55. ročník matematickej olympiády 2005-2006

Súťažné úlohy kategórií Z4-Z9

Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9
domáce domáce domáce domáce domáce domáce
školské obvodné obvodné obvodné obvodné obvodné
krajské

Z4-I-1
Jurko rád kreslí autíčka. V pondelok namaľoval niekoľko autíčok, v utorok ich namaľoval trikrát toľko ako v pondelok, ale potom 12 pondelkových vygumoval. V stredu mal zlú náladu, nič nenamaľoval a ešte roztrhal polovicu utorkových, čiže 24. Koľko autíčok namaľoval v utorok? Koľko autíčok namaľoval v pondelok, v utorok a v stredu spolu?

(M. Dillingerová)

Z4-I-2
Z čísla 9 635 347 vyškrtni niekoľko číslic tak, aby vzniklo čo najväčšie číslo a súčet všetkých jeho číslic bol menší ako 20.

(M. Dillingerová)

Z4-I-3
Rozprávkový nafukovací štvorec, ktorý vie rozprávať, mal pred 5 minútami dĺžku strany 8 cm. Pri každom klamstve zväčší svoj obvod dvojnásobne. Pri každej vyslovenej pravde sa zmenší dĺžka každej jeho strany o 2 cm. Za posledných 5 minút 2-krát klamal a 2-krát hovoril pravdu.

   a)  Aký najväčší obvod môže mať teraz?
   b)  Aký najmenší obvod môže mať teraz?

(S. Bodláková)

Z4-I-4
Peter má na papier napísať z čísel od 1 do 200 všetky také, ktoré sa dajú deliť piatimi bezo zvyšku, ale nedajú sa deliť bezo zvyšku siedmimi. Pavol má vypísať z čísel od 1 do 200 všetky také, ktoré po delení siedmimi dávajú zvyšok 5. Koľko čísel má napísať Peter a koľko Pavol?

(M. Smitková)

Z4-I-5
Žabka Rosnička stála na rebríku, ktorý mal 5 priečok, na tretej priečke. Urobila šesť skokov a zostala stáť na piatej priečke. Vypíš všetky možnosti, ako mohla Rosnička skákať, ak vždy skočila len o jednu priečku hore alebo o jednu priečku dole.

(S. Bodláková)

Z4-I-6
Majka má v stavebnici len rovnako veľké kocky s hranou dĺžky 3 cm. Keď z nich postaví vežu, ktorá má na každom podlaží 4 kocky, bude mať veža výšku 54 cm. Aká vysoká by bola iná veža z takého istého počtu rovnakých kociek, ktorá by mala v každom podlaží deväť kociek?

(M. Dillingerová)


Z4-II-1
Z čísla 9 635 347 vyškrtni niekoľko číslic tak, aby vzniklo čo najmenšie číslo a aby súčet všetkých jeho číslic bol väčší ako 23.

(M. Dillingerová)

Z4-II-2
Rozprávkový nafukovací obdĺžnik, ktorý vie rozprávať, mal pred 5 minútami dĺžky strán 8 cm a 10 cm. Pri každom klamstve zväčší jednu dvojicu svojich rovnako dlhých strán dvojnásobne. Pri každej vyslovenej pravde sa zmenší dĺžka každej jeho strany o 3 cm. Za posledných 5 minút 1-krát klamal a 2-krát hovoril pravdu.

   a)  Aký najväčší obvod môže mať teraz?
   b)  Aký najmenší obvod môže mať teraz?

(S. Bodláková, M. Dillingerová)

Z4-II-3
Kubkovi sa páčia čísla, ktoré dávajú po delení piatimi zvyšok 1. Lukáškovi sa páčia čísla, ktoré nemajú žiadne dve číslice rovnaké. Napíš najmenšie trojciferné číslo, ktoré sa bude páčiť aj Kubkovi aj Lukáškovi.

(S. Bednářová)


Z5-I-1
Doplň do prázdnych políčok prirodzené čísla od 1 do 20 (každé číslo môžeš použiť len raz) tak, aby platili matematické vzťahy.

(M. Smitková)

Z5-I-2
Blcha Skákalka skáče po vodorovnej číselnej osi. Vie robiť iba skoky dvoch dĺžok. Jedným preskočí o 14 doprava alebo doľava, druhým preskočí o 18 doprava alebo doľava. Práve stojí na čísle 2.

   a)  Nájdi spôsob, ako má skákať, aby sa štyrmi skokmi dostala na číslo 10.
   b)  Tvrdí, že včera bola na čísle 13. Hovorí pravdu alebo klame? Zdôvodni.

(M. Dillingerová)

Z5-I-3
Rozprávkový nafukovací štvorec, ktorý vie rozprávať, mal pred 5 minútami dĺžku strany 8 cm. Pri každom klamstve zväčší svoj obvod dvojnásobne. Pri každej vyslovenej pravde sa zmenší dĺžka každej jeho strany o 2 cm. Za posledných 5 minút 2-krát klamal a 2-krát hovoril pravdu.

   a)  Aký najväčší obvod môže mať teraz?
   b)  Aký najmenší obvod môže mať teraz?

(S. Bodláková)

Z5-I-4
Peťo si kúpil na jarmoku 4 autíčka, biele, zelené, červené a modré. Biele autíčko stálo dvakrát toľko ako červené, zelené trikrát toľko ako biele a za modré zaplatil toľko ako za červené a biele spolu. Pritom červené stálo o 70 Sk menej ako zelené. Koľko Sk stáli jednotlivé autíčka?

(Š. Ptáčková)

Z5-I-5
Mama stonožka má dve deti a manžela. Každý z nich má sto nôh a každý člen rodiny si berie každý deň čisté ponožky. V sobotu ráno o 6:00 začala mamička stonožka prať špinavé ponožky. Naraz sa jej ich do práčky zmestí 357 a jedna várka sa operie za dve a pol hodiny. Zisti, kedy skončí s praním, ak vieš, že ponožky perie raz za týždeň, uloženie ponožiek do práčky jej trvá 2 minúty a ich vybratie z práčky 3 minúty.

(S. Bednářová)

Z5-I-6
Mamička má v chladničke tehlu syra (viď obrázok). Postupne z nej odrezáva 1 cm hrubé plátky na vyprážanie. Najprv odrezala spredu plátok s rozmermi pre otecka, potom odrezala zboku pre Jurka, zozadu pre seba a nakoniec z druhého boku pre Aničku. Napíš, aké rozmery majú jednotlivé plátky. Urči rozmery zvyšku syra.

(M. Dillingerová)


Z5-II-1
Doplň do prázdnych políčok prirodzené čísla od 1 do 16 (každé číslo môžeš použiť len raz) tak, aby platili matematické vzťahy.

(M. Smitková)

Z5-II-2
Peter zlepil 17 hracích kociek do hada (ako na obrázku). Kocky zliepal vždy tak, že zlepil steny s rovnakým počtom bodiek. Potom si hada obzrel zo všetkých strán a správne spočítal všetky bodky na jeho povrchu. Koľko mu vyšlo? (Súčet bodiek na protiľahlých stenách hracej kocky je 7.)