61. ročník matematickej olympiády 2011-2012

aktualizované 17.4.2012 21:10

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo
Riešenia všetkých kôl na stiahnutie vo formáte PDF:    (uložiť ako …)

C-I-1
Nájdite všetky trojčleny p(x) = ax² + bx + c , ktoré dávajú po delení dvojčlenom x + 1 zvyšok 2 a po delení dvojščenom x + 2 zvyšok 1, pričom p(1) = 61.

C-I-2
Dĺžky strán trojuholníka sú v metroch vyjadrené celými číslami. Určte ich, ak má trojuholník obvod 72 m a ak je najdlhšia strana trojuholníka rozdelená bodom dotyku vpísanej kružnice v pomere 3 : 4.

C-I-3
Nájdite všetky trojice prirodzených čísel a, b, c, pre ktoré platí množinová rovnosť

{(a, b), (a, c), (b, c), [a, b], [a, c], [b, c]} = {2, 3, 5, 60, 90,180},

pričom (x, y) a [x, y] označuje postupne najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel x a y.

C-I-4
Reálne čísla a, b, c, d vyhovujú rovnici ab + bc + cd + da = 16.
a) Dokážte, že medzi číslami a, b, c, d sa nájdu dve so súčtom najviac 4.
b) Akú najmenšiu hodnotu môže mať súčet a² + b² + c² + d²?

C-I-5
Daný je rovnoramenný trojuholník so základňou dĺžky a a ramenami dĺžky b. Pomocou nich vyjadrite polomer R kružnice opísanej a polomer r kružnice vpísanej tomuto trojuholníku. Potom ukážte, že platí R≥2r, a zistite, kedy nastane rovnosť.

C-I-6
Na hracej ploche n × n tvorenej bielymi štvorcovými políčkami sa Monika a Tamara striedajú v ťahoch jednou figúrkou pri nasledujúcej hre. Najskôr Monika položí figúrku na ľubovoľné políčko a toto políčko zafarbí namodro. Ďalej vždy hráčka, ktorá je na ťahu, urobí s figúrkou skok na políčko, ktoré je doposiaľ biele, a toto políčko zafarbí namodro. Pritom pod skokom rozumieme bežný ťah šachovým jazdcom, t. j. presun figúrky o dve políčka zvislo alebo vodorovne a súčasne o jedno políčko v druhom smere. Hráčka, ktorá je na rade a už nemôže urobiť ťah, prehráva. Postupne pre n = 4, 5, 6 rozhodnite, ktorá z hráčok môže hrať tak, že vyhrá nezávisle na ťahoch druhej hráčky.

C-S-1
Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel a, b, pre ktoré platí rovnosť množín

pričom (x, y) označuje najväčší spoločný deliteľa [x, y] najmenší spoločný násobok čísel x a y.

C-S-2
Označme S stred základne AB daného rovnoramenného trojuholníka ABC. Predpokladajme, že kružnice vpísané trojuholníkom ACS, BCS sa dotýkajú priamky AB v bodoch, ktoré delia základňu AB na tri zhodné diely. Vypočítajte pomer |AB| : |CS|.

C-S-3
Reálne čísla p, q, r, s spĺňajú rovnosti

Dokážte, že niektoré dve z týchto štyroch čísel sa líšia najviac o 1 a niektoré dve sa líšia najmenej o 1.

C-II-1
Pre všetky reálne čísla x, y, z také, že x < y < z, dokážte nerovnosť

C-II-2
Janko má tri kartičky, na každej je iná nenulová cifra. Súčet všetkých trojciferných čísel, ktoré možno z týchto kartičiek zostaviť, je číslo o 6 väčšie ako trojnásobok jedného z nich. Aké cifry sú na kartičkách?

C-II-3
Nech E je stred strany CD rovnobežníka ABCD, v ktorom platí 2|AB| = 3|BC|. Dokážte, že ak sa dá do štvoruholníka ABCE vpísať kružnica, dotýka sa táto kružnica strany BC v jej strede.

C-II-4
Na tabuli je napísaných prvých n celých kladných čísel. Marína a Tamara sa striedajú v ťahoch pri nasledujúcej hre. Najskôr Marína zotrie jedno z čísel na tabuli. Ďalej vždy hráčka, ktorá je na ťahu, zotrie jedno z čísel, ktoré sa od predchádzajúceho zotretého čísla ani nelíši o 1, ani s ním nie je súdeliteľné. Hráčka, ktorá je na ťahu a nemôže už žiadne číslo zotrieť, prehrá. Pre n = 6 a pre n = 12 rozhodnite, ktorá z hráčok môže hrať tak, že vyhrá nezávisle na ťahoch druhej hráčky.

B-I-1
Medzi všetkými desaťcifernými číslami deliteľnými jedenástimi, v ktorých sa žiadna cifra neopakuje, nájdite najmenšie a najväčšie.

B-I-2
Daný je pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C, ktorého obsah označme P. Nech F je päta výšky z vrcholu C na preponu AB. Na kolmiciach na priamku AB, ktoré prechádzajú vrcholmi A a B, v polrovine opačnej k polrovine ABC uvažujme postupne body D a E, pre ktoré platí |AF| = |AD| a |BF| = |BE|. Obsah trojuholníka DEF označme Q. Dokážte, že platí P≥Q, a zistite, kedy nastáva rovnosť.

B-I-3
Nájdite všetky dvojice reálnych čísel x, y, ktoré vyhovujú sústave rovníc

(Zápis označuje dolnú celú časť čísla a, t. j. najväčšie celé číslo, ktoré neprevyšuje a.)

B-I-4
Dané sú dve rôznobežky a, c prechádzajúce bodom P a bod B, ktorý na nich neleží. Zostrojte pravouholník ABCD s vrcholmi A, C a D postupne na priamkach a, c a PB.

B-I-5
V istom meste majú vybudovanú sieť na šírenie klebiet, v ktorej si každý klebetník vymieňa informácie s tromi klebetnicami a každá klebetnica si vymieňa informácie s tromi klebetníkmi. Inak sa klebety nešíria.
a) Dokážte, že klebetníkov a klebetníc je rovnako veľa.
b) Predpokladajme, že sieť na šírenie klebiet je súvislá (klebety od ľubovoľného klebetníka a ľubovoľnej klebetnice sa môžu dostať ku všetkým ostatným). Dokážte, že aj keď sa jeden klebetník z mesta odsťahuje, zostane sieť súvislá.

B-I-6
Anna a Boris hrajú kartovú hru. Každý z nich má päť kariet s hodnotami 1 až 5 (z každej jednu). V každom z piatich kôl obaja vyložia jednu kartu a kto má vyššie číslo, získa bod. V prípade kariet s rovnakými číslami nezíska bod nikto. Použité karty sa do hry nevracajú. Ten, kto získa na konci viac bodov, vyhral. Koľko percent zo všetkých možných priebehov takej hry skončí výhrou Anny?

B-S-1
V obore celých čísel vyriešte rovnicu

B-S-2
Daný je pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Nech F je päta výšky z vrcholu C na preponu AB. Na kolmiciach na priamku AB, ktoré prechádzajú vrcholmi A a B, sú v polrovine opačnej k polrovine ABC zvolené postupne body D a E, pre ktoré platí |AF| = |AD| a |BF| = |BE|. Označme ďalej R stred úsečky DE. Dokážte, že platí nerovnosť |RF| = |CF| a zistite, kedy nastane rovnosť.

B-S-3
V istom meste majú vybudovanú súvislú sieť na šírenie klebiet (klebety od ľubovoľného klebetníka a ľubovoľnej klebetnice sa môžu dostať ku všetkým ostatným). V nej si každý klebetník vymieňa informácie s dvoma klebetnicami a každá klebetnica si vymieňa informácie s troma klebetníkmi. Predpokladajme, že v uvedenej sieti sa nájde taký muž aj taká žena, že po prípadnom odsťahovaní ktorejkoľvek z týchto dvoch osôb prestane byť sieť súvislou. Nájdite najmenší možný počet členov tejto siete.

B-II-1
Daných je 2 012 kladných čísel menších ako 1, ktorých súčet je 7. Dokážte, že tieto čísla sa dajú rozdeliť na štyri skupiny tak, aby súčet čísel v každej skupine bol aspoň 1.

B-II-2
Určte, koľkými spôsobmi možno vrcholom pravidelného 9-uholníka ABCDEFGHI priradiť čísla z množiny {17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97} tak, aby ka6dé z nich bolo priradené inému vrcholu a aby súčet čísel priradených každým trom susedným vrcholom bol deliteľný tromi.

B-II-3
Pravouhlému trojuholníku ABC je vpísaná kružnica, ktorá sa dotýka prepony AB v bode K. Úsečku AK otočíme o 90° do polohy AP a úsečku BK otočíme o 90° do polohy BQ tak, aby body P, Q ležali v polrovine opačnej k polrovine ABC.

   a)  Dokážte, že obsahy trojuholníkov ABC a PQK sú rovnaké.
   b)  Dokážte, že obvod trojuholníka ABC nie je väčší ako obvod trojuholníka PQK. Kedy nastane rovnosť obvodov?

B-II-4
Nájdite všetky reálne čísla x, y, ktoré vyhovujú sústave rovníc

(Zápis označuje dolnú celú časť čísla a, t. j. najväčšie celé číslo, ktoré neprevyšuje a.)

A-I-1

Označme n súčet všetkých desaťciferných čísel, ktoré majú vo svojom dekadickom zápise každú z cifier 0, 1, …, 9. Zistite zvyšok po delení čísla n sedemdesiatimi siedmimi.

A-I-2

Na stretnutí bolo niekoľko ľudí. Každí dvaja, ktorí sa nepoznali, mali medzi ostatnými prítomnými práve dvoch spoločných známych. Účastníci A a B sa poznali, ale nemali ani jedného spoločného známeho. Dokážte, že A aj B mali medzi prítomnými rovnaký počet známych. Ukážte tiež, že na stretnutí mohlo byť práve šesť osôb.

A-I-3

Označme S stred kružnice vpísanej, T ťažisko a V priesečník výšok daného rovnoramenného trojuholníka, ktorý nie je rovnostranný.

a) Dokážte, že bod S je vnútorným bodom úsečky TV.

b) Určte pomer dĺžok strán daného trojuholníka, ak je bod S stredom úsečky TV.

A-I-4

Nech p, q sú dve rôzne prvočísla, m, n prirodzené čísla a súčet

je celé číslo. Dokážte, že platí nerovnosť

A-I-5

Dané sú dve zhodné kružnice k₁, k₂ s polomerom rovným vzdialenosti ich stredov. Ich priesečníky označme A a B. Na kružnici k₂ zvoľme bod C tak, že úsečka BC pretne kružnicu k₁ v bode rôznom od B, ktorý označíme L. Priamka AC pretne kružnicu k₁ v bode rôznom od A, ktorý označíme K. Dokážte, že priamka, na ktorej leží ťažnica z vrcholu C trojuholníka KLC, prechádza pevným bodom nezávislým od polohy bodu C.

A-I-6

Nájdite najväčšie reálne číslo k také, že nerovnosť

platí pre všetky dvojice kladných reálnych čísel a, b.

A-S-1
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

A-S-2
V rovine uvažujme lichobežník ABCD so základňami AB a CD a označme M stred jeho uhlopriečky AC. Dokážte, že ak majú trojuholníky ABM a ACD rovnaké obsahy, tak sú priamky DM a BC rovnobežné.

A-S-3
Nájdite všetky prirodzené čísla n, pre ktoré je súčin (2ⁿ + 1)(3ⁿ + 2) deliteľný číslom 5ⁿ.

A-II-1
Označme S_n súčet všetkých n-ciferných čísel, ktorých dekadický zápis obsahuje iba cifry 1, 2, 3, každú aspoň raz. Nájdite všetky celé čísla n≥3, pre ktoré je číslo S_n deliteľné siedmimi.

A-II-2
Dané je celé číslo a väčšie ako 1.Nájdite aritmetickú postupnosť s prvým členom a, ktorá obsahuje práve dve z čísel a², a³, a⁴, a⁵ a má čo najväčšiu diferenciu. (Nepredpokladáme, že diferencia je nutne celočíselná.)

A-II-3
Do kružnice je vpísaný šesťuholník ABCDEF, v ktorom platí AB⊥BD,|BC| = |EF|. Predpokladajme, že priamky BC, EF pretínajú polpriamku AD postupne v bodoch P, Q. Označme S stred uhlopriečky AD a K, L stredy kružníc vpísaných trojuholníkom BPS, EQS. Dokážte, že trojuholník KLD je pravouhlý.

A-II-4
Predpokladajme, že pre kladné reálne čísla a, b, c, d platí

ab + cd = ac + bd = 4aad + bc = 5.

Nájdite najmenšiu možnú hodnotu súčtu a + b + c + d a zistite, ktoré vyhovujúce štvorice a, b, c, d ju dosahujú.