73. ročník matematickej olympiády 2023-2024
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 26.09.2023 23:30

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
okresné	okresné	okresné	okresné	okresné
				krajské

Z5-I-1
Zajac sa zúčastnil na pretekoch dlhých 2024 metrov. Zo štartovej čiary sa odrazil ľavou nohou a po celý čas pretekov pravidelne striedal ľavú, pravú a obe nohy. Keď sa zajac odrazil ľavou nohou, skočil 35 dm, keď sa odrazil pravou nohou, skočil 15 dm, a keď sa odrazil oboma nohami, skočil 61 dm. Koľko skokov zajac urobil, kým dorazil do cieľa? Ktorou nohou sa odrazil pri cieľovom skoku?

Z5-I-2
Zuzka postavila zo šestnástich rovnako veľkých kociek kváder s pôdorysom 4 × 4. S ďalšími rovnako veľkými kockami pokračovala v stavaní. Kocky ukladala tak, že každé dve susedné mali spoločnú celú stenu. Výsledná stavba vyzerala z dvoch rôznych strán ako na nasledujúcom obrázku. Zistite, koľko najviac a koľko najmenej kociek mohla Zuzka na svoju stavbu použiť.

Z5-I-3
Katka mala v záhradke päť záhonov rozmiestnených ako na obrázku. Do záhonov chcela zasadiť cesnak, mrkvu a reďkvičku tak, aby na každom záhone bol len jeden druh zeleniny a aby žiadne dva záhony s rovnakou zeleninou nesusedili. Koľkými rôznymi spôsobmi mohla Katka do záhonov zasadiť cesnak, mrkvu a reďkvičku?

Z5-I-4
V záhradkárskej osade mal pán Jahoda vo svojom sude 16 litrov vody. Sused pán Malina mal vo svojom sude trikrát viac vody ako pán Jahoda. Začalo pršať a do oboch sudov napršalo rovnaké množstvo vody. Po daždi pán Malina zistil, že má v sude dvakrát viac vody ako pán Jahoda. Koľko litrov vody napršalo do každého suda?

Z5-I-5
Zo štyroch zhodných štvorcov bol vytvorený ornament ako na obrázku.

Strany štvorcov sú dlhé 4 cm, sú navzájom rovnobežné alebo kolmé a pretínajú sa buď vo svojich štvrtinách, alebo poloviciach. Libor chcel ornament vyfarbiť a zistil, že farba na 1 cm2 každého súvislého poľa ho bude stáť toľko eur, koľkým štvorcom je toto pole spoločné. Koľko eur bude stáť farba na vyfarbenie celého ornamentu?

Z5-I-6
Lucka napísala na lístok číslo 12345 a dvakrát ho medzi ciframi rozstrihla. Získala tak tri menšie kartičky s tromi číslami. Tieto kartičky zoradila dvoma spôsobmi, čím dostala dve rôzne päťciferné čísla. Rozdiel týchto dvoch čísel bol 28 926. Medzi ktorými ciframi Lucka lístok rozstrihla?

Z5-II-1

Z5-II-2

Z5-II-3

Z6-I-1
Kamaráti Jaro, Pavol a Rasťo hrali guľôčky. Jarovi sa veľmi nedarilo, takže mal po hre najmenej guľôčok zo všetkých. Chlapcom to bolo ľúto, preto dal Rasťo Jarovi polovicu všetkých svojich guľôčok a Pavol tretinu tých svojich. Teraz mal najviac guľôčok Jaro, a tak svojim dvom kamarátom vrátil každému sedem guľôčok. Po týchto výmenách mali všetci rovnako, a to po 25 guľôčok. Koľko guľôčok mal po hre (pred výmenami) Jaro?

Z6-I-2
Karolína narysovala štvorec so stranou 6 cm. Na každej strane štvorca vyznačila modrou farbou dva body, ktorý mi rozdelila príslušnú stranu na tri zhodné časti. Potom zostrojila štvoruholník, ktorý mal všetky vrcholy modrej farby a ktorého žiadne dva vrcholy neležali na rovnakej strane štvorca. Aké obsahy štvoruholníkov mohla Karolína dostať? Nájdite všetky možnosti.

Z6-I-3
V osemcifernom čísle je každá jeho cifra (okrem poslednej) väčšia ako nasledujúca cifra. Koľko je všetkých takýchto čísel?

Z6-I-4
V nasledujúcom písomnom násobení dvoch trojciferných čísel sú cifry zastúpené hviezdičkami. Na miesta hviezdičiek doplňte cifry tak, aby bol výpočet správny:

Z6-I-5
Z navzájom zhodných trojuholníkov je zložených niekoľko rovinných útvarov. Obvody prvých troch sú postupne 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Vypočítajte obvod štvrtého útvaru.

Z6-I-6
Alex, Barbora, Cyril, Dana, Eva, František a Gabika sa stali na svojich školách víťazmi v stolnom tenise a zišli sa na dvojdňovom turnaji o celkového víťaza. Každé z týchto siedmich detí malo počas turnaja zohrať jeden zápas s každým iným. Prvý deň turnaja hral Alex jeden zápas, Barbora hrala dva zápasy, Cyril tri, Dana štyri, Eva päť zápasov a František šesť. Koľko zápasov hrala prvý deň Gabika?

Z6-II-1

Z6-II-2

Z6-II-3

Z7-I-1
Ajka, Barborka, Cilka a Daniel sa dohadovali o počte zrniek piesku na ich pieskovisku. Daniel povedal kamarátkam svoj odhad a tie sa ho rozhodli overiť. Ajka narátala 873 451 230, Barborka 873 451 227 a Cilka 873 451 213 zrniek piesku. Súčet (kladných) rozdielov týchto troch výsledkov od Danielovho odhadu bol 29. Koľko zrniek piesku mohol odhadnúť Daniel? Uveďte všetky možnosti.

Z7-I-2
Pán Delfín a pán Žralok boli zdatní rybári. Raz dokopy ulovili 70 rýb. Medzi rybami, ktoré ulovil pán Delfín, bolo 5/9 pstruhov. Medzi rybami, ktoré ulovil pán Žralok, boli 2/17 kaprov. Koľko rýb ulovil pán Delfín?

Z7-I-3
Myslím si tri čísla. Keď ich sčítam, dostanem 15. Keď od súčtu prvých dvoch čísel odčítam tretie, dostanem 10. Keď od súčtu prvého a tretieho čísla odčítam druhé, dostanem 8. Ktoré čísla si myslím?

Z7-I-4
Anetkin strýko má narodeniny v ten istý deň v roku ako Anetkina teta. Strýko je starší ako teta, nie však o viac ako desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný súčin ešte vynásobí počtom psov, ktorí sa na oslave zišli, dostane číslo 2024. Koľko psov mohlo byť na tejto oslave? Určte všetky možnosti.

Z7-I-5
Pravouhlý trojuholník má obsah 36 m2 . V ňom je umiestnený štvorec tak, že dve strany štvorca sú časťami dvoch strán trojuholníka a jeden vrchol štvorca je v tretine najdlhšej strany. Určte obsah tohto štvorca.

Z7-I-6
Trpaslíci počítajú svoje veky v dňoch, takže každý deň oslavujú narodeniny. U trpaslíka Nošteka sa zišlo sedem trpaslíkov s vekmi 105, 120, 140, 168, 210, 280 a 420 dní. Počas oslavy sa všetkým ôsmim trpaslíkom podarilo rozdeliť do dvoch skupín s rovnakými súčtami vekov. Koľko najmenej a koľko najviac dní mohol mať trpaslík Noštek?

Z7-II-1

Z7-II-2

Z7-II-3

Z8-I-1
V minulom roku bolo v našom skautskom oddiele o 30 chlapcov viac ako dievčat. Tento rok sa počet detí v oddiele zväčšil o 10 %, pričom počet chlapcov sa zväčšil o 5 % a počet dievčat sa zväčšil o 20 %.
Koľko detí máme tento rok v oddiele?

Z8-I-2
Adam mal papier, ktorý bol natoľko veľký, že by sa z neho dalo natrhať niekoľko desiatok tisíc kúskov. Najprv papier roztrhal na štyri kúsky. Každý z týchto kúskov vzal a roztrhal buď na štyri, alebo na desať kúskov. Rovnakým spôsobom pokračoval ďalej: každý novovzniknutý kúsok roztrhal buď na štyri, alebo na desať menších kúskov. Rozhodnite a vysvetlite, či môže Adam týmto spôsobom natrhať presne 20 000 kúskov.

Z8-I-3
V športovom areáli tvorili stanovištia vrcholy pravidelného päťuholníka 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Tieto stanovištia boli pospájané priamymi cestami. Na ceste z 𝐴 do 𝐵 bola fontána 𝐹, ktorú so stanovišťom 𝐶 spájala cesta kolmá na cestu z 𝐵 do 𝐸. Pat a Mat sa zišli na stanovišti 𝐸 a rozhodli sa zamiesť niektoré cesty. Pat pozametal cestu z 𝐸 do 𝐵. Mat pozametal cestu z 𝐸 do 𝐴 a ešte z 𝐴 do 𝐹.
Určte, ktorý z nich zametal dlhší úsek.

Z8-I-4
Hynek napísal nasledujúci súčet s piatimi záhadnými sčítancami:

Prezradil, že znaky @, #, ∗, &, $ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný jedenástimi.
Ktoré najmenšie a ktoré najväčšie číslo môže byť výsledkom Hynkovho súčtu?

Z8-I-5
Trojuholník 𝐴𝐵𝐶 je rozdelený úsečkami ako na obrázku. Úsečky DE a AB sú rovnobežné. Trojuholníky 𝐶𝐷𝐻, 𝐶𝐻𝐼, 𝐶𝐼𝐸, 𝐹𝐼𝐻 majú rovnaký obsah, a to 8 dm². Zistite obsah štvoruholníka AFHD.

Z8-I-6
Adam vpı́sal do tabuľky 3 × 3 čísla od 1 po 9 ako na obrázku:

7	6	4
1	2	8
9	3	5

Pre toto vyplnenie platí, že súčet čísel troch políčok pozdĺž každej strany je stále rovnaký. Adam zistil, že čísla do tabuľky je možné vyplniť aj inak, bez toho, aby pokazil vlastnosť s rovnakými súčtami pozdĺž strán. Akú najmenšiu hodnotu môže mať tento súčet? Uveďte príklad tabuľky s najmenším súčtom pozdĺž strán a vysvetlite, prečo menšı́ súčet byť nemôže.

Z8-II-1

Z8-II-2

Z8-II-3

Z9-I-1
Pat a Mat si dali preteky v behu do svojej chalúpky. V istom okamihu platilo, že keby Mat mal zdolanú polovicu vzdialenosti, ktorú doteraz ubehol, chýbal by mu do chalúpky trojnásobok tejto polovičnej vzdialenosti. V tom istom okamihu platilo, že keby Pat mal zdolaný dvojnásobok vzdialenosti, ktorú doteraz ubehol, chýbala by mu do chalúpky tretina tejto dvojnásobnej vzdialenosti.
Kto bol v danom okamihu bližšie k chalúpke?

Z9-I-2
Zostrojte kosoštvorec 𝐴𝐵𝐶𝐷 taký, že platí |𝐴𝐶| = 8 cm a |𝐴𝑆| = 7 cm, kde 𝑆 je stredom strany 𝐶𝐷.

Z9-I-3
V základnej škole, kam chodí aj Žigmund, každoročne organizujú vedomostnú súťaž, v ktorej každý súťažiaci môže získať najviac 15 bodov. Tento rok bol priemerný bodový zisk súťažiacich zaokrúhlený na desatiny rovný 10,4. Žigmund si po súťaži uvedomil, že niektoré otázky si zle prečítal a odpovedal na niečo iné. Mohol tak mať o 4 body viac a priemerný bodový zisk zaokrúhlený na desatiny by sa tým zvýšil na 10,6.
Určte, koľko najmenej a koľko najviac detı́ mohlo tento rok súťažiť.

Z9-I-4
Karol mal vynásobiť dve dvojciferné čísla. Z nepozornosti vymenil poradie cifier v jednom z činiteľov a dostal súčin, ktorý bol o 4 248 menšı́ ako správny výsledok.
Koľko malo Karolovi správne vyjsť?

Z9-I-5
Trojuholnı́k 𝐴𝐵𝐶 je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole 𝐶. Body 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶′ sú obrazy bodov 𝐴, 𝐵, 𝐶 postupne v stredových súmernostiach so stredmi 𝐶, 𝐴, 𝐵. Dokážte, že platí

Z9-I-6
Určte počet štvorcov, ktorých všetky vrcholy sú mrežovými bodmi štvorcovej siete pozostávajúcej zo 4 riadkov a 2023 stĺpcov.

Z9-II-1

Z9-II-2

Z9-II-3

Z9-II-4

Z9-III-1

Z9-III-2

Z9-III-3
(Karel Pazourek)

Z9-III-4

Uložiť

Uložiť