56. ročník matematickej olympiády 2006-2007

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1

Určte všetky dvojice (a, b) prirodzených čísel, pre ktoré platí  .

C-I-2

Nájdite všetky trojuholníky, ktoré sa dajú rozrezať na lichobežníky s dĺžkami strán 1 cm, 1 cm, 1 cm a 2 cm.

C-I-3

Nájdite všetky prirodzené čísla, ktorých zápis neobsahuje nulu a má nasledovnú vlastnosť:
●   ak v ňom vynecháme ľubovoľnú číslicu, dostaneme číslo, ktoré je deliteľom pôvodného čísla.

C-I-4

Je daný lichobežník ABCD so základňami AB a CD. Označme E stred strany AB, F stred úsečky DE a G priesečník úsečiek BD a CE. Vyjadrite obsah lichobežníka ABCD pomocou jeho výšky v a dĺžky d úsečky FG za predpokladu, že body A, F, C ležia na jednej priamke.

C-I-5

Zistite, pre ktoré prirodzené číslo n je podiel

a) čo najväčšie prirodzené číslo,

b) čo najmenšie prirodzené číslo.

C-I-6

Je daný ostrouhlý trojuholník ABC, v ktorom D je päta výšky z vrcholu C a V priesečník výšok. Dokážte, že |AD|.|BD| = |AB|.|VD| práve vtedy, keď |CD| = |AB|.

▲ hore ▲

C-S-1

Určte počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel, ktoré sú deliteľné šiestimi a v ich zápise sa vyskytujú práve dve jednotky.

C-S-2

Kružnica k so stredom S je opísaná pravidelnému šesťuholníku ABCDEF. Dotyčnica v bode A ku kružnici k pretína priamku SB v bode K a dotyčnica v bode B pretína priamku SC v bode L. Dokážte, že štvoruholníku KLCB sa dá opísať kružnica, ktorá je zhodná s kružnicou k.

C-S-3

Určte všetky dvojice (a, b) prirodzených čísel, ktorých rozdiel a – b je piatou mocninou niektorého prvočísla a pre ktoré platí .

▲ hore ▲

C-II-1

V rovine sú dané dva rôzne body L, M a kružnica k. Zostrojte trojuholník ABC s čo najväčším obsahom tak, aby jeho vrchol C ležal na kružnici k, bod L bol stredom strany AC a bod M stredom strany BC.

C-II-2

Nech p, q, r sú prirodzené čísla, pre ktoré platí .
a) Určte, aké hodnoty môže nadobúdať súčet p + q + r.
b) Určte počet všetkých usporiadaných trojíc (p, q, r) prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej rovnici.

C-II-3

Rovnoramennému lichobežníku ABCD so základňami AB, CD sa dá vpísať kružnica so stredom O. Určte obsah S lichobežníka, ak sú dané dĺžky úsečiek OB a OC.

C-II-4

Určte najväčšie dvojciferné číslo k s nasledujúcou vlastnosťou:

existuje prirodzené číslo N, z ktorého po škrtnutí prvej číslice zľava dostaneme číslo k-krát menšie. (Po škrtnutí číslice môže zápis čísla začínať jednou či niekoľkými nulami.) K určenému číslu k potom nájdite najmenšie vyhovujúce číslo N.

▲ hore ▲

B-I-1

Nájdite všetky dvojice (a, b) celých čísel, ktoré vyhovujú rovnici
a² + 7ab + 6b² + 5a + 4b + 3 = 0.

B-I-2

Je daná kružnica k s priemerom AB. K ľubovoľnému bodu Y kružnice k, Y ≠ A, zostrojme na polpriamke AY bod X, pre ktorý platí |AX| = |YB|. Určte množinu všetkých takých bodov X.

B-I-3

Nájdite najmenšie prirodzené číslo k také, že každá k-prvková množina trojmiestnych po dvoch nesúdeliteľných čísel obsahuje aspoň jedno prvočíslo.

B-I-4

V ľubovoľnom trojuholníku ABC označme T ťažisko, D stred strany AC a E stred strany BC. Nájdite všetky pravouhlé trojuholníky ABC s preponou AB, pre ktoré je štvoruholník CDTE dotyčnicový.

B-I-5

Nájdite všetky dvojice (p, q) reálnych čísel také, že polynóm x² + px + q je deliteľom polynómu
x⁴ + px² + q.

B-I-6

Je daná úsečka AA₀ a priamka p. Zostrojte trojuholník s vrcholom A a výškou AA₀, ktorého ťažisko a stred opísanej kružnice ležia na priamke p.

▲ hore ▲

B-S-1

Určte vštky dvojice reálnych čísel a, b, pre ktoré je polynóm x⁴ + ax² + b deliteľný polynómom x² + bx + a.

B-S-2

V trojuholníku ABC označme D stred strany BC, E stred strany AC a T ťažisko. Dokážte, že ak je strana BC dlhšia ako strana AC, má kružnica vpísaná trojuholníku BDT menší polomer ako kružnica vpísaná trojuholníku ATE.

B-S-3

Nájdite najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré je podiel prirodzené číslo.

▲ hore ▲

B-II-1

Určte reálne čísla a, b, c tak, aby polynóm x⁴ + ax² + bx + c bol deliteľný polynómom x² + x + 1 a pritom súčet a² + b² + c² bol čo najmenší.

B-II-2

Daný je trojuholník ABC so stranou BC dĺžky 22 cm a stranou AC dĺžky 19 cm, ktorého ťažnice t_a, t_b sú navzájom kolmé. Vypočítajte dĺžku strany AB.

B-II-3

Prirodzené číslo nazveme vlnitým, ak pre každé tri po sebe idúce číslice a, b, c jeho dekadického zápisu platí (a – b)(b – c) < 0. Dokážte, že z číslic 0, 1, …, 9 je možné zostaviť viac ako 25 000 desaciťciferných vlnitých čísel, z ktorých každé obsahuje všetky číslice od nuly po deviatku (číslica 0 nesmie byť na prvom mieste).

B-II-4

Je daný ostrouhlý trojuholník ABC. Pre ľubovoľný bod L jeho strany AB označme K, M päty kolmíc z bodu L na strany AC, BC. Zistite, pre ktorú polohu bodu L je úsečka KM najkratšia.

▲ hore ▲

A-I-1

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu

4x⁴ – 12x³ – 7x² + 22x + 14 = 0,

ak viete, že má štyri rôzne reálne korene, pričom súčet dvoch z nich je 1.

A-I-2

Kružnica vpísaná danému trojuholníku ABC sa dotýka strán BC, CA, AB postupne v bodoch K, L, M. Označme P priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole C s priamkou MK. Dokážte, že priamky AP a LK sú rovnobežné.

A-I-3

Ak sú x, y, z reálne čísla z intervalu <-1, 1> vyhovujúce podmienke xy + yz + zx = 1, potom platí

Dokážte a zistite, kedy nastane rovnosť.

A-I-4

Zistite, pre ktoré prirodzené čísla n je možné množinu M = {1, 2, … ,n} rozdeliť

a) na dve,

b) na tri

navzájom disjunktné podmnožiny s rovnakým počtom prvkov tak, aby každá z nich obsahovala aj aritmetický priemer všetkých svojich prvkov.

A-I-5

V rovine je daná kružnica k so stredom S a bod A ≠ S. Určte množinu stredov kružníc opísaných všetkým trojuholníkom ABC, ktorých strana BC je priemerom kružnice k.

A-I-6

Určte všetky funkcie f : Z → Z také, že pre všetky celé čísla x, y platí  f (f(x) + y) = x + f(y + 2006).

▲ hore ▲

A-S-1

Určte všetky reálne čísla s, pre ktoré má rovnica

4x⁴ – 20x³ + sx² + 22x- 2 = 0

štyri rôzne reálne korene, pričom súčin dvoch z nich je rovný číslu -2.

A-S-2

Uvažujme množinu {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160} a všetky jej trojprvkové podmnožiny. Rozhodnite, či je viac tých, ktoré majú súčin svojich prvkov väčší ako 2006, alebo tých, ktoré majú súčin svojich prvkov menší ako 2006.

A-S-3

Daný je lichobežník ABCD s pravým uhlom pri vrchole A a základňou AB, v ktorom platí |AB| > |CD| ≥ |DA|. Označme S priesečník osí jeho vnútorných uhlov pri vrcholoch A, B a T priesečník osí vnútorných uhlov pri vrcholoch C, D. Podobne označme U, V priesečníky osí vnútorných uhlov pri vrcholoch A, D, resp. B, C.

a) Dokážte, že priamky UV a AB sú rovnobežné.

b) Dokážte, že priesečník E polpriamky DT s priamkou AB a body S, T, B ležia na jednej kružnici.

▲ hore ▲

A-II-1

Zistite, aký je najmenší možný obsah trojuholníka ABC, ktorého výšky spĺňajú nerovnosti v_a ≥ 3 cm, v_b ≥ 4 cm, v_c ≥ 5 cm.

A-II-2

Nech a, b sú reálne čísla. Ak má rovnica

dva rôzne reálne korene také, že ich súčet sa rovná ich súčinu, tak platí a + b > 0 a pritom daná rovnica nemá žiadne iné reálne korene. Dokážte.

A-II-3

Nech M je ľubovoľný vnútorný bod prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC. Označme S, S₁, S₂ stredy kružníc opísaných postupne trojuholníkom ABC, AMC, BMC.

a) Dokážte, že body M, C, S₁, S₂ a S ležia na jednej kružnici.

b) Pre ktorú polohu bodu M má táto kružnica najmenší polomer?

A-II-4

Nech p, q sú dané prirodzené čísla, pričom p < q. Určte najmenšie prirodzené číslo m s vlastnosťou: Súčet všetkých zlomkov v základnom tvare, ktoré majú menovateľa m a ktorých hodnoty ležia v otvorenom intervale (p, q), je aspoň 56(q² – p²).

▲ hore ▲

A-III-1

Na niektoré políčko štvorcovej šachovnice n×n (n 2)postavíme figúrku a potom ju posúvame striedavo „šikmo“ a „priamo“. „Šikmo“ znamená na políčko, ktoré má s predchádzajúcim spoločný práve jeden bod. „Priamo“ znamená na susedné políčko, ktoré má s predchádzajúcim spoločnú stranu. Určte všetky n, pre ktoré existuje východiskové políčko a taká postupnosť ťahov začínajúca „šikmo“, že figúrka prejde celú šachovnicu a na každom políčku sa ocitne práve raz.

A-III-2

Nech a, b sú reálne čísla. Ak má rovnica

dva rôzne reálne korene také, že ich súčet sa rovná ich súčinu, tak platí a + b > 0 a pritom daná rovnica nemá žiadne iné reálne korene. Dokážte.

A-III-3

Nech M je ľubovoľný vnútorný bod prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC. Označme S, S₁, S₂ stredy kružníc opísaných postupne trojuholníkom ABC, AMC, BMC.

a) Dokážte, že body M, C, S₁, S₂ a S ležia na jednej kružnici.

b) Pre ktorú polohu bodu M má táto kružnica najmenší polomer?

A-III-4

Nech p, q sú dané prirodzené čísla, pričom p < q. Určte najmenšie prirodzené číslo m s vlastnosťou: Súčet všetkých zlomkov v základnom tvare, ktoré majú menovateľa m a ktorých hodnoty ležia v otvorenom intervale (p, q), je aspoň 56(q² – p²).

▲ hore ▲