64. ročník matematickej olympiády 2014-2015
Súťažné úlohy kategórie A, B a C

aktualizované 7.4.2015 21:35

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo
Zadania úloh domáceho kola vo formáte PDF: (uložiť ako …)

C-I-1
Určte všetky dvojice (x, y) reálnych čísel, ktoré vyhovujú sústave rovníc

C-I-2
Peter má zvláštne hodinky s tromi ručičkami – prvá z nich obehne kruhový ciferník za minútu, druhá za 3 minúty a tretia za 15 minút. Na začiatku sú všetky ručičky v rovnakej polohe. Určte, za ako dlho budú ručičky rozdeľovať ciferník na tri zhodné časti. Nájdite všetky riešenia.

C-I-3
Simona a Lenka hrajú hru. Pre dané celé číslo k také, že 0 ≤ k ≤ 64, vyberie Simona k políčok šachovnice 8 x 8 a každé z nich označí krížikom. Lenka potom šachovnicu nejakým spôsobom vyplní tridsiatimi dvoma dominovými kockami. Ak je počet kociek pokrývajúcich dva krížiky nepárny, vyhráva Lenka, inak vyhráva Simona. V závislosti od k určte, ktoré z dievčat má vyhrávajúcu stratégiu.

C-I-4
Označme E stred základne AB lichobežníka ABCD, v ktorom platí |AB|:|CD| = 3:1. Uhlopriečka AC pretína úsečky ED, BD postupne v bodoch F, G. Určte postupný pomer

C-I-5
Rozdiel dvoch prirodzených čísel je 2 010 a ich najväčší spoločný deliteľ je 2 014-krát menší ako ich najmenší spoločný násobok. Určte všetky také dvojice čísel.

C-I-6
Nájdite najmenšie prirodzené číslo n také, že v zápise iracionálneho čísla nasledujú bezprostredne za desatinnou čiarkou dve deviatky.

C-S-1
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

C-S-2
Označme K a L postupne body strán BC a AC trojuholníka ABC, pre ktoré platí |BK| = ¹/₃|BC|, |AL| = ¹/₃|AC|. Nech M je priesečník úsečiek AK a BL. Vypočítajte pomer obsahov trojuholníkov ABM a ABC.

C-S-3
Nájdite najmenšie prirodzené číslo n s ciferným súčtom 8, ktoré sa rovná súčinu troch rôznych prvočísel, pričom rozdiel dvoch najmenších z nich je 8.

C-II-1

C-II-2

C-II-3

C-II-4

B-I-1
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

B-I-2
Drak má n hláv, po jednej na každom z n krkov usporiadaných do kruhu. Rytier dokáže jedným úderom seknúť k susedných krkov a hlavy na nich sťať. Ak drakovi po údere zostane aspoň jedna hlava, môže si nechať niektorú z chýbajúcich hláv dorásť. Dokážte, že ak pre dané čísla n a k môže rytier draka zbaviť všetkých hláv bez ohľadu na to, ako mu dorastajú, dokáže to urobiť najviac tromi údermi.

B-I-3
V trojuholníku ABC označme U stred strany AB a V stred strany AC. V polrovine opačnej k polrovine BCA uvažujme ľubovoľný rovnobežník BCDE. Označme X priesečník priamok UD a VE. Dokážte, že priamka AX delí rovnobežník BCDE na dve časti s rovnakým obsahom.

B-I-4
Nech m je prirodzené číslo, ktoré má 7 kladných deliteľov, a n je prirodzené číslo, ktoré má 9 kladných deliteľov. Koľko deliteľov môže mať súčin m · n?

B-I-5
Nech S je stred prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC, ktorý nie je rovnoramenný. Označme D pätu výšky z vrcholu C a R priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole C s preponou AB. Určte veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuholníka, ak platí |SR| = 2|DR|.

B-I-6
Dokážte, že pre ľubovoľné kladné reálne čísla a, b, c platí

Určte, kedy nastáva rovnosť.

B-S-1
Predpokladajme, že prirodzené číslo a má 15 kladných deliteľov. Koľko ich môže mať prirodzené číslo b, ak najmenší spoločný násobok čísel a a b má 20 kladných deliteľov?

B-S-2
Označme P priesečník uhlopriečok konvexného štvoruholníka ABCD. Vypočítajte jeho obsah, ak obsahy trojuholníkov ABC, BCD a DAP sú postupne 8 cm², 9 cm², 10 cm².

B-S-3
Dokážte, že pre ľubovoľné kladné reálne čísla a, b, c platí

Určte, kedy nastáva rovnosť.

B-II-1
Súčin všetkých kladných deliteľov prirodzeného čísla n je 20¹⁵. Určte n.

B-II-2
Určte najmenšiu hodnotu výrazu

pričom x je ľubovoľné reálne číslo. Pre ktoré x výraz V túto hodnotu nadobúda?

B-II-3
Dokážte, že priesečník výšok a ťažisko daného ostrouhlého trojuholníka ABC majú rovnakú vzdialenosť od strany AB práve vtedy, keď pre vnútorné uhly α, β pri vrcholoch A, B platí rovnosť tg α · tg β = 3.

B-II-4
Na tabuli je zoznam čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 a „rovnica“

Marek s Tomášom hrajú nasledujúcu hru. Najskôr Marek vyberie ľubovoľné číslo zo zoznamu, napíše ho do jedného z prázdnych políčok v „rovnici“ a číslo zo zoznamu zotrie. Potom Tomáš vyberie niektoré zo zvyšných čísel, napíše ho do iného prázdneho políčka a v zozname ho zotrie. Nato Marek urobí to isté a nakoniec Tomáš doplní tri zvyšné čísla na tri zvyšné voľné políčka v „rovnici“. Marek vyhrá, ak vzniknutá kvadratická rovnica s racionálnymi koeficientmi bude mať dva rôzne reálne korene, inak vyhrá Tomáš. Rozhodnite, ktorý z hráčov môže vyhrať nezávisle na postupe druhého hráča.

A-I-1
Dané je prirodzené číslo n. Štvorec so stranou dĺžky n je rozdelený na n² jednotkových štvorčekov. Za vzdialenosť dvoch štvorčekov považujeme vzdialenosť ich stredov. Určte počet dvojíc štvorčekov, ktorých vzdialenosť je 5.

A-I-2
Daný je trojuholník ABC, v ktorom je BC najkratšia strana. Jej stred označme M. Na stranách AB a AC určíme postupne body X a Y tak, aby platilo |BX| = |BC| = |CY|. Priesečník priamok CX a BY označme Z. Dokážte, že priamka ZM prechádza stredom kružnice pripísanej ku strane BC daného trojuholníka.

A-I-3
Nájdite všetky celé čísla k ≥ 2, pre ktoré existuje k-prvková množina M celých kladných čísel taká, že súčin všetkých čísel z M je deliteľný súčtom ľubovoľných dvoch (rôznych) čísel z M.

A-I-4
Predpokladajme, že pre reálne čísla x, y, z platí

a že aspoň jedno z nich je rôzne od nuly.
a)   Dokážte rovnosť x + y + z = 4.
b)  Nájdite najmenší interval 〈a, b〉, v ktorom ležia všetky tri čísla z ľubovoľnej trojice (x, y, z) vyhovujúcej predpokladom úlohy.

A-I-5
V danom trojuholníku ABC označme D bod dotyku kružnice vpísanej so stranou BC. Kružnica vpísaná do trojuholníka ABD sa dotýka strán AB a BD v bodoch K a L. Kružnica vpísaná do trojuholníka ADC sa dotýka strán DC a AC v bodoch M a N. Dokážte, že body K, L, M, N ležia na jednej kružnici.

A-I-6
Nech a, b sú dané navzájom nesúdeliteľné prirodzené čísla. Postupnosť prirodzených čísel je zostavená tak, že pre každé n > 1 platí x_n = ax_n-1 + b. Dokážte, že v ľubovoľnej takej postupnosti každý člen x_n s indexom n > 1 delí nekonečne veľa jej ďalších členov. Platí toto tvrdenie aj pre n = 1?

A-S-1
Určte počet ciest dĺžky 14, ktoré vedú po hranách siete na obrázku z bodu A do bodu B. Dĺžka každej hrany je rovná 1.

A-S-2
Daný je rovnobežník ABCD, pričom |AB|= 2|BC|. Určte všetky priamky, ktoré delia daný rovnobežník na dva dotyčnicové štvoruholníky.

A-S-3
Určte všetky dvojice (p, q) celých čísel takých, že p je celočíselným násobkom čísla q a kvadratická rovnica x² + px + q = 0 má aspoň jeden celočíselný koreň.

A-II-1
Daný je trojuholník ABC s tupým uhlom pri vrchole C. Os o₁ úsečky AC pretína stranu AB v bode K, os o₂ úsečky BC pretína stranu AB v bode L. Priesečník osí o₁ a o₂ označme O. Dokážte, že stred kružnice vpísanej do trojuholníka KLC leží na kružnici opísanej trojuholníku OKL.

A-II-2
Nájdite všetky dvojice prvočísel (p, q) také, že hodnota výrazu p² + 5pq + 4q² je druhou mocninou celého čísla.

A-II-3
Pre kladné reálne čísla a, b, c platí

ab + bc + ca = 16, a ≥ 3.

Nájdite najmenšiu možnú hodnotu výrazu 2a + b + c.

A-II-4
Majme n bodov v rovine, n ≥ 3, pričom žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Uvažujme vnútorné uhly všetkých trojuholníkov s vrcholmi v daných bodoch a veľkosť najmenšieho z nich označme φ. Pre dané n nájdite najväčšie možné φ.