65. ročník matematickej olympiády 2015-2016
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 15.8.2016 17:00

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
				krajské
Zadania úloh domáceho kola na stiahnutie vo formáte PDF: (uložiť ako …)

  

Z5-I-1
Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 cestovali vlakom. Vlak mal tri vagóny a v každom sa viezli práve tri čísla. Číslo 1 sa viezlo v prvom vagóne a v poslednom vagóne boli všetky čísla nepárne. Sprievodca cestou spočítal súčet čísel v prvom, druhom aj poslednom vagóne a zakaždým mu vyšiel rovnaký súčet. Určte, ako mohli byť čísla do vagónov rozdelené.

Z5-I-2
Marta niesla svojej chorej kamarátke Majke 7 jabĺk, 6 hrušiek a 3 pomaranče. Cestou
ale dva kusy ovocia zjedla. Určte, ktoré z nasledujúcich situácií mohli nastať a aké dva kusy ovocia by Marta v takom prípade musela zjesť:

a)  Majka nedostala žiadny pomaranč.
b)  Majka dostala menej hrušiek ako pomarančov.
c)  Majka dostala rovnaký počet jabĺk, hrušiek aj pomarančov.
d)  Majka dostala rovnaký počet kusov ovocia dvojakého druhu.
e)  Majka dostala viac jabĺk ako ostatných kusov ovocia dokopy.

Z5-I-3
Mamička vyprala štvorcové utierky a vešia ich vedľa seba na bielizňovú šnúru natiahnutú medzi dvoma stromami. Použila šnúru s dĺžkou 7,5 metra, pričom na uviazanie okolo kmeňov potrebovala na každej strane 8 dm. Všetky utierky majú šírku 45 cm. Medzi krajnou utierkou a kmeňom mamička necháva medzeru aspoň 10 cm, utierky sa jej neprekrývajú a nemá ich zložené ani skrčené. Koľko najviac utierok môže takto zavesiť na natiahnutú šnúru?

Z5-I-4
Keď pán Baran zakladal chov, mal bielych oviec o 8 viac ako čiernych. V súčasnosti má bielych oviec štyrikrát viac ako na začiatku a čiernych trikrát viac ako na začiatku. Bielych oviec je teraz o 42 viac ako čiernych. Koľko teraz pán Baran chová bielych a čiernych oviec dokopy?

Z5-I-5
Štvorcová sieť sa skladá zo štvorcov so stranou dĺžky 1 cm. Narysujte do nej aspoň tri rôzne útvary také, aby každý mal obsah 6 cm² a obvod 12 cm a aby ich strany splývali s priamkami siete.

Z5-I-6
V nepriestupnom roku bolo 53 nedieľ. Na aký deň týždňa pripadol Štedrý deň?

Z5-II-1
Mamička zavára slivky do fliaš tak, že slivky z jednej fľaše jej vystačia buď na 16 šatôčok, alebo na 4 koláčiky, alebo na polovicu plechu ovocných rezov. V špajze má 4 také fľaše a chce upiecť jeden plech ovocných rezov a 6 koláčikov. Na koľko šatôčok jej vystačia zvyšné slivky?

Z5-II-2
Strýko Fero mal dve záhrady: mrkvová mala tvar štvorca, jahodová mala tvar obdĺžnika. Pritom šírka jahodovej záhrady bola trikrát menšia ako šírka mrkvovej záhrady a dĺžka jahodovej záhrady bola o 8 metrov väčšia ako dĺžka mrkvovej záhrady. Keď strýko záhrady oplotil, zistil, že obe mali rovnaký obvod. Určte rozmery mrkvovej a jahodovej záhrady.

Z5-II-3
Jeden mesiac mal štyri pondelky, päť nedieľ a jeden piatok trinásteho. Na ktorý deň v týždni pripadol toho roku Nový rok? Ktorým dňom v týždni bude Nový rok v roku nasledujúcom?

Z6-I-1
Archeológovia zistili, že vlajka bájneho matematického kráľovstva bola rozdelená na šesť políčok, tak ako na obrázku. V skutočnosti bola vlajka trojfarebná a každé políčko bolo vyfarbené jednou farbou. Vedci už vybádali, že na vlajke bola použitá červená, biela a modrá farba, že vnútorné obdĺžnikové políčko bolo biele a že spolu nesusedili dve políčka rovnakej farby. Určte, koľko možností vzhľadu vlajky musia archeológovia
v tejto fáze výskumu zvažovať.

Z6-I-2
Juraj išiel do služby k čarodejníkovi. Ten mal v prvej pivnici viac múch ako pavúkov, v druhej naopak. V každej pivnici mali muchy a pavúky dokopy 100 nôh. Určte, koľko mohlo byť múch a pavúkov v prvej a koľko v druhej pivnici.

Z6-I-3
Na obrázku je štvorec ABCD, štvorec EFGD a obdĺžnik HIJD. Body J a G ležia na strane CD, pričom platí |DJ| < |DG|, a body H a E ležia na strane DA, pričom platí |DH| < |DE|. Ďalej vieme, že |DJ| = |GC|. Šesťuholník ABCGFE má obvod 96 cm, šesťuholník EFGJIH má obvod 60 cm a obdĺžnik HIJD má obvod 28 cm. Určte obsah šesťuholníka EFGJIH.

Z6-I-4
Na obrázku je obdĺžnik rozdelený na 7 políčok. Na každé políčko sa má napísať práve jedno z čísel 1, 2 a 3. Miro tvrdí, že sa to dá spraviť tak, aby súčet dvoch vedľa seba napísaných čísel bol zakaždým iný. Zuzka naopak tvrdí, že to nie je možné. Rozhodnite, kto z nich má pravdu.

Z6-I-5
Pán Cuketa mal obdĺžnikovú záhradu, ktorej obvod bol 28 metrov. Obsah celej záhrady vyplnili práve štyri štvorcové záhony, ktorých rozmery v metroch boli vyjadrené celými číslami. Určte, aké rozmery mohla mať záhrada. Nájdite všetky možnosti.

Z6-I-6
V zámockej kuchyni pripravujú rezancovú polievku v hrncoch a kotloch. V pondelok uvarili 25 hrncov a 10 kotlov polievky. V utorok uvarili 15 hrncov a 13 kotlov. V stredu uvarili 20 hrncov a vo štvrtok 30 kotlov. Pritom v pondelok a v utorok uvarili rovnaké množstvo polievky. Koľkokrát viac polievky uvarili vo štvrtok ako v stredu?

Z6-II-1
Pani učiteľka napísala na tabuľu dve čísla pod seba a vyvolala Adama, aby ich sčítal. Adam ich správne sčítal a výsledok 39 napísal pod zadané čísla. Pani učiteľka zotrela najvrchnejšie číslo, a tak zvyšné dve čísla vytvorili nový príklad na sčítanie. Tentoraz správny výsledok zapísala pod čísla Barbora. Pani učiteľka opäť zotrela najvrchnejšie číslo, novo vzniknutý príklad na sčítanie správne vypočítal Cyril a vyšlo mu 96. Určte dve čísla, ktoré boli pôvodne napísané na tabuli.

Z6-II-2
Vnútri obdĺžnika ABGH sú dva zhodné štvorce CDEF a IJKL. Strana CF prvého štvorca leží na strane BG obdĺžnika a strana IL druhého z nich leží na strane HA obdĺžnika. Obvod osemuholníka ABCDEFGH je 48 cm, obvod dvanásťuholníka ABCDEFGHIJKL je 58 cm. Tento dvanásťuholník je súmerný podľa vodorovnej osi a dĺžky všetkých jeho strán sú v centimetroch vyjadrené celými číslami. Určte dĺžky strán obdĺžnika ABGH.

Z6-II-3
Na Černíčkovom statku mali tri sliepky. Prvá znášala každý deň jedno vajce, druhá znášala každý druhý deň jedno vajce a tretia každý tretí deň jedno vajce. Pán Černíček prikúpil na trhu dve nové sliepky, ktoré tiež znášali vajíčka úplne pravidelne – vždy jedno po niekoľkých dňoch, pričom jedna z nich znášala dvakrát viac ako druhá. Pani Černíčková spočítala, že všetkých päť sliepok znieslo za 60 dní spolu 155 vajec. Ako často znášali nové sliepky?

Z7-I-1
Myška Hryzka našla 27 rovnakých kocôčok syra. Najskôr si z nich poskladala veľkú kocku a chvíľu počkala, kým sa syrové kocôčky k sebe prilepili. Potom z každej steny veľkej kocky vyhrýzla strednú kocôčku. Napokon zjedla aj kocôčku, ktorá bola v strede veľkej kocky. Zvyšok syra chce Hryzka spravodlivo rozdeliť svojim štyrom mláďatám, a preto ho chce rozrezať na štyri kusy rovnakého tvaru aj veľkosti. Rezať bude iba pozdĺž stien kocôčok a nič k sebe už lepiť nebude. Aký tvar môžu mať kusy syra pre mláďatá? Nájdite aspoň dve možnosti.

Z7-I-2
Vlčkovci majú 4 deti. Ondrej je o 3 roky starší ako Matej a Jakub o 5 rokov starší ako najmladšia Jana. Vieme, že majú dokopy 30 rokov a pred 3 rokmi mali dokopy 19 rokov. Určte, koľko má ktoré dieťa rokov.

Z7-I-3
Vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP?

Z7-I-4
V škole pre robotov do jednej triedy chodí dvadsať robotov Robertov, ktorí sú očíslovaní Robert 1 až Robert 20. V triede je práve napätá atmosféra, rozprávaj ú sa spolu iba niektorí roboti. Roboti s nepárnym číslom sa nerozprávajú s robotmi s párnym číslom. Medzi Robertmi s nepárnym číslom sa spolu rozprávajú iba roboti, ktorí majú číslo s rovnakým počtom cifier. Roberti s párnym číslom sa rozprávajú iba s tými, ktorých číslo začína rovnakou cifrou. Koľko dvojíc robotov Robertov sa môže spolu navzájom rozprávať?

Z7-I-5
V kocúrkovskej škole používajú zvláštnu číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm a tak ďalej: vzdialenosť medzi každou nasledujúcou dvojicou prirodzených čísel sa vždy zväčší o 2 cm. Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrkovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm? Nájdite všetky možnosti.

Z7-I-6
Na výstave dlhosrstých mačiek sa zišlo spolu desať vystavujúcich. Vystavovalo sa v obdĺžnikovej miestnosti, v ktorej boli dva rady stolov ako na obrázku. Mačky boli označené navzájom rôznymi číslami v rozsahu 1 až 10 a na každom stole sedela jedna mačka. Určte číslo mačky, ktorá bola na výstave hodnotená najlepšie, ak viete, že:

• súčet čísel mačiek sediacich oproti sebe bol vždy rovnaký,
• súčet čísel každých dvoch mačiek sediacich vedľa seba bol párny,
• súčin čísel každých dvoch mačiek sediacich vedľa seba v dolnom rade bol násobok čísla 8,
• mačka číslo 1 nebola na kraji a bola viac vpravo ako mačka číslo 6,
• vyhrala mačka sediaca v pravom dolnom rohu.

Z7-II-1
V roku 1966 žilo v obci Bezdíkov o 30 žien viac ako mužov. Do súčasnosti sa počet žien žijúcich v obci zmenšil štyrikrát a počet mužov žijúcich v obci klesol o 196. Teraz je v Bezdíkove o 10 žien viac ako mužov. Koľko žien a mužov dokopy žije v súčasnosti v Bezdíkove?

Z7-II-2
Pani učiteľka napísala na tabuľu dve čísla pod seba a vyvolala Kláru, aby ich sčítala. Klára správny výsledok zapísala pod zadané čísla. Pani učiteľka zotrela najvrchnejšie číslo, a tak zvyšné dve čísla vytvorili nový príklad na sčítanie. Tentoraz správny výsledok zapísal pod čísla Lukáš. Pani učiteľka opäť zotrela najvrchnejšie číslo, novo vzniknutý príklad na sčítanie správne vypočítala Magda a vyšlo jej 94. Jedno z dvoch čísel, ktoré pani učiteľka pôvodne napísala na tabuľu, bolo 14, ale neprezradíme, ktoré. Aké mohlo byť druhé z pôvodne napísaných čísel? Určte všetky možnosti.

Z7-II-3
V obdĺžniku ABCD so stranou AD majúcou dĺžku 5 cm leží bod P tak, že trojuholník APD je rovnostranný. Polpriamka AP pretína stranu CD v bode E, úsečka CE meria 5 cm. Aká dlhá je úsečka AE a aká je veľkosť uhla AEB?

Z8-I-1
Mišo mal na poličke malú klaviatúru, ktorú vidíte na obrázku. Na bielych klávesoch boli vyznačené ich tóny. Klaviatúru našla malá Klára. Keď ju brala z poličky, vypadla jej z ruky a všetky biele klávesy sa z nej vysypali. Aby sa brat nehneval, začala ich Klára skladať späť. Všimla si pritom, že sa dali vložiť iba na niektoré miesta, lebo im prekážali čierne klávesy umiestnené presne doprostred medzi dva biele. Kláre sa podarilo klávesy nejako zložiť, avšak tóny na nich boli pomiešané, keďže ešte nepoznala hudobnú stupnicu. Zistite, koľkými spôsobmi mohla Klára klávesy poskladať.

Z8-I-2
Na lúke sa pasú kone, kravy a ovce, spolu ich je menej ako 200. Keby bolo kráv 45-krát viac, koní 60-krát viac a oviec 35-krát viac ako ich je teraz, ich počty by sa rovnali. Koľko sa spolu na lúke pasie koní, kráv a oviec?

Z8-I-3
Daný je rovnoramenný lichobežník ABCD, v ktorom platí

|AB|= 2|BC| = 2|CD| = 2|DA|.

Na jeho strane BC je bod K taký, že |BK| = 2|KC|, na jeho strane CD je bod L taký, že |CL| = 2|LD|, a na jeho strane DA je bod M taký, že |DM| = 2|MA|. Určte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka KLM.

Z8-I-4
V komore, kde sa rozbilo svetlo a všetko z nej musíme brať naslepo, máme ponožky štyroch rôznych farieb. Ak si chceme byť istí, že vytiahneme aspoň dve biele ponožky, musíme ich z komory priniesť 28. Aby sme mali tak ú istotu pre sivé ponožky, musíme ich priniesť tiež 28, pre čierne ponožky stačí 26 a pre modré ponožky 34. Koľko je spolu v komore ponožiek?

Z8-I-5
Číslo dňa je poradové číslo daného dňa v príslušnom mesiaci (teda napr. číslo dňa 5. augusta 2016 je 5). Ciferný súčet dňa je súčet hodnôt všetkých cifer v dátume tohto dňa (teda napr. ciferný s účet dňa 5. augusta 2016 je 5 + 8 + 2 + 0 + 1 + 6 = 22). Šťastný deň je taký deň, ktorého číslo dňa je rovné cifernému súčtu dňa. Určte, koľko šťastných dní je v roku 2016 a ktoré dni to sú.

Z8-I-6
Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB označila X a stred strany AC označila Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY?

Z8-II-1
Janko má v komore na chalupe krabicu s pastelkami, v ktorej je 5 modrých, 9 červených, 6 zelených a 4 žlté pastelky. Je tma, svetlo v komore nesvieti a Janko pri sebe nemá žiadny zdroj osvetlenia. Farbu pasteliek teda nedokáže rozlíšiť.

     a) Koľko najmenej pasteliek musí vziať, aby mal istotu, že prinesie aspoň jednu pastelku z každej farby?

     b) Koľko najviac pasteliek môže vziať, aby mal istotu, že v krabici zostane z každej farby aspoň jedna pastelka?

     c) Koľko najviac pasteliek môže vziať, aby mal istotu, že v krabici zostane aspoň päť červených pasteliek?

Z8-II-2
Dedo chová husi, prasatá, kozy a sliepky – celkom 40 kusov. Na každú kozu pripadajú 3 husi. Keby bolo sliepok o 8 menej, bolo by ich rovnako ako husí a prasiat dokopy. Keby dedo vymenil štvrtinu husí za sliepky v pomere 3 sliepky za 1 hus, mal by celkom 46 kusov zvierat. Koľko ktorých zvierat dedo chová?

Z8-II-3
Dobrákovci pestovali tulipány na štvorcovom záhone so stranou 6 metrov. Neskôr pristavali k svojmu domu štvorcovú terasu so stranou 7 metrov. Jeden vrchol terasy ležal presne uprostred tulipánového záhona a jedna strana terasy delila stranu tulipánového záhona v pomere 1 : 5. V akom pomere delila druhá strana terasy druhú stranu záhona? O koľko metrov štvorcových sa stavbou terasy zmenšil záhon tulipánov?

Z9-I-1
Objem vody v mestskom bazéne s obdĺžnikovým dnom je 6 998,4 hektolitrov. Propagačný leták uvádza, že keby sme chceli všetku vodu z bazéna preliať do pravidelného štvorbokého hranola s hranou podstavy rovnajúcou sa priemernej hĺbke bazéna, musel by byť hranol vysoký ako blízky televízny vysielač a potom by bol naplnený až po okraj. Dodávame, že keby sme chceli preplávať vzdialenosť rovnakú, ako je výška vysielača, museli by sme preplávať buď osem dĺžok, alebo pätnásť šírok bazéna. Aký vysoký je vysielač?

Z9-I-2
Úžasným číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky úžasné čísla.

Z9-I-3
Juro zostrojil štvorec ABCD so stranou 12 cm. Do tohto štvorca narysoval štvrťkružnicu k, ktorá mala stred v bode B a prechádzala bodom A, a polkružnicu l, ktorá mala stred v strede strany BC a prechádzala bodom B. Rád by ešte zostrojil kružnicu, ktorá by ležala vnútri štvorca a dotýkala sa štvrťkružnice k, polkružnice l aj strany AB. Určte polomer takej kružnice.

Z9-I-4
V tabuľke je kurzový lístok zmenárne, avšak niektoré hodnoty sú v ňom nahradené otáznikmi. Zmenáreň vymieňa peniaze v uvedených kurzoch a neúčtuje si iné poplatky.

	nákup	predaj
1 EUR	26,20 CZK	28,00 CZK
1 GBP	? CZK	? CZK

1. Koľko eur dostane zákazník, ak tu zmení 4 200 českých korún?

Ak zmenárnik vykúpi od zákazníka 1 000 libier a potom ich všetky predá, jeho celkový zisk je 2 200 českých korún. Keby namiesto toho zmenárnik predal 1 000 libier a potom by všetky utŕžené české koruny zmenil s iným zákazníkom za libry, zarobil by na tom 68,75 libier.

2. Za koľko českých korún zmenárnik nakupuje a za koľko predáva 1 libru?

Z9-I-5
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu. Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.

Z9-I-6
Na stranách AB a AC trojuholníka ABC ležia postupne body E a F, na úsečke EF leží bod D. Priamky EF a BC sú rovnobežné a súčasne platí

|FD| : |DE| = |AE| : |EB| = 2 : 1.

Trojuholník ABC má obsah 27 hektárov a úsečkami EF, AD a DB je rozdelený na štyri časti. Určte obsahy týchto štyroch častí.

Z9-II-1
V Zverimexe vypredávali rybičky z jedného akvária. Ondrej chcel polovicu všetkých rybičiek, ale aby nemuseli žiadnu rybičku deliť, dostal o polovicu rybičky viac, ako požadoval. Matej si želal polovicu zvyšných rybičiek, ale rovnako ako Ondrej dostal o polovicu rybičky viac, ako požadoval. Nakoniec Petrík chcel polovicu zvyšných rybičiek, ale tiež dostal o polovicu rybičky viac, ako požadoval. Potom bolo akvárium bez rybičiek. Koľko rybičiek bolo pôvodne v akváriu a koľko ich dostal Ondrej, koľko Matej a koľko Petrík?

Z9-II-2
Zuzka vpísala do deviatich políčok na nasledujúcom obrázku celé čísla od 1 do 9, každé práve raz. Pomer súčtov čísel napísaných v kruhoch, trojuholníkoch a šesťuholníkoch bol 2 : 3 : 6. Zistite, aké číslo mohlo byť napísané v hornom trojuholníku; určte všetky možnosti.

Z9-II-3
Dané sú kružnice k₁, k₂, k₃ a k₄ so stredmi postupne S₁, S₂, S₃ a S₄. Kružnice k₁ a k₃ sa zvonka dotýkajú všetkých ostatných kružníc, polomer kružnice k₁ je 5 cm, vzdialenosť stredov S₂ a S₄ je 24 cm a štvoruholník S₁S₂S₃S₄ je kosoštvorec. Určte polomery kružníc k₂, k₃ a k₄. Poznámka: obrázok je len ilustračný.

Z9-II-4
Pred každé z čísel v nasledujúcich dvoch zoznamoch doplňte buď znamienko plus, alebo mínus tak, aby hodnota takto zapísaných výrazov bola rovná nule:

a)   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10,
b)   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11.
Pri oboch úlohách uveďte aspoň jedno riešenie alebo zdôvodnite, že úloha riešenie nemá.

Z9-III-1
Obdĺžnik má dĺžky strán v pomere 2 : 5. Keď predĺžime všetky jeho strany o 9 cm, dostaneme obdĺžnik, ktorého dĺžky strán sú v pomere 3 : 7. V akom pomere budú dĺžky strán obdĺžnika, ktorý vznikne predĺžením všetkých strán o ďalších 9 cm?

Z9-III-2
Traja kamaráti si mysleli tri navzájom rôzne nenulové cifry, z ktorých jedna bola 3. Z týchto cifier vytvorili všetkých šesť možných trojciferných čísel, ktoré potom rozdelili do troch dvojíc. Rozdielom prvej dvojice čísel bolo jednociferné číslo, rozdielom druhej dvojice čísel bolo dvojciferné číslo a rozdielom tretej dvojice čísel bolo trojciferné číslo deliteľné piatimi. Zistite, aké tri cifry si mohli kamaráti myslieť. Určte všetky možnosti.

Z9-III-3
Na papieri bolo napísaných niekoľko bezprostredne po sebe idúcich kladných násobkov určitého prirodzeného čísla väčšieho ako jedna. Rado ukázal na jedno z napísaných čísel: keď ho vynásobil číslom, ktoré s ním susedilo naľavo, dostal súčin o 216 menší, ako keď ho vynásobil číslom, ktoré s ním susedilo napravo. Na ktoré číslo mohol Rado ukázať? Nájdite všetky možnosti.

Z9-III-4
Eva vpísala do daného trojuholníka kružnicu. Potom dokreslila tri úsečky, ktoré sa dotýkali vpísanej kružnice a v pôvodnom trojuholníku vytvárali tri menšie trojuholníky, pozri obrázok. Obvody týchto troch trojuholníkov boli 12cm, 14cm a 16cm. Určte obvod pôvodného trojuholníka.