka prečítať 32 strán, čo bolo presne v strede medzi počtami strán, ktoré stihli prečítať Saša a Zuzka. Ivana prečítala o 5 strán viac ako Zuzka a Majka prečítala o 8 strán menej ako Saša. Žiadne dve dievčatá neprečítali rovnaký počet strán a najhorší výsledok bol 27 strán. Určte, koľko strán prečítali jednotlivé dievčatá.

Z7-II-3
Po náraze kamienka praskla sklenená tabuľa tak, že vznikli štyri menšie trojuholníky so spoločným vrcholom v mieste nárazu. Pritom platí, že:

• sklenená tabuľa mala tvar obdĺžnika, ktorý bol 8 dm široký a 6 dm vysoký,
• trojuholník vpravo mal trikrát väčší obsah ako trojuholník vľavo,
• trojuholník vľavo mal dvakrát menší obsah ako trojuholník dole.

Určte vzdialenosti bodu nárazu od strán obdĺžnika.

Z8-I-1

Po okružnej linke v meste ide električka, v ktorej je 300 cestujúcich. Na každej zastávke sa odohrá jedna z nasledujúcich situácií:

• ak je v električke aspoň 7 cestujúcich, tak ich 7 vystúpi,
• ak je v električke menej ako 7 cestujúcich, tak 5 nových cestujúcich pristúpi.

Vysvetlite, prečo v istom okamihu v električke neostane žiadny cestujúci. Potom zistite, koľko by malo byť na začiatku v električke cestujúcich, aby sa električka nikdy nevyprázdnila.

Z8-I-2

Mamička delí čokoládu, ktorá má 6 × 4 rovnakých dielikov, svojim štyrom deťom. Ako môže mamička čokoládu rozdeliť na práve štyri časti s rovnakým obsahom tak, aby jeden útvar bol trojuholník, jeden štvoruholník, jeden päťuholník a jeden šesťuholník?

Z8-I-3

Zmeňte v každom z troch čísel jednu cifru tak, aby bol príklad na odčítanie bez chyby:

  7 2 4
– 3 0 7
  1 8 8

Nájdite všetky riešenia.

Z8-I-4

Trojuholníky ABC a DEF sú rovnostranné s dĺžkou strany 5 cm. Tieto trojuholníky sú položené cez seba tak, aby strany jedného trojuholníka boli rovnobežné so stranami druhého a aby prienikom týchto dvoch trojuholníkov bol šesťuholník (na obrázku označený ako GHIJKL).

Je možné určiť obvod dvanásťuholníka AGEHBIFJCKDL bez toho, aby sme poznali presnejšie informácie o polohe trojuholníkov? Ak áno, spočítajte ho; ak nie, vysvetlite prečo.

Z8-I-5

Zákazník privážajúci odpad do zberných surovín je povinný zastaviť naloženým autom na váhe a po vykládke odpadu znova. Rozdiel nameraných hmotností tak zodpovedá privezenému odpadu. Pat a Mat spravili chybu. Pri vážení naloženého auta sa na váhu priplietol Pat a pri vážení vyloženého auta sa tam namiesto Pata ocitol Mat. Vedúci zberných surovín si tak zaznamenal rozdiel 332 kg. Následne sa na prázdnu váhu postavili spolu vedúci a Pat, potom samotný Mat a váha ukázala rozdiel 86 kg. Ďalej sa spolu zvážili vedúci a Mat, potom samotný Pat a váha ukázala rozdiel 64 kg. Koľko v skutočnosti vážil privezený odpad?

Z8-I-6

V dome máme medzi dvoma poschodiami dve rôzne schodiská. Na každom z týchto schodísk sú všetky schody rovnako vysoké. Jedno zo schodísk má každý schod vysoký 10 cm, druhé má o 11 schodov menej ako to prvé. Behom dňa som išiel päťkrát nahor a päťkrát nadol, pričom som si medzi týmito dvoma schodiskami vyberal náhodne. Celkom som na každom zo schodísk zdolal rovnaký počet schodov. Aký je výškový rozdiel medzi poschodiami?

Z8-II-1
Angela, Barbora, Jano, Vlado a Matúš súťažili v hode papierovým lietadielkom. Každý hádzal raz a súčet dĺžok ich hodov bol 41 metrov. Matúš hodil najmenej, čo bolo o 90 cm menej ako hodila Angela, a tá hodila o 60 cm menej ako Vlado. Jano hodil najďalej a trafil lietadielkom do pásky označujúcej celé metre. Ak by súťažili iba Matúš, Vlado a Angela, priemerná dĺžka hodu by bola o 20 cm kratšia. Určte dĺžky hodov všetkých menovaných detí.

Z8-II-2
Daný je štvoruholník ABCD, pozri obrázok. Bod T₁ je ťažiskom trojuholníka BCD, bod T₂ je ťažiskom trojuholníka ABD a body T₁ a T₂ ležia na úsečke AC. Dĺžka úsečky T₁T₂ je 3 cm a bod D má od úsečky AC vzdialenosť 3 cm. Určte obsah štvoruholníka ABCD.

Z8-II-3
V meste rekordov a kuriozít postavili pyramídu z kociek. V hornej vrstve je jedna kocka a počty kociek v jednotlivých vrstvách sa smerom nadol zväčšujú vždy o dve (niekoľko horných vrstiev stavby je znázornených na obrázku). Prvá, teda najspodnejšia vrstva má čiernu farbu, druhá sivú, tretia bielu, štvrtá opäť čiernu, piata sivú, šiesta bielu a takto sa farby pravidelne striedajú až k hornej vrstve. Určte, koľko má pyramída vrstiev, ak viete, že čiernych kociek je použitých o 55 viac ako bielych.

Z9-I-1

Peter si myslí dvojciferné číslo. Keď toto číslo napíše dvakrát za sebou, vznikne štvorciferné číslo deliteľné deviatimi. Keď to isté číslo napíše trikrát za sebou, vznikne šesťciferné číslo deliteľné ôsmimi. Zistite, aké číslo si môže Peter myslieť.

Z9-I-2

Daný je rovnoramenný lichobežník s dĺžkami strán |AB| = 31 cm, |BC| = 26 cm a |CD| = 11 cm. Na strane AB je bod E určený pomerom vzdialeností |AE|:|EB| = = 3:28. Vypočítajte obvod trojuholníka CDE.

Z9-I-3

Podlahu tvaru obdĺžnika so stranami 360 cm a 540 cm máme pokryť (bez medzier) zhodnými štvorcovými dlaždicami. Môžeme si vybrať z dvoch typov štvorcových dlaždíc, ktorých strany sú v pomere 2 : 3. V oboch prípadoch sa dá pokryť celá plocha jedným typom dlaždíc bez pílenia. Menších dlaždíc by sme potrebovali o 30 viac ako väčších. Určte, ako dlhé sú strany dlaždíc.

Z9-I-4

V pravouholníku ACKI sú vyznačené dve rovnobežky so susednými stranami a jedna uhlopriečka (obrázok). Pritom trojuholníky ABD a GHK sú zhodné. Určte pomer obsahov pravouholníkov ABFE a FHKJ.

Z9-I-5

Eva riešila experimentálnu úlohu Fyzikálnej olympiády. Dopoludnia od 9:15 robila v trojminútových odstupoch 4 merania. Získané hodnoty zapisovala do tabuľky, ktorú si pripravila v počítači:

hodín	minút	hodnota
9	15
9	18
9	21
9	24

Popoludní v experimente pokračovala. Tentoraz urobila v trojminútových odstupoch 9 meraní a hodnoty zapisovala do podobnej tabuľky. Omylom do počítača zadala, aby sa zobrazil súčet deviatich čísel z prostredného stĺpca. Tento zbytočný výpočet vyšiel 258. Ktoré čísla boli v danom stĺpci?

Z9-I-6

V hostinci U troch prasiatok obsluhujú Pašík, Rašík a Sašík. Pašík je nečestný, takže každému hosťovi pripočíta k celkovej cene 10 grajciarov. Rašík je poctivec, každému vyúčtuje presne to, čo zjedol a vypil. Sašík je dobrák, takže každému hosťovi dá zľavu z celkovej ceny vo výške 20%. Prasiatka sa na seba tak podobajú, že žiadny hosť nepozná, ktoré práve obsluhuje. Baránok Vendelín si v pondelok objednal tri koláčiky a džbánok džúsu a zaplatil za to 56 grajciarov. Bol spokojný, takže hneď v utorok zjedol päť koláčikov, vypil k nim tri džbánky džúsu a platil 104 grajciarov. V stredu zjedol osem koláčikov, vypil štyri džbánky džúsu a zaplatil 112 grajciarov.

• Kto obsluhoval Vendelína v pondelok, kto v utorok a kto v stredu?
• Koľko grajciarov účtuje Rašík za jeden koláčik a koľko za jeden džbánok džúsu?

(Všetky koláčiky sú rovnaké, rovnako tak všetky džbánky džúsu. Ceny uvádzané v jedálnom lístku sa v uvedených dňoch nemenili.)

Z9-II-1
Jana mala za domácu úlohu vypočítať súčin dvoch šesťciferných čísel. Pri prepisovaní druhého z nich z tabule zabudla odpísať jednu cifru a tak namiesto celého šesťciferného čísla napísala iba päťciferné číslo 85522. Keď bola doma, zistila svoj omyl. Pamätala si však, že číslo, ktoré zle odpísala, bolo deliteľné tromi. Rozhodla sa, že sa pokúsi určiť, aké mohlo byť pôvodné číslo. Zistite, koľko takých šesťciferných čísel existuje.

Z9-II-2
Renáta zostrojila lichobežník PRST so základňami PR a ST, v ktorom súčasne platí:

• lichobežník PRST nie je pravouhlý,
• trojuholník TRP je rovnostranný,
• trojuholník TRS je pravouhlý,
• jeden z trojuholníkov TRS a TRP má obsah 10cm².

Určte obsah druhého z týchto dvoch trojuholníkov; nájdite všetky možnosti.

Z9-II-3
Lenka mala papierový kvietok s ôsmimi okvetnými lístkami. Na každom lístku bola napísaná práve jedna cifra a žiadna z cifier sa na žiadnom inom lístku neopakovala. Keď sa Lenka s kvietkom hrala, uvedomila si niekoľko vecí:

• Z kvietka bolo možné odtrhnúť štyri lístky tak, že súčet na nich napísaných čísel by bol rovnaký ako súčet čísel na neodtrhnutých lístkoch.
• Tiež bolo možné odtrhnúť štyri lístky tak, že súčet na nich napísaných čísel by bol dvakrát väčší ako súčet čísel na neodtrhnutých lístkoch.
• Dokonca bolo možné odtrhnúť štyri lístky tak, že súčet na nich napísaných čísel by bol štyrikrát väčší ako súčet čísel na neodtrhnutých lístkoch.

Určte, aké cifry mohli byť napísané na okvetných lístkoch.

Z9-II-4
V hostinci U temného lesa obsluhujú obrie dvojčatá Pravdoslav a Krivomír. Pravdoslav je poctivý a účtuje vždy presne, Krivomír je nečestný a ku každému koláču a každému džbánku medoviny vždy pripočíta dva grajciare. Raz tento hostinec navštívilo sedem trpaslíkov, ktorí si sadli k dvom stolom. Trpaslíci zaplatili za štyri koláče u jedného obra rovnako veľa ako za tri džbánky medoviny u druhého. Inokedy trpaslíci platili za štyri džbánky medoviny u Pravdoslava o 21 grajciarov viac ako za tri koláče u Krivomíra. Určte, koľko stál jeden koláč a koľko jeden džbánok medoviny. Všetky ceny sú v celých grajciaroch a medzi oboma návštevami sa tieto ceny nijako nemenili.

Z9-III-1
Hviezdičky v schéme predstavujú 16 bezprostredne po sebe idúcich prirodzených násobkov čísla tri napísaných zľava doprava od najmenšieho po najväčší. Pritom čísla v prvom rámiku majú rovnaký súčet ako čísla v druhom rámiku. Určte najmenšie z týchto 16 čísel.

Z9-III-2
V rovnostrannom trojuholníku ABC je vpísaný rovnostranný trojuholník DEF. Vrcholy D, E a F ležia na stranách AB, BC a AC tak, že strany trojuholníka DEF sú kolmé na strany trojuholníka ABC (tak ako na obrázku). Ďalej platí, že úsečka DG je ťažnicou v trojuholníku DEF a bod H je priesečníkom priamok DG a BC. Určte pomer obsahov trojuholníkov HGC a DBE.

Z9-III-3
Danka mala papierový kvietok s desiatimi okvetnými lístkami. Na každom lístku bola napísaná práve jedna cifra a žiadna z cifier sa na žiadnom inom lístku neopakovala. Danka odtrhla dva lístky tak, že súčet čísel na zvyšných lístkoch bol násobkom deviatich. Potom odtrhla ďalšie dva lístky tak, že súčet čísel na zvyšných lístkoch bol násobkom ôsmich. Nakoniec odtrhla ďalšie dva lístky tak, že súčet čísel na zvyšných lístkoch bol násobkom desiatich. Určte, aké mohli byť súčty čísel po každom odtrhávaní; nájdite všetky možnosti.

Z9-III-4
Štyri dievčatá hrali na sústredení niekoľko zápasov. Keď sčítame počty výhier dvoch dievčat dokopy (pre všetky možné dvojice dievčat), dostaneme čísla 8, 10, 12, 12, 14 a 16. Určte, koľko výhier vybojovalo každé z dievčat.