52. ročník matematickej olympiády 2002-2003

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
Z piatich jedničiek, z piatich dvojok, z piatich trojok, z piatich štvoriek a z piatich pätiek zostavte päť navzájom rôznych päťmiestnych čísel tak, aby ich súčet bol čo najväčší.

C-I-2
Je daný trojuholník ABC s ostrými vnútornými uhlami pri vrcholoch A a B. Označme Q priesečník ťažnice AD s výškou CP a E pätu kolmice z bodu D na stranu AB. Ďalej nech R je taký bod na polpriamke opačnej k PC, že |PR| = |CQ|. Dokážte, že priamky AD a RE sú rôznobežné a že ich priesečník leží na kolmici k priamke AB prechádzajúcej bodom B.

C-I-3
Predpokladajme, že každá z dvoch bánk A a B bude mať počas nasledujúcich dvoch rokov stálu ročnú úrokovú mieru. Keby sme uložili 5/6 našich úspor v banke A a zvyšok v banke B, vzrástli by naše úspory po jednom roku na 67 000 Sk a po dvoch rokoch na 74 900 Sk. Keby sme však uložili 5/6 našich úspor v banke B a zvyšok v banke A, vzrástli by naše úspory po jednom roku na 71 000 Sk. Na akú čiastku by sa v takom prípade zvýšili naše úspory po dvoch rokoch?

C-I-4
Zostrojte lichobežník ABCD s výškou 3 cm a zhodnými stranami BC, CD a DA, pre ktorý platí: Na základni AB existuje bod E taký, že úsečka DE má dĺžku 5 cm a delí lichobežník na dve časti s rovnakými obsahmi.

C-I-5
K prirodzenému číslu m zapísanému rovnakými číslicami sme pripočítali štvormiestne prirodzené číslo n. Získali sme štvormiestne číslo s opačným poradím číslic ako má číslo n. Určte všetky také dvojice čísel m a n.

C-I-6
V rovine je daná priamka p a kružnica k. Zostrojte taký trojuholník ABC, aby k bola kružnicou jemu vpísanou, aby jej stred ležal v jednej štvrtine jeho ťažnice na stranu AB a aby vrchol C ležal na priamke p. Urobte diskusiu o počte riešení v závislosti na vzájomnej polohe priamky p a kružnice k.

C-S-1
Ak od ľubovoľného aspoň dvojmiestneho prirodzeného čísla odtrhneme číslicu na mieste jednotiek, dostaneme číslo o jednu číslicu „kratšie“. Nájdite všetky pôvodné čísla, ktoré sa rovnajú absolútnej hodnote rozdielu druhej mocniny „kratšieho“ čísla a druhej mocniny odtrhnutej číslice.

C-S-2
Na strane CD štvorca ABCD je zvolený bod E tak, že uhol DAE má veľkosť 30◦. Bod P je pätou kolmice vedenej bodom B na priamku AE, bod Q pätou kolmice vedenej bodom C na priamku BP. Rozhodnite, či je obsah lichobežníka PQCE menší ako tretina obsahu štvorca ABCD.

C-S-3
Z piatich jednotiek, piatich dvojok, piatich trojok, piatich štvoriek a piatich pätiek zostavíme päť päťmiestnych čísel, ktoré sa čítajú odpredu rovnako ako odzadu (napr. 32 223), a potom tieto čísla sčítame. Akú najmenšiu a akú najväčšiu hodnotu môže mať výsledný súčet?

C-II-1
Nájdite najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré je súčin

deliteľný všetkými dvojmiestnymi prvočíslami.

C-II-2
V rovine je daná úsečka AP. Zostrojte pravidelný šesťuholník ABCDEF tak, aby bod P bol stredom jeho strany DE.

C-II-3
Keby Karol požičal jednému známemu p tisíc Sk s úrokom p % a druhému známemu q tisíc Sk s úrokom q %, kde p a q sú celé čísla, priniesli by mu obe pôžičky taký istý zisk, ako keby jednej osobe požičal celkovú čiastku s úrokom (p + 2,4) %. Keby požičal jednému známemu p tisíc Sk s úrokom 2p % a druhému známemu q tisíc Sk s úrokom 2q %, priniesli by mu tieto pôžičky rovnaký zisk, ako keby jednej osobe požičal celkovú čiastku s úrokom (p + 5,8) %. Určte čísla p a q.

C-II-4
Určte dĺžku ramien rovnoramenného lichobežníka so základňami dĺžok 10 a 12 tak, aby dĺžky všetkých jeho strán aj uhlopriečok boli vyjadrené celými číslami.

B-I-1
Palindrómom rozumieme prirodzené číslo, ktoré sa číta rovnako odpredu aj odzadu, napr. 16 261. Nájdite najväčší štvormiestny palindróm, ktorého druhá mocnina je tiež palindrómom.

B-I-2
Nájdite všetky trojice reálnych čísel (x, y, z) vyhovujúcich sústave rovníc

B-I-3
Je daný trojuholník so stranami dĺžok a, b, c a obsahom S. Dokážte, že rovnosť

platí práve vtedy, keď existuje trojuholník so stranami dĺžok a, b, 2c a obsahom 2S.

B-I-4
Krokom budeme rozumieť nahradenie usporiadanej trojice celých čísel (p, q, r) trojicou (r + 5q, 3r − 5p, 2q − 3p). Rozhodnite, či existuje celé číslo k také, že z trojice (1, 3, 7) vznikne po konečnom počte krokov trojica (k, k + 1, k + 2).

B-I-5
V rovine je daný pravouhlý lichobežník ABCD s dlhšou základňou AB a pravým uhlom pri vrchole A. Kružnica k₁ zostrojená nad stranou AD ako priemerom a kružnica k₂, ktorá prechádza vrcholmi B, C a dotýka sa priamky AB, majú vonkajší dotyk v bode P. Dokážte, že uhly CPD a ABC sú zhodné!

B-I-6
V karteziánskej sústave súradníc Ouv znázornite množinu všetkých bodov [u, v], kde u > 0, pre ktoré má rovnica

s neznámou x práve tri rôzne reálne riešenia.

B-S-1
Nájdite najväčšie päťmiestne prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslom 101 a ktoré sa číta odpredu rovnako ako odzadu.

B-S-2
Je daný konvexný štvoruholník ABCD. Označme P priesečník jeho uhlopriečok a Q priesečník spojníc stredov jeho protiľahlých strán. Ak bod Q leží na uhlopriečke BD, je bod P stredom uhlopriečky AC. Dokážte.

B-S-3
Koľko rôznych výsledkov môžeme dostať, ak sčítame každé dve z daných piatich rôznych prirodzených čísel? Pre každý možný počet uveďte príklad takej pätice čísel.

B-II-1
Určte najväčší počet po sebe idúcich päťmiestnych prirodzených čísel, medzi ktorými nie je žiadny palindróm (t. j. číslo, ktoré sa číta odpredu rovnako ako odzadu).

B-II-2
V rovine je daný pravouhlý trojuholník ABC. Nech K je ľubovoľný bod prepony AB. Kružnica zostrojená nad úsečkou CK ako nad priemerom pretne odvesny BC a CA vo vnútorných bodoch, ktoré označíme postupne L a M. Rozhodnite, pre ktorý bod K má štvoruholník ABLM najmenší možný obsah.

B-II-3
Určte všetky reálne čísla p, pre ktoré má rovnica

práve tri rôzne riešenia v obore reálnych čísel.

B-II-4
V rovine je daný pravouhlý lichobežník ABCD s dlhšou základňou AB a pravým uhlom pri vrchole A. Označme k₁ kružnicu zostrojenú nad stranou AD ako nad priemerom a k₂ kružnicu, ktorá prechádza bodmi B, C a dotýka sa priamky AB. Ak majú kružnice k₁, k₂ vonkajší dotyk v bode P, je priamka BC dotyčnicou kružnice opísanej trojuholníku CDP. Dokážte.

A-I-1
Postupnosť celých čísel s prvým členom x₁ = 1 spĺňa podmienku

s vhodnou voľbou znamienok „+“ a „−“ pre ľubovoľné n > 1, napríklad x₂ = −x₁, x₃ = −x₂ + x₁, x₄ = x₃ − x₂ − x₁, … Pre dané n určte všetky možné hodnoty x_n.

A-I-2
Na priamke p sú dané rôzne body A, B, C v tomto poradí, kde |AB|b =b 1 a |BC|b =b h. Uvažujme kružnice k_A, k_B, k_C, ktoré sa dotýkajú priamky p postupne v bodoch A, B, C. Kružnice k_A, k_B majú pritom vonkajší dotyk v bode P a kružnice k_B, k_C majú vonkajší dotyk v bode Q. Určte všetky také hodnoty polomeru kružnice k_B, pre ktoré je trojuholník BPQ rovnoramenný.

A-I-3
Určte všetky možné hodnoty výrazu

kde a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka.

A-I-4
Určte všetky prirodzené čísla n>1 také, že v niektorej číselnej sústave so základom z≥5 platí nasledovné kritérium deliteľnosti:
Trojmiestne číslo (abc)_z je deliteľné číslom n práve vtedy, keď je číslom n deliteľné číslo c + 3b − 4a.

A-I-5
V rovine sú dané tri rôzne body K, L, M, ktoré v tomto poradí ležia na priamke. V tejto rovine nájdite množinu všetkých vrcholov C štvorcov ABCD takých, že bod K leží na strane AB, bod L na uhlopriečke BD a bod M na strane CD.

A-I-6
Hráči A a B hrajú na doske zloženej zo šiestich polí očíslovaných 1, 2, . . . , 6 nasledujúcu hru. Na začiatku je umiestnená na pole s číslom 2 figúrka a potom sa hádže bežnou hracou kockou. Ak padne číslo deliteľné tromi, posunie sa figúrka na pole s číslom o jedna menším, inak na pole s číslom o jedna väčším. Hra končí víťazstvom hráča A (resp. B), ak sa dostane figúrka na pole s číslom 1 (resp. 6). S akou pravdepodobnosťou zvíťazí hráč A?

A-S-1
Hovoríme, že tri navzájom rôzne prirodzené čísla tvoria súčtovú trojicu, ak súčet prvých dvoch z nich sa rovná tretiemu číslu. Zistite, aký najväčší počet súčtových trojíc sa môže nachádzať v množine dvadsiatich prirodzených čísel.

A-S-2
V rovine sú dané kružnice k₁(S₁, r₁) a k₂(S₂, r₂) tak, že S₂ ∈ k₁ a r₁ > r₂. Spoločné dotyčnice oboch kružníc sa dotýkajú kružnice k₁ v bodoch P a Q. Dokážte, že priamka PQ sa dotýka kružnice k₂.

A-S-3
Zistite, pre ktoré reálne čísla p majú rovnice

spoločný koreň.

A-II-1
Nájdite základy z všetkých číselných sústav, v ktorých je štvormiestne číslo (1001)^z deliteľné dvojmiestnym číslom (41)^z.

A-II-2
Vnútri strany AB daného ostrouhlého trojuholníka ABC nájdite bod S tak, aby trojuholník SXY, kde X a Y sú postupne stredy kružníc opísaných trojuholníkom ASC a BSC, mal najmenší možný obsah.

A-II-3
V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc

s neznámymi x, y, z a nezáporným celočíselným parametrom p.

A-II-4
Postupnosť s prvým členom x₁ = 1 spĺňa pre každé n > 1 podmienku

s vhodnou voľbou znamienok ” +“ a ” −“ v exponentoch mocnín.
a) Rozhodnite, či niektorý člen takej postupnosti musí byť väčší ako 1 000.
b) Zistite najmenšiu možnú hodnotu člena x_{1 000 000}.
c) Dokážte, že nerovnosť x_n < 4 nemôže platiť pre deväť členov x_n takej postupnosti.

▲ hore ▲