Matematická olympiáda

63. ročník matematickej olympiády 2013-2014
Súťažné úlohy kategórie A, B a C

aktualizované 3.1.2015 19:30

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo
Zadania úloh domáceho kola vo formáte PDF: (uložiť ako …)

C-I-1
Určte, akú najmenšiu hodnotu môže nadobúdať výraz V = (a – b)² + (b – c)² + (c – a)², ak reálne čísla a, b, c spĺňajú dvojicu podmienok

a + 3b + c = 6,
-a + b – c = 2.

C-I-2
V rovine sú dané body A, P , T neležiace na jednej priamke. Zostrojte trojuholník ABC tak, aby P bola päta jeho výšky z vrcholu A a T bod dotyku strany AB s kružnicou jemu vpísanou. Uveďte diskusiu o počte riešení vzhľadom na polohu daných bodov.

C-I-3
Číslo n je súčinom troch rôznych prvočísel. Ak zväčšíme dve menšie z nich o 1 a najväčšie ponecháme nezmenené, zväčší sa ich súčin o 915. Určte číslo n.

C-I-4
Vo štvorci ABCD označme K stred strany AB a L stred strany AD. Úsečky KD a LC sa pretínajú v bode M a rozdeľujú štvorec na dva trojuholníky a dva štvoruholníky. Vypočítajte ich obsahy, ak úsečka LM má dĺžku 1 cm.

C-I-5
Dokážte, že pre každé nepárne prirodzené číslo n je súčet n⁴ + 2n + 2013 deliteľný číslom 96.

C-I-6
Šachového turnaja sa zúčastnilo 8 hráčov a každý s každým odohral jednu partiu. Za prvenstvo získal hráč 1 bod, za remízu pol bodu, za prehru žiadny bod. Na konci turnaja mali všetci účastníci rôzne počty bodov. Hráč, ktorý skončil na 2. mieste, získal rovnaký počet bodov ako poslední štyria dokopy. Určte výsledok partie medzi 4. a 6. hráčom v celkovom poradí.

C-S-1
Určte, aké hodnoty môže nadobúdať výraz V = ab + bc + cd + da, ak reálne čísla a, b, c, d spĺňajú dvojicu podmienok

C-S-2
Čísla 1, 2, …, 10 rozdeľte na dve skupiny tak, aby najmenší spoločný násobok súčinu všetkých čísel prvej skupiny a súčinu všetkých čísel druhej skupiny bol čo najmenší.

C-S-3
Daný je trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Stredom I kružnice trojuholníku vpísanej vedieme rovnobežky so stranami CA a CB, ktoré pretnú preponu postupne v bodoch X a Y. Dokážte, že platí |AX|² + |BY|² = |XY|².

C-II-1
Nájdite všetky trojice (nie nutne rôznych) cifier a, b, c také, že päťciferné čísla 6abc3 a 3abc6 sú v pomere 63 : 36.

C-II-2
Šachového turnaja sa zúčastnilo 5 hráčov a každý s každým odohral jednu partiu. Za prvenstvo získal hráč 1 bod, za remízu pol bodu, za prehru žiadny bod. Poradie hráčov na turnaji sa určuje podľa počtu získaných bodov. Jediným ďalším kritériom rozhodujúcim o konečnom umiestnení hráčov v prípade rovnosti bodov je počet výhier (kto má viac výhier, je na tom v umiestnení lepšie). Na turnaji získali všetci hráči rovnaký počet bodov. Vojto porazil Petra a o prvé miesto sa delil s Tomášom. Ako dopadla partia medzi Petrom a Martinom?

C-II-3
Pre kladné reálne čísla a, b, c platí c² + ab = a² + b². Dokážte, že potom platí aj c² + ab ≤ ac + bc.

C-II-4
Daný je konvexný štvoruholník ABCD s bodom E vnútri strany AB tak, že platí |∠ADE| = |∠DEC| = |∠ECB|. Obsahy trojuholníkov AED a CEB sú postupne 18 cm² a 8 cm². Určte obsah trojuholníka ECD.

B-I-1
Každému vrcholu pravidelného 63-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo -1. Ku každej jeho strane pripíšeme súčin čísel v jej vrcholoch a všetky čísla pri jednotlivých stranách sčítame. Nájdite najmenšiu možnú nezápornú hodnotu takého súčtu.

B-I-2
Určte všetky dvojice (x, y) reálnych čísel, pre ktoré platí nerovnosť

.

B-I-3
Nech D je ľubovoľný vnútorný bod strany AB trojuholníka ABC. Na polpriamkach BC a AC zvoľme postupne body E a F tak, aby platilo |BD| = |BE| a |AD| = |AF|. Dokážte, že body C, E, F a stred I kružnice vpísanej trojuholníku ABC ležia na jednej kružnici.

B-I-4
Dana napísala na papier trojciferné číslo, ktoré po delení siedmimi dáva zvyšok 2. Prehodením prvých dvoch cifier vzniklo trojciferné číslo, ktoré po delení siedmimi dáva zvyšok 3. Číslo, ktoré vznikne prehodením posledných dvoch cifier pôvodného čísla, dáva po delení siedmimi zvyšok 5. Aký zvyšok po delení siedmimi bude mať číslo, ktoré vznikne prehodením prvej a poslednej cifry Daninho čísla?

B-I-5
V rovine sú dané body A, T, U tak, že uhol ATU je tupý. Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom T, U sú postupne body dotyku strany BC s kružnicou trojuholníku vpísanou a pripísanou. (Pripísanou kružnicou tu rozumieme kružnicu, ktorá sa okrem strany BC dotýka aj polpriamok opačných k polpriamkam BA a CA.)

B-I-6
Nájdite najmenšie reálne číslo r také, že tyč s dĺžkou 1 možno rozlámať na štyri časti dĺžky nanajvýš r tak, že sa zo žiadnych troch týchto častí nedá zložiť trojuholník.

B-S-1
V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu

B-S-2
Množina M obsahuje 2014 rôznych reálnych čísel. Súčet každých dvoch rôznych čísel z množiny M je celé číslo.
    a) Rozhodnite, či existuje taká množina M, ktorá neobsahuje žiadne celé číslo.
    b) Rozhodnite, či existuje taká množina M, ktorá obsahuje iracionálne číslo.

B-S-3
Na priamke a, na ktorej leží strana BC trojuholníka ABC, sú dané body dotyku všetkých troch jemu pripísaných kružníc (body B a C nie sú známe). Nájdite na tejto priamke bod dotyku kružnice vpísanej.

B-II-1
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

B-II-2
Janko napísal na tabuľu niekoľko rôznych prvočísel (aspoň tri). Keď sčítal ľubovoľné dve z nich a tento súčet zmenšil o 7, bolo výsledné číslo medzi napísanými. Ktoré čísla mohli na tabuli byť?

B-II-3
Nad stranami BC a AB ostrouhlého trojuholníka ABC sú zvonka zostrojené polkružnice k a l. Označme postupne D a E priesečníky výšok z vrcholov A a C s polkružnicami k a l (výškami rozumieme priamky). Dokážte, že platí |BE| = |BD|.

B-II-4
V každom políčku tabuľky 8 × 8 je napísané jedno nezáporné celé číslo tak, že každé dve čísla, ktoré sú na políčkach súmerne združených podľa jednej či druhej uhlopriečky, sú rovnaké. Súčet všetkých 64 čísel je 1 000, súčet 16 čísel na uhlopriečkach je 200. Dokážte, že súčet čísel v každom riadku aj stĺpci tabuľky je nanajvýš 300. Platí rovnaký
záver aj pre číslo 299?

A-I-1
Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich o 1, zväčší sa ich súčin o 963. Určte pôvodné číslo n.

A-I-2
Pre ľubovoľné kladné reálne čísla x, y, z dokážte nerovnosť

, pričom m=min .

Zistite tiež, kedy v dokázanej nerovnosti nastane rovnosť.

A-I-3
Označme I stred kružnice vpísanej do daného trojuholníka ABC. Predpokladajme, že kolmica na priamku CI vedená bodom I pretína priamku AB v bode M. Dokážte, že kružnica opísaná trojuholníku ABC pretína úsečku CM v jej vnútornom bode N a že priamky NI a MC sú navzájom kolmé.

A-I-4
Označme l(n) najväčšieho nepárneho deliteľa čísla n. Určte hodnotu súčtu

l(1) + l(2) + l(3)+ … + l(2²⁰¹³).

A-I-5
Koľkými rôznymi spôsobmi možno vydláždiť plochu 3×10 dlaždicami 2×1, ak je dovolené klásť ich v oboch navzájom kolmých smeroch?

A-I-6
V rovine daného trojuholníka ABC určte všetky body, ktorých obrazy v osových súmernostiach podľa priamok AB, BC, CA tvoria vrcholy rovnostranného trojuholníka.

A-S-1
Dokážte, že pre každé celé číslo n≥3 je 2n-ciferné číslo s dekadickým zápisom druhou mocninou niektorého celého čísla.

A-S-2
Označme M stred strany AB ľubovoľného trojuholníka ABC. Dokážte, že rovnosť |∠ABC| + |∠ACM| = 90° platí práve vtedy, keď je trojuholník ABC rovnoramenný so základňou AB alebo pravouhlý s preponou AB.

A-S-3
Dĺžky strán pravouholníka sú celé čísla x a y väčšie ako 1. V pravouholníku vyznačíme rozdelenie na x·y jednotkových štvorcov a potom z neho zvinutím a zlepením dvoch protiľahlých strán zhotovíme plášť rotačného valca. Každé dva vrcholy jednotkových štvorcov na plášti spojíme úsečkou. Koľko z týchto úsečiek prechádza vnútornými bodmi tohto valca? V prípade x > y rozhodnite, kedy bude tento počet väčší – keď bude obvod podstavy valca rovný x, alebo y?

A-II-1
Nájdite všetky celé kladné čísla, ktoré nie sú mocninou čísla 2 a ktoré sa rovnajú súčtu trojnásobku svojho najväčšieho nepárneho deliteľa a päťnásobku svojho najmenšieho nepárneho deliteľa väčšieho ako 1.

A-II-2
V rovine sú dané dve kružnice k₁(S₁, r₁) a k₂(S₂, r₂), pričom |S₁S₂| > r₁ + r₂. Nájdite množinu všetkých bodov X, ktoré neležia na priamke S₁S₂ a majú tú vlastnosť, že úsečky S₁X, S₂X pretínajú postupne kružnice k₁, k₂ v bodoch, ktorých vzdialenosti od priamky S₁S₂ sa rovnajú.

A-II-3
Nájdite všetky trojice reálnych čísel x, y a z, pre ktoré platí

x(y² + 2z²) = y(z² + 2x²) = z(x² + 2y²)

A-II-4
Volejbalového turnaja sa zúčastnilo šesť družstiev, každé hralo proti každému práve raz. V jednotlivých piatich kolách prebiehali v tom istom čase vždy tri zápasy na troch kurtoch 1, 2 a 3. Koľko bolo možností pre rozpis takého turnaja? Rozpisom rozumieme tabuľku 3×5, v ktorej pre iÎ{1, 2, 3} a jÎ{1, 2, 3, 4, 5} je na pozícii (i, j) uvedená dvojica družstiev (bez určenia poradia), ktoré hrali proti sebe v j-tom kole na kurte číslo i. Namiesto dekadického zápisu výsledného čísla stačí uviesť jeho rozklad na súčin prvočísel.

A-III-1
Nech n je celé kladné číslo. Označme všetky jeho kladné delitele d₁, d₂, …, d_k tak, aby platilo d₁ < d₂ < ... < d_k (čiže d₁ = 1 a d_k = n). Určte všetky také hodnoty n, pre ktoré platí d₅ − d₃ = 50 a 11d₅ + 8d₇ = 3n.

A-III-2
V rovine, v ktorej je daná úsečka AB, uvažujme trojuholníky XYZ také, že X je vnútorným bodom úsečky AB, trojuholníky XBY a XZA sú podobné (∆XBY ∼ ∆XZA) a body A, B, Y, Z ležia v tomto poradí na kružnici. Nájdite množinu stredov všetkých úsečiek YZ.

A-III-3
Majme šachovnicu 8 × 8 a ku každej „hrane“, ktorá oddeľuje dve jej políčka, napíšme prirodzené číslo, ktoré udáva počet spôsobov, ako možno celú šachovnicu rozrezať na obdĺžničky 2 × 1 tak, aby dotyčná hrana bola súčasťou rezu. Určte poslednú cifru súčtu všetkých takto napísaných čísel.

A-III-4
Do kina prišlo 234 divákov. Určte, pre ktoré n ≥ 4 sa mohlo stať, že divákov bolo možné rozsadiť do n radov tak, aby každý divák v i-tom rade sa poznal práve s j divákmi v j-tom rade pre ľubovoľné i, j ∈ {1, 2, … , n}, i ≠ j. (Vzťah známosti je vzájomný.)

A-III-5
Daný je ostrouhlý trojuholník ABC. Označme k kružnicu s priemerom AB. Kružnica, ktorá sa dotýka osi uhla BAC v bode A a prechádza bodom C, pretína kružnicu k v bode P, P ≠ A. Kružnica, ktorá sa dotýka osi uhla ABC v bode B a prechádza bodom C, pretína kružnicu k v bode Q, Q ≠ B. Dokážte, že priesečník priamok AQ a BP leží na osi uhla ACB.

A-III-6
Pre ľubovoľné nezáporné reálne čísla a a b dokážte nerovnosť

a zistite, kedy nastáva rovnosť.