54. ročník matematickej olympiády 2004-2005

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
Nech a, b, c, d sú také reálne čísla, že a + d = b + c. Dokážte nerovnosť

(a – b)(c – d) + (a – c)(b – d) + (d – a)(b – c) ≥ 0.

C-I-2
Zistite, pre ktoré prirodzené čísla n ≥ 2 je možné z množiny {1, 2, …, n-1} vybrať navzájom rôzne párne čísla tak, aby ich súčet bol deliteľný číslom n.

C-I-3
V ľubovoľnom konvexnom štvoruholníku ABCD označme E stred strany BC a F stred strany AD. Dokážte, že trojuholníky AED a BFC majú rovnaký obsah práve vtedy, keď sú strany AB a CD rovnobežné.

C-I-4
Tri štvormiestne čísla k, l, m majú rovnaký tvar ABAB, t.j. číslica na mieste jednotiek je rovnaká ako číslica na mieste stoviek a číslica na mieste desiatok je rovnaká ako číslica na mieste tisícok. Číslo l má číslicu na mieste jednotiek o 2 väčšiu a číslicu na mieste desiatok o 1 menšiu ako číslo k. Číslo m je súčtom čísel k a l a je deliteľné deviatimi. Určte všetky také čísla k.

C-I-5
Určte počet všetkých trojíc dvojmiestnych prirodzených čísel a, b, c, ktorých súčin abc má zápis, v ktorom sú všetky číslice rovnaké. Trojice líšiace sa len poradím čísel považujeme za rovnaké, t.j. započítavame ich len raz.

C-I-6
V trojuholníku ABC so stranou BC dĺžky 2 cm je bod K stredom strany AB. Body L a M rozdeľujú stranu AC na tri zhodné úsečky. Trojuholník KLM je rovnoramenný a pravouhlý. Určte dĺžky strán AB, AC všetkých takých trojuholníkov ABC.

▲ hore ▲

C-S-1
Nájdite všetky trojice celých čísel x, y, z, pre ktoré platí

x + yz = 2005,
y + xz = 2006.

C-S-2
Pre ktoré prirodzené čísla n možno z množiny {n, n+1, n+2, …, n²} vybrať štyri navzájom rôzne čísla a, b, c, d tak, aby platilo ab = cd ?

C-S-3
Je daná úsečka AB. Zostrojte bod C tak, aby sa obsah trojuholníka ABC rovnal 1/8 obsahu S štvorca so stranou AB a súčet obsahov štvorcov so stranami AC a BC sa rovnal S.

▲ hore ▲

C-II-1
Určte číslice x, y, z tak, aby platila rovnosť

,

kde    označuje číslo zložené zo z jednotiek, y desatín a x stotín.

C-II-2
Ku každému prirodzenému číslu n > 2 nájdite aspoň jednu dvojicu rôznych prirodzených čísel p, q tak, aby číslo 1/n bolo aritmetickým priemerom čísel 1/p a 1/q.

C-II-3
Ľubovoľným vnútorným bodom P uhlopriečky AC daného obdĺžnika ABCD sú vedené rovnobežky s jeho stranami tak, že pretínajú úsečky AB, BC, CD a DA postupne v bodoch K, L, M a N. Dokážte, že

    a)  priamky LM a KN sú rovnobežky,
    b)  vzdialenosť rovnobežiek LM a KN je konštantná (nezávisí na voľbe bodu P),
    c)  pre obvod o štvoruholníka KLMN platí nerovnosť o ≥ 2|AC|.

C-II-4
Popíšte konštrukciu lichobežníka ABCD so základňami AB a CD, ktorému sa dá opísať kružnica s polomerom r = 5 cm, keď je daná vzdialenosť d = 2 cm jej stredu od priesečníka uhlopriečok a |< BAC| = 70°.

▲ hore ▲

B-I-1
Určte všetky dvojice (a, b) reálnych čísel, pre ktoré má každá z rovníc

x² + ax + b = 0,      x² + (2a + 1)x + 2b + 1 = 0

dva rôzne reálne korene, pričom korene druhej rovnice sú prevrátenými hodnotami koreňov prvej rovnice.

B-I-2
Daný je rovnobežník ABCD. Priamka vedená bodom D pretína úsečku AC v bode G, úsečku BC v bode F a polpriamku AB v bode E tak, že trojuholníky BEF a CGF majú rovnaký obsah. Určte pomer |AG| : |GC|.

B-I-3
Na stole leží k hromádok o 1, 2, 3, …, k kameňoch, kde k ≥ 3. V každom kroku vyberieme tri ľubovoľné hromádky na stole, zlúčime ich do jednej a pridáme k nej jeden kameň, ktorý dovtedy na stole nebol. Dokážte, že ak po niekoľkých krokoch vznikne jediná hromádka, potom výsledný počet kameňov nie je deliteľný tromi.

B-I-4
Označme V priesečník výšok a S stred kružnice opísanej trojuholníku ABC, ktorý nie je rovnostranný. Dokážte, že ak uhol pri vrchole C má 60°, potom os uhla ACB je osou úsečky VS.

B-I-5
V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu

,

kde označuje najväčšie celé číslo, ktoré nie je väčšie ako x (tzv. dolná celá časť reálneho čísla x).

B-I-6
Do kružnice k s polomerom r sú vpísané dve kružnice k₁, k₂ s polomerom , ktoré sa vzájomne dotýkajú. Kružnica l sa zvonka dotýka kružníc k₁, k₂ a s kružnicou k má vnútorný dotyk. Kružnica m má vonkajší dotyk s kružnicami k₂, l a vnútorný dotyk s kružnicou k. Vypočítajte polomery kružníc l a m.

▲ hore ▲

B-S-1
Na stole leží 54 kôpok s 1, 2, 3, …, 54 kameňmi. V každom kroku vyberieme ľubovoľnú kôpku, povedzme s k kameňmi, a odoberieme ju celú zo stola spolu s k kameňmi z každej tej kôpky, v ktorej je aspoň k kameňov. Napríklad po prvom kroku, v ktorom vyberieme kôpku s 52 kameňmi, zostanú na stole kôpky s 1, 2, 3, …, 51, 1 a 2 kameňmi. Predpokladajme, že po určitom počte krokov zostane na stole jediná kôpka.
Zdôvodnite, koľko kameňov v nej môže byť.

B-S-2
Nech ABC je pravouhlý trojuholník so stranami a < b < c. Označme Q stred odvesny BC a S stred prepony AB. Priesečník osi úsečky AB s odvesnou CA označme R. Dokážte, že |RQ| = |RS| práve vtedy, keď

a² : b² : c² = 1 : 2 : 3

B-S-3
V obore reálnych čísel riešte rovnicu

kde označuje najväčšie celé číslo, ktoré neprevyšuje číslo a.

▲ hore ▲

B-II-1
Kružnica k₁ s polomerom 1 má vonkajší dotyk s kružnicou k₂ s polomerom 2. Každá z kružníc k₁, k₂ má vnútorný dotyk s kružnicou k₃ s polomerom 3. Vypočítajte polomer kružnice k, ktorá má s kružnicami k₁, k₂ vonkajší dotyk a s kružnicou k₃ vnútorný dotyk.

B-II-2
Na jednej internetovej stránke prebieha hlasovanie o najlepšieho hokejistu sveta posledného desaťročia. Počet hlasov pre jednotlivých hráčov sa uvádza po zaokrúhlení v celých percentách. Po Jožkovom hlasovaní pre Miroslava Šatana sa jeho zisk 7% nezmenil. Najmenej koľko ľudí vrátane Jožka hlasovalo? Predpokladáme, že každý účastník ankety hlasoval práve raz, a to pre jediného hráča.

B-II-3
Nech ABC je ostrouhlý trojuholník. Označme K a L päty výšok z vrcholov A a B, M stred strany AB a V priesečník výšok trojuholníka ABC. Dokážte, že os uhla KML prechádza stredom úsečky VC.

B-II-4
Nájdite všetky trojice reálnych čísel x, y, z, pre ktoré platí

 ,

kde označuje najväčšie celé číslo, ktoré neprevyšuje číslo a.

▲ hore ▲

A-I-1
Neprázdnu podmnožinu prirodzených čísel nazveme malou, keď má menej prvkov, ako je jej najmenší prvok. Určte počet všetkých tých malých množín M, ktoré sú podmnožinami množiny {1, 2, 3, …, 100} a majú nasledovnú vlastnosť: ak do M patria dve rôzne čísla x a y, potom do M patrí aj číslo |x – y|.

A-I-2
Nech M je ľubovoľný vnútorný bod kratšieho oblúka CD kružnice opísanej štvorcu ABCD. Označme P, R priesečníky priamky AM postupne s úsečkami BD, CD a podobne Q, S priesečníky priamky BM s úsečkami AC, DC. Dokážte, že priamky PS a QR sú navzájom kolmé.

A-I-3
Nech k je ľubovoľné prirodzené číslo. Uvažujme dvojice (a, b) celých čísel, pre ktoré majú kvadratické rovnice

x² – 2ax + b = 0,      y² + 2ay + b = 0

reálne korene (nie nutne rôzne), ktoré možno označiť x_1,2 resp. y_1,2 v takom poradí, že platí rovnosť x₁y₁ – x₂y₂ = 4k.

    a)  Pre dané k určte najväčšiu možnú hodnotu b zo všetkých takých dvojíc (a, b).
    b)  Pre k = 2004 určte počet všetkých takých dvojíc (a, b).
    c)  Pre dané k vypočítajte súčet čísel b zo všetkých takých dvojíc (a, b), pričom každé číslo b sa pripočíta toľkokrát, v koľkých dvojiciach (a, b) vystupuje.

A-I-4
Dané aritmetické postupnosti a majú rovnaký prvý člen a nasledovnú vlastnosť: existuje index k (k > 1), pre ktorý platia rovnosti

.

Nájdite všetky také indexy k.

A-I-5
V lichobežníku ABCD, kde AB║CD, platí |AB| = 2|CD|. Označme E stred ramena BC. Dokážte, že rovnosť |AB| = |BC| platí práve vtedy, keď štvoruholník AECD je dotyčnicový.

A-I-6
Nájdite všetky funkcie f: <0, +∞) → <0, +∞), ktoré splňujú zároveň tri nasledovné podmienky:

    a)  Pre ľubovoľné nezáporné čísla x, y také, že x + y > 0, platí rovnosť  ;
    b)  f(1) = 0;
    c)  f(x) > 0 pre ľubovoľné x > 1.

▲ hore ▲

A-S-1
Určte počet všetkých nekonečných aritmetických postupností celých čísel, ktoré majú medzi svojimi prvými desiatimi členmi obe čísla 1 a 2 005.

A-S-2
V rovnobežníku ABCD platí |AB| > |BC|. Označme K, L, M a N postupne body dotyku kružníc vpísaných trojuholníkom ACD, BCD, ABC a ABD s príslušnou uhlopriečkou AC, resp. BD. Dokážte, že KLMN je obdĺžnik.

A-S-3
Zistite, pre ktoré prirodzené čísla k má sústava nerovníc

s neznámou x práve (k + 1)² riešení v obore celých čísel.

▲ hore ▲

A-II-1
Ak je súčin kladných reálnych čísel a, b, c rovný 1, platí nerovnosť

Dokážte a zistite, kedy nastáva rovnosť.

A-II-2
V obore celých čísel riešte sústavu rovníc

x(y + z + 1) = y² + z² – 5,
y(z + x + 1) = z² + x² – 5,
z(x + y + 1) = x² + y² – 5.

A-II-3
V rovine je daný rovnoramenný trojuholník KLM so základňou KL. Uvažujme ľubovoľné dve kružnice k a l, ktoré majú vonkajší dotyk a ktoré sa dotýkajú priamok KM a LM postupne v bodoch K a L. Určte množinu dotykových bodov T všetkých takých kružníc k a l.

A-II-4
Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel, ktorých súčet má poslednú číslicu 3, rozdiel je prvočíslo a súčin je druhou mocninou prirodzeného čísla.

▲ hore ▲

A-III-1
Uvažujme ľubovoľné aritmetické postupnosti reálnych čísel(xi)1 i=1 a(yi)1 i=1,ktoré majúrovnakýprvýèlenaspåòajúpreniektoré k> 1rovnosti xk 1yk 1 =42;xkyk =30a xk+1yk+1 =16: Nájditev¹etkytaképostupnosti,prektoréjeindex k najväè¹ímo¾ný.(J.©im¹a) 2. Zistite,prektoré m existujepráve215 podmno¾ín X mno¾iny f1; 2; 3;:::; 47g svlast- nos»ou:Èíslo m jenajmen¹íprvokmno¾iny X apreka¾dé x 2 X platíbuï x + m 2 X, alebo x + m> 47.(R.Kuèera) 3. Vlichobe¾níku ABCD (AB k CD)oznaème E stredramena BC.Aksúoba ¹tvoruholníky ABED a AECD dotyènicové,spåòajúdå¾kystránlichobe¾níka ABCD oznaèenézvyèajnýmspôsobomrovnosti a + c = b 3 + d a 1 a + 1 c = 3 b : Doká¾te.(R.Horenský) 4. Vrovinejedanýostrouhlýtrojuholník AKL.Uva¾ujmeµubovoµnýpravouholník ABCD,ktorýjetrojuholníku AKL opísanýtak,¾ebod K le¾ínastrane BC abod L le¾ínastrane CD.Urètemno¾inuprieseèníkov S uhloprieèok AC, BD v¹etkýchtakých pravouholníkov ABCD.(J.©im¹a) 5

A-III-5
Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla p, q, r, s za podmienok q = 1 a s = 1 platí: Kvadratické rovnice x² + px + q =0, x² + rx + s =0 majú v obore reálnych čísel spoločný koreň a ich ďalšie korene sú navzájom prevrátené čísla práve vtedy, keď koeficienty p, q, r, s spĺňajú rovnosti pr =(q +1)(s +1) a p(q +1)s = r(s +1)q. (Dvojnásobný koreň kvadratickej rovnice počítame dvakrát.)(J. Šimša)

A-III-6
Rozhodnite, či pre každé poradie čísel 1,  2,  3, …, 15 možno tieto čísla zapísať najviac štyrmi rôznymi farbami tak, aby všetky čísla rovnakej farby tvorili v danom poradí monotónnu (t.j. rastúcu alebo klesajúcu) postupnosť.
(Jednočlenná postupnosť je monotónna.)(J. Šimša)

▲ hore ▲