62. ročník matematickej olympiády 2012-2013

aktualizované 5.5.2013 15:30

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo
Zadania úloh domáceho kola vo formáte PDF: (uložiť ako …)

C-I-1
Štvorcová tabuľka je rozdelená na 16×16 políčok. Kobylka sa po nej pohybuje dvoma smermi: vpravo alebo dole, pričom strieda skoky o dve a o tri políčka (t.j. žiadne dva po sebe idúce skoky nie sú rovnako dlhé). Začína skokom dĺžky dva z ľavého horného políčka. Koľkými rôznymi cestami sa môže kobylka dostať na pravé dolné políčko? (Pod cestou máme na mysli postupnosť políčok, na ktoré kobylka doskočí.)

C-I-2
Pre kladné reálne čísla a, b, c, d platí

a + b = c + d,     ad = bc,     ac + bd = 1.

Akú najväčšiu hodnotu môže mať súčet a + b + c + d?

C-I-3
Daný je obdĺžnik ABCD s obvodom o. V jeho rovine nájdite množinu všetkých bodov, ktorých súčet vzdialeností od priamok AB, BC, CD, DA je rovný [pmath size=10]{2/3}[/pmath]o.

C-I-4
Rozhodnite, či z ľubovoľných siedmich vrcholov daného pravidelného 19-uholníka možno vždy vybrať štyri, ktoré sú vrcholmi lichobežníka.

C-I-5
Určte všetky celé čísla n, pre ktoré 2n³ – 3n² + n + 3 je prvočíslo.

C-I-6
Vnútri pravidelného šesťuholníka ABCDEF s obsahom 30 cm² je zvolený bod M. Obsahy trojuholníkov ABM a BCM sú postupne 3 cm² a 2 cm². Určte obsahy trojuholníkov CDM, DEM, EFM a FAM.

C-S-1
Danému rovnostrannému trojuholníku vpíšme a opíšme kružnicu. Označme S obsah vzniknutého medzikružia a T obsah kruhu, ktorého priemer je zhodný s dĺžkou strany daného trojuholníka. Ktorý z obsahov S, T je väčší? Svoju odpoveď zdôvodnite.

C-S-2
Určte všetky dvojice a, b celých kladných čísel, pre ktoré platí

pričom symbol [a, b] označuje najmenší spoločný násobok a (a, b) najväčší spoločný deliteľ celých kladných čísel a, b.

C-S-3
Každý vrchol pravidelného devätnásťuholníka je ofarbený jednou zo šiestich farieb. Dokážte, že niektorý tupouhlý trojuholník má všetky vrcholy ofarbené rovnakou farbou.

C-II-1
V tanečnej sa zišla skupina chlapcov a dievčat. Každý z prítomných 15 chlapcov pozná práve 4 dievčatá a každé dievča pozná práve 10 chlapcov. (Známosti sú vzájomné.) Dokážte, že ľubovoľní dvaja chlapci majú aspoň dve spoločné známe.

C-II-2
Vnútri rovnobežníka ABCD je daný bod K a v páse medzi rovnobežkami BC a AD v polrovine opačnej k CDA je daný bod L. Obsahy trojuholníkov ABK, BCK, DAK a DCL sú S_ABK = 18cm², S_BCK = 8cm², S_DAK = 16cm², S_DCL = 36cm². Vypočítajte obsahy trojuholníkov CDK a ABL.

C-II-3
Nájdite všetky dvojice celých kladných čísel a a b, pre ktoré je číslo a²+b o 62 väčšie ako číslo b²+a.

C-II-4
Určte najmenšie celé kladné číslo v, pre ktoré platí: Medzi ľubovoľnými v vrcholmi pravidelného dvadsaťuholníka možno nájsť tri, ktoré sú vrcholmi pravouhlého rovnoramenného trojuholníka.

B-I-1
Určte všetky trojice (a, b, c) prirodzených čísel, pre ktoré platí

2^a + 4^b = 8^c.

B-I-2
V obore reálnych čísel riešte rovnicu

ak viete, že má aspoň jeden celočíselný koreň. Prípadné iracionálne korene zapíšte v jednoduchom tvare bez odmocnín z iracionálnych čísel.

B-I-3
Nech V je priesečník výšok ostrouhlého trojuholníka ABC. Priamka CV je spoločnou dotyčnicou kružníc k a l, ktoré sa zvonka dotýkajú v bode V a pritom každá z nich prechádza jedným z vrcholov A a B. Ich priesečníky s vnútrami strán AC a BC označme P a Q. Dokážte, že polpriamka VC je osou uhla PVQ a že body A, B, P, Q ležia na jednej kružnici.

B-I-4
Nájdite najmenšiu hodnotu zlomku

pričom n je ľubovoľné prirodzené číslo väčšie ako 2.

B-I-5
V rovine je daná úsečka AB. Pre ľubovoľný bod X tejto roviny, ktorý je rôzny od A aj B, označme X_A, resp. X_B obraz bodu A, resp. B v osovej súmernosti podľa priamky XB, resp. XA. Nájdite všetky také body X, ktoré spolu s bodmi X_A, X_B tvoria vrcholy rovnostranného trojuholníka.

B-I-6
Je dané prirodzené číslo k < 12. Vo vrcholoch pravidelného 12-uholníka sú napísané čísla 1, 2, . .. , 12 (ako na ciferníku hodín). V jednom kroku môžeme buď vymeniť niektoré dve protiľahlé čísla, alebo zvoliť ľubovoľných k susedných vrcholov a v nich napísané čísla zväčšiť o 1. Označme T(k) nasledovné tvrdenie: „Po konečnom počte krokov možno dostať všetkých 12 čísel rovnakých.“ Dokážte, že T(2) neplatí, T(5) platí, a rozhodnite o platnosti T(3).

B-S-1
Dokážte, že žiadna z rovníc

nemá riešenie v obore celých kladných čísel.

B-S-2
Do políčok štvorčekovej mriežky 11×11 sme postupne zľava doprava a zhora nadol zapísali čísla 1, 2, …, 121. Štvorcovou doskou 3×3 sme všetkými možnými spôsobmi zakryli presne deväť políčok. V koľkých prípadoch bol súčet deviatich zakrytých čísel druhou mocninou celého čísla?

B-S-3
Uvažujme dve kružnice so stredmi S₁ a S₂ také, že ich spoločné vnútorné dotyčnice pretínajú ich spoločné vonkajšie dotyčnice v štyroch bodoch. Dokážte, že tieto štyri priesečníky ležia na Tálesovej kružnici nad priemerom S₁S₂.

B-II-1
Pre ľubovoľné reálne čísla k ≠ ±1, p ≠ 0 a q dokážte tvrdenie: Rovnica

má v obore reálnych čísel dva korene, z ktorých jeden je k-násobkom druhého, práve vtedy, keď platí kp² = (k + 1)²q.

B-II-2
Obec má 100 obyvateľov. Vieme, že každý z nich má v obci práve troch známych. (Známosti sú vzájomné.)
     a) Dokážte, že v obci existuje skupina 25 osôb, medzi ktorými sa žiadne dve nepoznajú.
    b) Nájdite najmenšie prirodzené číslo n s vlastnos»ou, že v ľubovoľnej skupine n osôb každej takej obce existuje dvojica známych.

B-II-3
Určte všetky trojice (a, b, c) celých kladných čísel, pre ktoré platí

B-II-4
V rovine sú dané kružnice m, n, ktoré sa pretínajú v bodoch K, L. Dotyčnica v bode K ku kružnici m pretína kružnicu n v bode A ≠ K, dotyčnica v bode L ku kružnici n pretína kružnicu m v bode C ≠ K. Bod B ≠ L je priesečník priamky AL s kružnicou m a bod D ≠ K je priesečník priamky CK s kružnicou n. Dokážte, že štvoruholník ABCD je rovnobežník.

A-I-1
Nájdite všetky dvojice prvočísel p, q, pre ktoré existuje prirodzené číslo a také, že

A-I-2
Dve kružnice k₁(S₁, r₁) a k₂(S₂, r₂) sa zvonka dotýkajú a ležia vo štvorci ABC D so stranou a tak, že  k₁ sa dotýka strán AD a CD a k₂ sa dotýka strán BC a CD. Dokážte, že aspoň jeden z trojuholníkov AS₁S₂, BS₁S₂ má obsah najviac [pmath size=10]{3/16}[/pmath]a².

A-I-3
Označme p(n) počet všetkých n-ciferných čísel zložených len z cifier 1, 2, 3, 4, 5, v ktorých sa každé dve susedné cifry líšia aspoň o 2. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí

A-I-4
Nájdite všetky funkcie f: R {0} → R také, že pre všetky nenulové čísla x, y platí

A-I-5
Označme I stred kružnice vpísanej trojuholníku ABC. Kružnica, ktorá prechádza vrcholom B a dotýka sa priamky AI v bode I, pretína strany AB, BC postupne v bodoch P, Q. Priesečník priamky QI so stranou AC označme R. Dokážte, že platí

A-I-6
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

A-S-1
V obdĺžniku ABCD so stranami |AB| = 9, |BC| = 8 ležia navzájom sa dotýkajúce kružnice k₁(S_1, r₁₎ a k₂(S₂, r₂) tak, že k₁ sa dotýka strán AD a CD, k₂ sa dotýka strán AB a BC.

a) Dokážte, že r₁ + r₂ = 5.
b) Určte najmenšiu a najväčšiu možnú hodnotu obsahu trojuholníka AS₁S₂.

A-S-2
Na každej z n+1 stien n-bokého ihlana je napísané číslo 0. V každom kroku zvolíme niektorý vrchol a čísla na všetkých stenách obsahujúcich tento vrchol zväčšíme o 1 alebo ich všetky zmenšíme o 1. Dokážte, že nemôže nastať situácia, v ktorej by na všetkých stenách ihlana bolo napísané číslo 1.

A-S-3
Určte všetky trojice reálnych čísel a, b, c, ktoré spĺňajú podmienky

A-II-1
Daných je 21 rôznych celých čísel takých, že súčet ľubovoľných jedenástich z nich je väčší ako súčet desiatich zvyšných čísel.

a) Dokážte, že každé z daných čísel je väčšie ako 100.
b) Určte všetky také skupiny 21 rôznych celých čísel, ktoré obsahujú číslo 101.

A-II-2
Nech A, B sú množiny celých kladných čísel také, že súčet ľubovoľných dvoch rôznych čísel z A patrí do B a podiel ľubovoľných dvoch rôznych čísel z B (väčšie delené menším) patrí do A. Určte najväčší možný počet prvkov množiny A ∪ B.

A-II-3
V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou AB a odvesnami dĺžok |AC| = 4 a |BC| = 3 ležia navzájom sa dotýkajúce kružnice k₁(S_1, r₁₎ a k₂(S₂, r₂) tak, že k₁ sa dotýka strán AB a AC a k₂ sa dotýka strán AB a BC. Určte polomery r₁ a r₂, ak platí 4r₁ = 9r₂.

A-II-4
Dokážte, že kladné čísla a, b, c sú dĺžkami strán trojuholníka práve vtedy, keď sústava rovníc

a(yz + x) = b(xz + y) = c(xy + z),     x + y + z = 1

s neznámymi x, y, z má riešenie v obore kladných reálnych čísel.