Matematická olympiáda

52. ročník matematickej olympiády 2002-2003

C-I-1
Z piatich jedničiek, z piatich dvojok, z piatich trojok, z piatich štvoriek a z piatich pätiek zostavte päť navzájom rôznych päťmiestnych čísel tak, aby ich súčet bol čo najväčší.

C-I-2
Je daný trojuholník ABC s ostrými vnútornými uhlami pri vrcholoch A a B. Označme Q priesečník ťažnice AD s výškou CP a E pätu kolmice z bodu D na stranu AB. Ďalej nech R je taký bod na polpriamke opačnej k PC, že |PR| = |CQ|. Dokážte, že priamky AD a RE sú rôznobežné a že ich priesečník leží na kolmici k priamke AB prechádzajúcej bodom B.

C-I-3
Predpokladajme, že každá z dvoch bánk A a B bude mať počas nasledujúcich dvoch rokov stálu ročnú úrokovú mieru. Keby sme uložili 5/6 našich úspor v banke A a zvyšok v banke B, vzrástli by naše úspory po jednom roku na 67 000 Sk a po dvoch rokoch na 74 900 Sk. Keby sme však uložili 5/6 našich úspor v banke B a zvyšok v banke A, vzrástli by naše úspory po jednom roku na 71 000 Sk. Na akú čiastku by sa v takom prípade zvýšili naše úspory po dvoch rokoch?

C-I-4
Zostrojte lichobežník ABCD s výškou 3 cm a zhodnými stranami BC, CD a DA, pre ktorý platí: Na základni AB existuje bod E taký, že úsečka DE má dĺžku 5 cm a delí lichobežník na dve časti s rovnakými obsahmi.

C-I-5
K prirodzenému číslu m zapísanému rovnakými číslicami sme pripočítali štvormiestne prirodzené číslo n. Získali sme štvormiestne číslo s opačným poradím číslic ako má číslo n. Určte všetky také dvojice čísel m a n.

C-I-6
V rovine je daná priamka p a kružnica k. Zostrojte taký trojuholník ABC, aby k bola kružnicou jemu vpísanou, aby jej stred ležal v jednej štvrtine jeho ťažnice na stranu AB a aby vrchol C ležal na priamke p. Urobte diskusiu o počte riešení v závislosti na vzájomnej polohe priamky p a kružnice k.

C-S-1

C-S-2

C-S-3

C-II-1

C-II-2

C-II-3

C-II-4

B-I-1
Palindrómom rozumieme prirodzené číslo, ktoré sa číta rovnako odpredu aj odzadu, napr. 16 261. Nájdite najväčší štvormiestny palindróm, ktorého druhá mocnina je tiež palindrómom.

B-I-2
Nájdite všetky trojice reálnych čísel (x, y, z) vyhovujúcich sústave rovníc

B-I-3
Je daný trojuholník so stranami dĺžok a, b, c a obsahom S. Dokážte, že rovnosť

platí práve vtedy, keď existuje trojuholník so stranami dĺžok a, b, 2c a obsahom 2S.

B-I-4
Krokom budeme rozumieť nahradenie usporiadanej trojice celých čísel (p, q, r) trojicou (r + 5q, 3r − 5p, 2q − 3p). Rozhodnite, či existuje celé číslo k také, že z trojice (1, 3, 7) vznikne po konečnom počte krokov trojica (k, k + 1, k + 2).

B-I-5
V rovine je daný pravouhlý lichobežník ABCD s dlhšou základňou AB a pravým uhlom pri vrchole A. Kružnica k₁ zostrojená nad stranou AD ako priemerom a kružnica k₂, ktorá prechádza vrcholmi B, C a dotýka sa priamky AB, majú vonkajší dotyk v bode P. Dokážte, že uhly CPD a ABC sú zhodné!

B-I-6
V karteziánskej sústave súradníc Ouv znázornite množinu všetkých bodov [u, v], kde u > 0, pre ktoré má rovnica

s neznámou x práve tri rôzne reálne riešenia.

B-S-1

B-S-2

B-S-3

B-II-1

B-II-2

B-II-3

A-I-1
A-I-2
A-I-3
A-I-4
A-I-5
A-I-6

A-S-1

A-S-2

A-S-3

A-II-1
A-II-2
A-II-3
A-II-4