62. ročník matematickej olympiády 2012-2013

aktualizované 29.4.2013 14:50

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
				krajské
Zadania úloh domáceho kola na stiahnutie vo formáte PDF: (uložiť ako …)

Z5-I-1
Mamička zaplatila v kníhkupectve 270 €. Platila dvoma druhmi bankoviek, dvadsaťeurovými a päťdesiateurovými, a presne. Koľko ktorých bankoviek mohla použiť? Uveďte všetky možnosti.

Z5-I-2
Pat napísal na tabuľu čudný príklad:

550 + 460 + 359 + 340 = 2012.

Mat to chcel napraviť, preto pátral po neznámom čísle, ktoré by pripočítal ku každému z piatich uvedených čísel, aby potom bol príklad vypočítaný správne. Aké to bolo číslo?

Z5-I-3
Rudo dostal na narodeniny budík. Mal z neho radosť a nastavil na ňom presný čas. Odvtedy každé ráno, keď vstával (vrátane sobôt, nedieľ a prázdnin), stlačil presne na 4 sekundy tlačidlo, ktorým sa osvetľuje ciferník. Pritom si všimol, že počas stlačenia tlačidla je čas na budíku zastavený. Inak sa ale budík vôbec neoneskoruje. Popoludní 11. decembra sa Rudo pozrel na svoj budík a zistil, že ukazuje presne o 3 minúty menej, ako by mal. Aký je dátum Rudových narodenín?

Z5-I-4
Červík sa skladá z bielej hlavy a niekoľkých článkov, pozri obrázok.

Keď sa červík narodí, má hlavu a jeden biely článok. Každý deň pribudne červíkovi nový článok jedným z nasledujúcich spôsobov:
•  buď sa niektorý biely článok rozdelí na biely a sivý:  
•  alebo sa niektorý sivý článok rozdelí na sivý a biely:  

(V oboch prípadoch opisujeme situáciu pri pohľade na červíka od hlavy.) Na štvrtý deň červík dospieva a ďalej nerastie – jeho telo sa skladá z hlavy a štyroch článkov. Koľko najviac rôznych farebných variantov dospelých červíkov tohto druhu môže existovať?

Z5-I-5
Vypočítajte 3 . 15 + 20 : 4 + 1. Potom doplňte do zadania jeden alebo viac párov zátvoriek tak, aby výsledok bol:
1. čo najväčšie celé číslo,
2. čo najmenšie celé číslo.

Z5-I-6
Sedem trpaslíkov sa postavilo po obvode svojej záhradky, do každého rohu jeden, a napli medzi sebou povraz okolo celej záhrady. Snehulienka vyšla od Kýblika a išla pozdĺž povrazu. Najskôr išla štyri metre na východ, kde stretla Vedka. Od neho pokračovala dva metre na sever, kým dorazila k Dudrošovi. Od Dudroša išla na západ a po dvoch metroch natrafila na Plaška. Ďalej pokračovala tri metre na sever, až došla k Smejkovi. Vydala sa na západ a po štyroch metroch stretla Kýchala, odkiaľ jej zostávali tri metre na juh k Spachtošovi. Nakoniec pozdĺž povrázka došla najkratšou cestou ku Kýblikovi a tým obišla celú záhradu. Koľko metrov štvorcových má celá záhrada?

Z5-II-1
Na tábore sa skauti vážili na starodávnej váhe. Vedúci ich upozornil, že váha síce neváži správne, ale rozdiel medzi skutočnou a nameranou hmotnosťou je vždy rovnaký. Mišovi váha ukázala 30 kg, Emilovi 28 kg, ale keď si stúpli na váhu obaja naraz, ukázala 56 kg. Aká bola skutočná hmotnosť Miša a Emila?

Z5-II-2
Na obrázku je stavba zlepená zo 14 rovnakých kocôčok. Stavbu chceme zo všetkých strán ofarbiť, teda aj zospodu. Aká bude celková spotreba farby, keď 10 mililitrov farby stačí na ofarbenie jednej celej kocôčky?

Z5-II-3
Radka dostala ráno v deň svojich narodenín veľké balenie lentiliek. Každý deň poobede lentilky maškrtila, a to tak, že v pracovný deň (t. j. mimo víkendu) si vzala vždy 3 lentilky a každú sobotu aj nedeľu si ich vzala 5. Istý deň večer zistila, že zjedla práve 111 lentiliek. Ktorý deň v týždni mohla mať Radka narodeniny? Nájdite obe možnosti.

Z6-I-1
Ľuboš si myslí trojciferné prirodzené číslo, ktoré má všetky svoje cifry nepárne. Ak k nemu pripočíta 421, dostane trojciferné číslo, ktoré nemá ani jednu svoju cifru nepárnu. Nájdite všetky čísla, ktoré si môže Ľuboš myslieť.

Z6-I-2
Na obrázku sú vyznačené mrežové body štvorčekovej siete, z ktorých dva sú pomenované A a B. Nech bod C je jeden zo zvyšných mrežových bodov. Nájdite všetky možné polohy bodu C tak, aby trojuholník ABC mal obsah 4,5 štvorčeka.

Z6-I-3
Obri Koloman a Bartolomej hovoria niektoré dni iba pravdu a niekedy iba klamú. Koloman hovorí pravdu v pondelok, v piatok a v nedeľu, ostatné dni klame. Bartolomej hovorí pravdu v stredu, štvrtok a piatok, ostatné dni klame.

1. Určte, kedy môže Koloman povedať: „Včera som hovoril pravdu.“
2. Jedného dňa obaja povedali: „Včera som klamal.“ V ktorý deň to bolo?

Z6-I-4
Eva má tri lístočky a na každom z nich je napísané jedno prirodzené číslo. Keď vynásobí medzi sebou všetky možné dvojice čísel z lístočkov, dostane výsledky 48, 192 a 36. Ktoré čísla sú napísané na Eviných lístočkoch?

Z6-I-5
Na obrázku je útvar zložený z dvanástich zhodných kociek. Na koľko rôznych miest môžeme premiestniť tmavú kocku (označenú šípkou), ak chceme, aby sa povrch zostaveného telesa nezmenil?

Rovnako ako pri pôvodnom telese sa aj pri novom telese musia kocky dotýkať celými stenami. Poloha svetlých kociek sa meniť nemôže.

Z6-I-6
Obsluhujúci v bufete U Švindliara vždy započítava platiacemu hosťovi do účtu aj dátum: celkovú minutú sumu zväčší o toľko centov, koľký deň v mesiaci práve je. V septembri sa v bufete dvakrát zišla trojica priateľov. Prvýkrát platil každý z nich zvlášť, obsluhujúci teda vždy pripísal dátum a žiadal od každého 1,68 €. O štyri dni tam olovrantovali znova a dali si presne to isté čo minule. Tentoraz však jeden platil za všetkých dokopy. Obsluhujúci teda pripísal dátum do účtu iba raz a vypýtal si 4,86 €. Priateľom sa nezdalo, že aj keď sa ceny v jedálnom lístku nezmenili, majú olovrant lacnejší ako minule, a podvod odhalili. Koľkého septembra práve bolo, keď podvod odhalili?

Z6-II-1
Pat napísal na tabuľu príklad:

589 + 544 + 80 = 2 013.

Mat chcel príklad opraviť, aby sa obe strany naozaj rovnali, a pátral po neznámom čísle, ktoré potom k prvému sčítancu na ľavej strane pripočítal, od druhého sčítanca ho odčítal a tretieho sčítanca ním vynásobil. Po prevedení týchto operácií bol príklad vypočítaný správne. Aké číslo Mat našiel?

Z6-II-2
Lenka si myslí dve dvojciferné čísla. Jedno má obe cifry párne a druhé obe nepárne. Keď obe čísla sčíta, dostane opäť dvojciferné číslo, ktoré má prvú cifru párnu a druhú nepárnu. Navyše nám Lenka prezradila, že všetky tri dvojciferné čísla sú násobkami čísla tri a jedna z nepárnych cifier je 9. Aké čísla si mohla Lenka myslieť? Nájdite všetky možnosti.

Z6-II-3
Štvoruholník ABCD má nasledujúce vlastnosti:

• strany AB a CD sú rovnobežné,
• pri vrchole B je pravý uhol,
• trojuholník ADB je rovnoramenný so základňou AB,
• strany BC a CD sú dlhé 10 cm.

Určte obsah tohto štvoruholníka.

Z7-I-1
Na obrázku je šesť krúžkov, ktoré tvoria vrcholy štyroch trojuholníkov. Napíšte do krúžkov navzájom rôzne jednociferné prirodzené čísla tak, aby v každom trojuholníku platilo, že číslo vnútri je súčtom čísel napísaných v jeho vrcholoch. Nájdite všetky riešenia.

Z7-I-2
Pred našou školou je kvetinový záhon. Jednu pätinu všetkých kvetov tvoria tulipány, dve devätiny narcisy, štyri pätnástiny hyacinty a zvyšok sú sirôtky. Koľko kvetov je celkom na záhone, ak zo žiadneho druhu ich nie je viac ako 60 ani menej ako 30?

Z7-I-3
Obri Bartolomej a Koloman hovoria niektoré dni iba pravdu a niektoré dni iba klamú. Bartolomej hovorí pravdu iba cez víkendy, ostatné dni klame. Koloman hovorí pravdu v pondelok, v piatok a v nedeľu, ostatné dni klame.

Jedného dňa Bartolomej povedal: „Včera sme obaja klamali.“

Koloman však nesúhlasil: „Aspoň jeden z nás hovoril včera pravdu.“

Ktorý deň v týždni môžu obri viesť takýto rozhovor?

Z7-I-4
Pani učiteľka napísala na tabuľu nasledujúce čísla:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43.

Dve susedné čísla sa líšia vždy o rovnakú hodnotu, v tomto prípade o 3. Potom z tabule zotrela všetky čísla okrem 1, 19 a 43. Ďalej medzi čísla 1 a 43 dopísala niekoľko celých čísel tak, že sa každé dve susedné čísla opäť líšili o rovnakú hodnotu a pritom žiadne číslo nebolo napísané viackrát. Koľkými spôsobmi mohla pani učiteľka čísla doplniť?

Z7-I-5
V športovom areáli je upravená plocha tvaru obdĺžnika ABCD s dlhšou stranou AB. Uhlopriečky AC a BD zvierajú uhol 60°. Bežci trénujú na veľkom okruhu ACBDA alebo na malej dráhe ADA. Mojmír bežal desaťkrát po veľkom okruhu a Vojtech pätnásťkrát po malej dráhe, teda pätnásťkrát z A do D a pätnásťkrát z D do A. Dokopy ubehli celkom 4,5 km. Aká dlhá je uhlopriečka AC?

Z7-I-6
Máme štvorčekovú sieť so 77 mrežovými bodmi. Dva z nich sú označené A a B ako na obrázku. Bod C nech je jeden zo zvyšných mrežových bodov. Nájdite všetky možné polohy bodu C tak, aby trojuholník ABC mal obsah 6 štvorčekov.

Z7-II-1
Dedo Vendelín išiel so svojimi dvoma vnukmi Cyrilom a Metodom kúpiť rybárske prúty a ďalšie potreby. Cena nákupu zaujala Cyrila aj deda. Išlo o štvorciferné číslo, v ktorom prvá cifra bola o jedna väčšia ako tretia cifra, ale o jedna menšia ako posledná cifra. Súčet všetkých štyroch cifier bol 6. Cyril si ešte všimol, že dvojčíslie zložené z prvých dvoch cifier predstavovalo dvojciferné číslo o 7 väčšie ako dvojčíslie zložené z posledných dvoch cifier. Deda však zaujalo číslo preto, lebo bolo súčinom jeho veku a veku oboch vnukov, pritom každý z vnukov mal viac ako jeden rok. Koľko rokov mal dedo Vendelín a koľko jeho vnuci?

Z7-II-2
Petra má rovnostranný trojuholník ABC. Najskôr trojuholník prehla tak, aby bod A splynul s bodom C. Potom vzniknutý ̇útvar prehla tak, že bod B splynul s bodom C. Tento ̇útvar potom obkreslila na papier a zistila, že jeho obsah je 12 cm². Určte obsah pôvodného trojuholníka.

Z7-II-3
Do skladu priviezli cement vo vreciach po 25 kg a po 40 kg. Menších vriec bolo dvakrát viac ako tých väčších. Skladník nahlásil vedúcemu počet všetkých privezených vriec, ale nespomenul, koľko je ktorých. Vedúci si myslel, že všetky vrecia vážia 25 kg. Nahlásený počet vriec teda vynásobil číslom 25 a v ýsledok zadokumentoval ako hmotnosť dodávky cementu. Cez noc zlodeji ukradli 60 väčších vriec, a tak na sklade ostalo presne toľko kg cementu, koľko vedúci zapísal. Koľko kg cementu ostalo?

Z8-I-1
Súčin troch prirodzených čísel je 600. Keby sme jedného činiteľa zmenšili o 10, zmenšil by sa súčin o 400. Keby sme namiesto toho jedného činiteľa zväčšili o 5, zväčšil by sa súčin na dvojnásobok pôvodnej hodnoty. Ktoré tri prirodzené čísla majú túto vlastnosť?

Z8-I-2
Stano zložil 7 zhodných útvarov, každý zlepený z 8 rovnakých sivých kociek s hranou 1 cm tak ako na obrázku. Potom všetky ponoril do bielej farby a následne každý z útvarov rozobral na pôvodných 8 dielov, ktoré tak mali niektoré steny sivé a iné biele. Pridal k nim ešte 8 nových kociek, ktoré boli rovnaké ako ostatné, akurát celé biele. Zo všetkých kociek dokopy zložil jednu veľkú kocku a snažil sa pritom, aby čo najväčšia časť povrchu vzniknutej kocky bola sivá. Koľko cm² povrchu bude určite bielych?

Z8-I-3
Dedo zabudol štvorciferný kód svojho mobilu. Vedel len, že na prvom mieste nebola nula, že uprostred boli buď dve štvorky alebo dve sedmičky alebo tiež štvorka so sedmičkou (v neznámom poradí) a že sa jednalo o číslo deliteľné číslom 15. Koľko je možností pre zabudnutý kód? Aká cifra mohla byť na prvom mieste?

Z8-I-4
Daná je pravidelná sedemcípa hviezda ako na obrázku. Aká je veľkosť vyznačeného uhla?

Z8-I-5
Dňa 1. septembra 2007 bola založená jazyková škola, v ktorej vyučovalo sedem pedagógov. Dňa 1. septembra 2010 k týmto siedmim učiteľom pribudol nový kolega, ktorý mal práve 25 rokov. Do 1. septembra 2012 jeden z učiteľov zo školy odišiel, a tak ich zostalo opäť sedem. Priemerný vek pedagógov na škole bol vo všetkých troch spomenutých dátumoch rovnaký. Koľko rokov mal 1. septembra 2012 učiteľ, ktorý v škole už nepracoval? Aký bol v ten deň priemerný vek učiteľov na škole?

Z8-I-6
Anička a Hanka chodili v labyrinte po špirálovitej cestičke, ktorej začiatok je schematicky znázornený na obrázku. Strana štvorčeka v štvorčekovej sieti má dĺžku 1 m a celá cestička od stredu bludiska až k východu je dlhá 210 m.

Dievčatá vyšli zo stredu bludiska, nikde sa nevracali a po čase každá zastavila v niektorom z rohov. Anička pritom prešla o 24 m viac ako Hanka. V ktorých rohoch mohli dievčatá stáť? Určte všetky riešenia.

Z8-II-1
Júlia má na papieri napísané štvorciferné číslo. Keď vymení cifry na mieste stoviek a jednotiek a sčíta toto nové číslo s číslom pôvodným, dostane výsledok 3332. Keby však vymenila cifry na mieste tisícok a desiatok a sčítala by toto číslo s pôvodným, dostala by výsledok 7886. Zistite, aké číslo mala Júlia napísané na papieri.

Z8-II-2
Pán Zeler mal na záhradke dve rovnaké nádrže tvaru štvorbokého hranola so štvorcovým dnom, v oboch dokopy mal 300 litrov vody. V prvej nádrži tvorila voda presnú kocku a vyplnila 62,5% nádrže, v druhej nádrži bolo vody o 50 litrov viac. Aké rozmery mali nádrže pána Zelera?

Z8-II-3
Šifrovacej hry sa zúčastnilo 168 hráčov v 50 tímoch, ktoré mali dva až päť členov. Najviac bolo štvorčlenných tímov, trojčlenných tímov bolo 20 a hry sa zúčastnil aspoň jeden päťčlenný tím. Koľko bolo dvojčlenných, štvorčlenných a päťčlenných tímov?

Z9-I-1
Na tabuli bolo napísané trojciferné prirodzené číslo. Pripísali sme k nemu všetky ďalšie trojciferné čísla, ktoré možno získať zmenou poradia jeho cifier. Na tabuli tak boli okrem pôvodného čísla ešte tri nové. Súčet najmenších dvoch zo všetkých štyroch čísel je 1088. Aké cifry obsahuje pôvodné číslo?

Z9-I-2
Trojuholník má dve strany, ktorých dĺžky sa líšia o 12 cm, a dve strany, ktorých dĺžky sa líšia o 15 cm. Obvod tohto trojuholníka je 75 cm. Určte dĺžky jeho strán. Nájdite všetky možnosti.

Z9-I-3
Pri horskej chate nám tréner povedal: „Ak pôjdeme ďalej týmto pohodlným tempom 4 km za hodinu, prídeme na stanicu 45 minút po odchode nášho vlaku.“ Potom ukázal na skupinu, ktorá nás práve míňala: „Tí majú lepšiu obuv, a tak dosahujú priemernú rýchlosť 6 km za hodinu. Na stanici budú už pol hodiny pred odchodom nášho vlaku.“

Ako ďaleko bola stanica od horskej chaty?

Z9-I-4
Do kružnice s polomerom 5 cm je vpísaný pravidelný osemuholník ABCDEFGH. Zostrojte trojuholník ABX tak, aby bod D bol ortocentrom (priesečníkom výšok) trojuholníka ABX.

Z9-I-5
Do každého políčka schémy na obrázku máme zapísať štvorciferné prirodzené číslo tak, aby všetky naznačené výpočtové operácie boli správne. Koľkými rôznymi spôsobmi možno schému vyplniť?

Z9-I-6
Daný je pravouhlý lichobežník ABCD s pravým uhlom pri vrchole B a s rovnobežnými stranami AB a CD. Uhlopriečky lichobežníka sú na seba kolmé a majú dĺžky |AC| = 12 cm, |BD| = 9 cm. Vypočítajte obvod a obsah tohto lichobežníka.

Z9-II-1
Do triedy chodí 33 žiakov. Pred Vianocami boli s hájnikom v lese plniť kŕmidlá. Dievčatá si rozobrali balíky sena. Chlapci sa rozdelili na dve skupiny: tí z prvej skupiny vzali každý 4 vrecká mrkvy a 3 vrecká orechov (teda každý z nich vzal 7 vreciek) a tí z druhej skupiny vzali každý jedno vrecko jabĺk a jedno vrecko orechov (teda každý z nich vzal 2 vrecká). Pomer počtu dievčat, chlapcov z prvej skupiny a chlapcov z druhej skupiny bol rovnaký ako pomer celkového počtu vreciek orechov, jabĺk a mrkvy. Koľko bolo v triede dievčat, koľko chlapcov nieslo vrecká s mrkvou a koľko ich nieslo vrecká s jablkami?

Z9-II-2
Na čistú tabuľu sme žltou kriedou napísali trojciferné prirodzené číslo tvorené navzájom rôznymi nenulovými ciframi. Potom sme na tabuľu bielou kriedou vypísali všetky ďalšie trojciferné čísla, ktoré možno získať zmenou poradia cifier žltého čísla. Aritmetický priemer všetkých čísel na tabuli bol 370. Každé číslo menšie ako žlté sme podčiarkli. Podčiarknuté čísla boli práve tri a ich aritmetický priemer bol 205. Určte žlté číslo.

Z9-II-3
Vyznačme vo všeobecnom trojuholníku ABC nasledujúce body podľa obrázka. Body A₁ a B₁ sú stredy strán BC a AC, body C₁, C₂ a C₃ delia stranu AB na štyri rovnaké časti. Spojíme body A₁ a B₁ s bodmi C₁ a C₃, takže vznikne mašľa ohraničená týmito spojnicami. Akú časť obsahu celého trojuholníka mašľa zaberá?

Z9-II-4
Nájdite všetky sedemciferné čísla, ktoré obsahujú každú z cifier 0 až 6 práve raz a pre ktoré platí, že ich prvé aj posledné dvojčíslie je deliteľné 2, prvé aj posledné trojčíslie je deliteľné 3, prvé aj posledné štvorčíslie je deliteľné 4, prvé aj posledné päťčíslie je deliteľné 5 a prvé aj posledné šesťčíslie je deliteľné 6.

Z9-III-1
V malom kráľovstve prišli poddaní pozdraviť nového kráľa a jeho ministra. Každý priniesol nejaký darček: 60 najchudobnejších prinieslo len vlastnoručne vyrobenú drevenú sošku, tí bohatší buď 2 zlatky, alebo 3 strieborniaky. Pritom strieborniakov bolo darovaných viac ako 40, ale menej ako 100. Všetky sošky dostal minister a k tomu ešte sedminu všetkých zlatiek a tretinu všetkých strieborniakov. Kráľ aj jeho minister dostali rovnaký počet predmetov. Zistite, koľko mohlo byť poddaných, koľko mohlo byť darovaných zlatiek a koľko strieborniakov.

Z9-III-2
Matej mal v riadku v zošite napísaných šesť rôznych prirodzených čísel. Druhé z nich bolo dvojnásobkom prvého, tretie bolo dvojnásobkom druhého a podobne každé ďalšie číslo bolo dvojnásobkom predchádzajúceho. Matej všetky tieto čísla opísal do nasledujúcej tabuľky, a to v ľubovoľnom poradí, do každého políčka jedno:

Súčet oboch čísel v prvom stĺpci tabuľky bol 136 a súčet čísel v druhom stĺpci bol dvojnásobný, teda 272. Určte súčet čísel v treťom stĺpci tabuľky.

Z9-III-3
Daný je pravidelný osemuholník ABCDEFGH a bod X taký, že bod A je ortocentrom (t. j. priesečníkom výšok) trojuholníka BDX. Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuholníka.

Z9-III-4
V slove TESTOVANIE majú byť nahradené rovnaké písmenká rovnakými nenulovými ciframi a rôzne písmenká rôznymi nenulovými ciframi. Pritom súčin cifier výsledného čísla má byť druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Nájdite najväčšie číslo, ktoré možno nahradením písmen pri splnení uvedených podmienok získať.