55. ročník matematickej olympiády 2005-2006

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
a) Dokážte, že pre každé prirodzené číslo m je rozdiel m⁶ – m² deliteľný číslom 60.
b) Určte všetky prirodzené čísla m, pre ktoré je rozdiel m⁶ – m² deliteľný číslom 120.

C-I-2
Každé dve z kružníc k, l, m majú vonkajší dotyk a všetky tri majú spoločnú dotyčnicu. Polomery kružníc k, l sú 3 cm a 12 cm. Vypočítajte polomer kružnice m. Nájdite všetky riešenia.

C-I-3
Určte počet všetkých trojíc navzájom rôznych trojmiestnych prirodzených čísel, ktorých súčet je deliteľný každým z troch sčitovaných čísel.

C-I-4
Je dané prirodzené číslo n (n ≥ 2) a reálne čísla x₁, x₂, …, x_n, pre ktoré platí

x₁ x₂ = x₂ x₃ = … = x_n-1 x_n = x_n x₁ = 1.

Dokážte, že   x₁² + x₂² + … + x_n² ≥ n.

C-I-5
V ostrouhlom trojuholníku ABC označme D pätu výšky z vrcholu C a P, Q päty kolmíc vedených bodom D na strany AC a BC. Obsahy trojuholníkov ADP, DCP, DBQ, CDQ označme postupne S₁, S₂, S₃, S₄. Vypočítajte S₁ : S₃, ak S₁ : S₂ = 2 : 3, S₃ : S₄ = 3 : 8.

C-I-6
Rozhodnite, ktoré z čísel , je väčšie, ak p a q sú rôzne kladné čísla.

▲ hore ▲

C-S-1
Na hokejovom turnaji sa zúčastnili štyri družstvá, pričom každé zohralo s každým práve jeden zápas. V žiadnych dvoch zápasoch nepadlo rovnako veľa gólov, ale počet gólov strelených v každom zápase delí celkový počet gólov strelených na turnaji. Koľko najmenej gólov mohlo na turnaji padnúť?

C-S-2
Vrchol C štvorcov ABCD a CJKL je vnútorným bodom úsečky AK aj úsečky DJ. Body E, F, G a H sú postupne stredy úsečiek BC, BK, DK a DC. Vyjadrite obsah štvoruholníka EFGH pomocou obsahov S a T štvorcov ABCD a CJKL.

C-S-3
Kružnice k, l, m sa dotýkajú spoločnej dotyčnice v troch rôznych bodoch a ich stredy ležia na jednej priamke. Kružnice k a l, a tiež kružnice l a m, majú vonkajší dotyk. Určte polomer kružnice l, ak polomery kružníc k a m sú 3 cm a 12 cm.

▲ hore ▲

C-II-1
Základňa AB lichobežníka ABCD je trikrát dlhšia ako základňa CD. Označme M stred strany AB a P priesečník úsečky DM s uhlopriečkou AC. Vypočítajte pomer obsahov trojuholníka CDP a štvoruholníka MBCP.

C-II-2
Ak reálne čísla a, b, c, d spĺňajú rovnosti  a² + b² = b² + c² = c² + d² = 1; platí nerovnosť ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ 3.

Dokážte a zistite, kedy za daných podmienok nastane rovnosť.

C-II-3
Kružnice k, l s vonkajším dotykom ležia obe v obdĺžniku ABCD, ktorého obsah je 72 cm². Kružnica k sa pritom dotýka strán CD, DA a AB, zatiaľ čo kružnica l sa dotýka strán AB a BC. Určte polomery kružníc k a l, ak viete, že polomer kružnice k je v centimetroch vyjadrený celým číslom.

C-II-4
Nájdite všetky dvojice prvočísel p, q, pre ktoré platí  p + q² = q + 145p².

▲ hore ▲

B-I-1

Určte všetky hodnoty celočíselného parametra a, pre ktoré má rovnica (x + a).(x + 2a) = 3a aspoň jeden celočíselný koreň.

B-I-2

V danom trojuholníku ABC označme D ten bod polpriamky CA, pre ktorý platí |CD| = |CB|. Ďalej označme postupne E, F stredy úsečiek AD a BC. Dokážte, že |Ð BAC| = 2.|Ð CEF| práve vtedy, keď |AB| = |BC|.

B-I-3

Rozhodnite, či nerovnosť

platí pre ľubovoľné kladné čísla a, b, c, d, ktoré vyhovujú podmienke

a) ab = cd = 1;

b) ac = bd = 1.

B-I-4

Každú z hviezdičiek v zápisoch dvanásťmiestnych čísel A = *88 888 888 888, B = *11 111 111 111 nahraďte nejakou číslicou tak, aby výraz |14A –13B| mal čo najmenšiu hodnotu.

B-I-5

Kruh so stredom S a polomerom r je rozdelený na štyri časti dvoma tetivami, z ktorých jedna má dĺžku r a druhá má od stredu S vzdialenosť . Dokážte, že absolútna hodnota rozdielu obsahov tých dvoch častí, ktoré majú spoločný práve jeden bod a pritom žiadna neobsahuje stred S, je rovný jednej šestine obsahu kruhu.

B-I-6

Určte najmenšie prirodzené číslo n s nasledovnou vlastnosťou: Ak zvolíme ľubovoľne n rôznych prirodzených čísel menších ako 2005, sú medzi nimi dve také, že podiel súčtu a rozdielu ich druhých mocnín je väčší ako 3.

▲ hore ▲

B-S-1

Dokážte, že pre ľubovoľné kladné čísla a, b, c platí nerovnosť

Zistite, kedy nastáva rovnosť.

B-S-2
Na prepone AB pravouhlého trojuholníka ABC uvažujme také body P a Q, že |AP| = |AC| a |BQ| = |BC|. Označme M priesečník kolmice z vrcholu A na priamku CP a kolmice z vrcholu B na priamku CQ. Dokážte, že priamky PM a QM sú navzájom kolmé.

B-S-3

Nájdite všetky dvojice celých čísel a, b, pre ktoré žiadna z rovníc

nemá dva rôzne reálne korene.

▲ hore ▲

B-II-1

Určte všetky dvojice prvočísel p, q, pre ktoré platí  p + q² = q + p³.

B-II-2

Obdĺžnik ABCD so stranami dĺžok |AB| = 2008 a |BC| = 2006 je rozdelený na 2008 × 2006 jednotkových štvorcov a tie sú striedavo ofarbené čiernou, sivou a bielou farbou podobne ako obdĺžnik na obrázku: štvorce pri vrcholoch A a B sú čierne, štvorce pri vrcholoch C a D sú biele. Určte obsah tej časti trojuholníka ABC, ktorá je sivá.

B-II-3

V lichobežníku ABCD, ktorého základňa AB má dvakrát väčšiu dĺžku ako základňa CD, označme E stred ramena BC. Dokážte, že kružnica opísaná trojuholníku CDE prechádza stredom uhlopriečky AC práve vtedy, keď strany AB a BC sú navzájom kolmé.

B-II-4

Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla a, b, c z intervalu <0; 1> platí

1 ≤ a + b + c + 2(ab + bc + ca) + 3(1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 9

▲ hore ▲

A-I-1

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu .

A-I-2

Nech ABCD je tetivový štvoruholník s navzájom kolmými uhlopriečkami. Označme postupne p, q kolmice z bodov D, C na priamku AB a ďalej X priesečník priamok AC a p a Y priesečník priamok BD a q. Dokážte, že XYCD je kosoštvorec alebo štvorec.

A-I-3

Postupnosť nenulových celých čísel má tú vlastnosť, že pre každé n ≥ 0 platí a_n+1 = a_n – b_n, kde b_n je číslo, ktoré má rovnaké znamienko ako číslo a_n, ale opačné poradie číslic (zápis čísla b_n môže na rozdiel od zápisu čísla a_n začínať jednou alebo viacerými nulami). Napríklad pre a₀ = 1 210 je a₁ = 1 089, a₂ = –8 712, a₃ = – 6 534.

a) Dokážte, že postupnosť (a_n) je periodická.

b) Zistite, aké najmenšie prirodzené číslo môže byť a₀.

A-I-4

Nájdite všetky kubické rovnice P(x) = 0, ktoré majú aspoň dva rôzne reálne korene, z ktorých jeden je číslo 7, a ktoré pre každé reálne číslo t vyhovujú podmienke: Ak P(t) = 0 potom P(t + 1) = 1.

A-I-5

Sú dané úsečky dĺžok a, b, c, d. Dokážte, že konvexné štvoruholníky ABCD so stranami dĺžok a, b, c, d (pri zvyčajnom označení) existujú a pritom uhlopriečky každého z nich zvierajú ten istý uhol práve vtedy, keď platí rovnosť a² + c² = b² + d².

A-I-6

Nájdite všetky usporiadané dvojice (x, y) prirodzených čísel, pre ktoré platí  x² + y² = 2005.(x –y).

▲ hore ▲

A-S-1

Nájdite všetky dvojice celých čísel x a y, pre ktoré platí .

A-S-2

Daný je rovnostranný trojuholník ABC s obsahom S a jeho vnútorný bod M. Označme postupne A₁, B₁, C₁ tie body strán BC, CA a AB, pre ktoré platí MA₁||AB, MB₁||BC a MC₁||CA. Priesečníky osí úsečiek MA₁, MB₁ a MC₁ tvoria vrcholy trojuholníka s obsahom T. Dokážte, že platí S = 3T.

A-S-3

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu  .

▲ hore ▲

A-II-1
Nájdite všetky dvojice takých celých čísel a, b, že súčet a + b je koreňom rovnice  x² + ax + b = 0.

A-II-2

Postupnosť reálnych čísel spĺňa pre každé n ≥ 1 rovnosť

a naviac platí a₁₁ = 4, a₂₂ = 2, a₃₃ = 1. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo k je súčet

druhou mocninou prirodzeného čísla.

A-II-3

Daný je trojuholník ABC a vnútri neho bod P. Označme X priesečník priamky AP so stranou BC a Y priesečník priamky BP so stranou AC. Dokážte, že štvoruholník ABXY je tetivový práve vtedy, keď druhý priesečník (rôzny od bodu C) kružníc opísaných trojuholníkom ACX a BCY leží na priamke CP.

A-II-4

V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc

sin² x + cos² y = y²;
sin² y + cos² x = x²

▲ hore ▲