Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

72. ročník matematickej olympiády 2022-2023
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 12.11.2022 18:30

Z5 Z6 Z7 Z8 Z9
domáce domáce domáce domáce domáce
okresné okresné okresné okresné okresné
krajské

Termíny odovzdania riešení:

  • úlohy 1, 2, 3: 16. 11. 2022
  • úlohy 4, 5, 6: 16. 12. 2022

Z5-I-1
Na lúke bolo 45 oviec a niekoľko pastierov. Potom ako z lúky odišla polovica pastierov a tretina oviec, mali zvyšní pastieri a ovce spolu 126 nôh. Pritom všetky ovce a všetci pastieri mali obvyklé počty nôh. Koľko pastierov bolo pôvodne na lúke?

(Libuše Hozová)

Z5-I-2
Marta hrá hru, v ktorej háda päťciferné číslo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Priebeh prvých troch kôl vyzerá takto:

Farba políčka prezrádza niečo o číslici v ňom napísanej:

  • Zelené políčko znamená, že číslica sa v hádanom čísle vyskytuje, a to presne na tom mieste.
  • Žlté políčko znamená, že číslica sa v hádanom čísle vyskytuje, ale na inom mieste.
  • Šedé políčko znamená, že číslica sa v hádanom čísle nevyskytuje.

Vysvetlite, či Marta môže alebo nemôže päťciferné číslo s istotou uhádnuť v nasledujúcom kole.

(Josef Tkadlec)

Z5-I-3
Vo štvorcovej sieti je daný trojuholník, ktorého vrcholy sú uzlovými bodmi siete:

V dostatočne rozšírenej sieti nakreslite štyri rozdielne (navzájom nezhodne) mnohouholníky také, že ich vrcholy sú tiež jej uzlovými bodmi a každý z nich ma dvojnásobný obvod, ako ma daný trojuholník.

(Erika Novotná)

Z5-I-4
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferné a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorená navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikoliných čísel bol 976. Aký bol ich súčet?

(Libuše Hozová)

Z5-I-5
Tri žaby sa naučili skákať po rebríku. Každá dokáže skákať smerom hore aj smerom dole, ale len o určité počty priečok. Žaby začínajú na zemi a každá by sa rada dostala na svoju obľúbenú priečku:

  • Malá žaba vie skákať o 2 alebo o 3 priečky a chce sa dostať na siedmu priečku.
  • Stredná žaba vie skákať o 2 alebo o 4 priečky a chce sa dostať na prvú priečku.
  • Veľká žaba vie skákať o 6 alebo o 9 priečok a chce sa dostať na tretiu priečku.

Pre jednotlivá žaby rozhodnite, či vedia doskočiť na svoju obľúbenú priečku. Ak áno, popíšte ako. Ak nie, vysvetlite prečo.

(Veronika Bachratá)

Z5-I-6
Jakub zbiera hracie kocky, všetky rovnakej veľkosti. Včera našiel škatuľku, do ktorej začal kocky ukladať. Prvá vrstva kociek pokryla presne štvorcové dno škatuľky. Podobne vyskladal päť ďalších vrstiev, avšak v polovici nasledujúcej vrstvy mu došli kocky. Dnes dostal Jakub od babičky 18 kociek a s prekvapením zistil, že mu presne chýbali na dokončenie neúplnej vrstvy v škatuľke. Koľko kociek mal Jakub včera?

(Michaela Petrová)

Z5-II-1
Kanva plná mlieka má hmotnosť 35 kg. Tá istá kanva s polovičným množstvom mlieka má hmotnosť 18 kg.
Koľko kilogramov váži prázdna kanva?

()

Z5-II-2
Dvaja strážcovia dohliadajú na miestnosť, ktorej tvar a rozmery sú znázornené na obrázku. Každé dve susedné steny sú navzájom kolmé, rozmery sú uvedené v metroch. Strážcovia stoja tesne pri stene v miestach označených krúžkami. Spoločne takto majú pod dohľadom celú miestnosť, pritom len na časť miestnosti môžu dohliadnuť obaja súčasne.

  1. Vyznačte v obrázku časť miestnosti, kam môžu dohliadnuť obaja strážcovia.
  2. Koľkokrát je celá miestnosť väčšia ako časť, kam môžu dohliadnuť obaja strážcovia?
()

Z5-II-3
Nájdite všetky čísla s nasledujúcimi vlastnosťami:

  • číslo je párne,
  • číslo je dvojciferné,
  • súčet jeho číslic je väčší ako 6,
  • číslica na mieste desiatok je aspoň o 4 väčšia ako číslica na mieste jednotiek.
()

Z6-I-1
Pán Škovránok bol známym chovateľom vtákov. Celkovo ich mal viac ako 50 a menej ako 100. Andulky tvorili devätinu a kanáriky štvrtinu celkového množstva vtákov. Koľko vtákov choval pán Škovránok?

(Libuše Hozová)

Z6-I-2
Václav násobil dve trojciferne čísla obvyklý písomnom spôsobom. Overil si, že výsledok je naozaj správny a svoj výpočet niekam založil. Po čase potreboval výsledok ukázať mamičke. Našiel síce svoj predchádzajúci výpočet, ale mnoho číslic bolo rozmazaných, takže sa nedali vôbec precitať (hviezdičky nahrádzajú nečitateľné číslice):

Václav si už nepamätal, ktoré čísla násobil, napriek tomu bol schopný určiť ich súčin. Aký bol tento súčin?

(Libuše Hozová)

Z6-I-3
Magda si z papiera vystrihla dva rovnaké rovnoramenne trojuholníky, z ktorých každý mal obvod 100 cm. Najprv z týchto trojuholníkov zlozila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila ramenami. Potom z nich zlozila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila základňami.
(Ak by mali základne 1 cm a ramena 2 cm, vzniknutá štvoruholníky by teda vyzerali ako na obrázkoch.)

V prvom prípade jej vyšiel štvoruholník s obvodom o 4 cm kratším ako v druhom prípade. Určte dĺžky strán Magdiných trojuholníkov.

(Eva Semerádová)

Z6-I-4
Sedem trpaslíkov sa narodilo v rovnaký deň v siedmich po sebe idúcich rokoch. Súčet vekov troch najmladších trpaslíkov je 42 rokov. Keď jeden trpaslík odišiel so Snehulienkou po vodu, zistili zvyšní trpaslíci, že ich priemerný vek je rovnaký ako priemerný vek všetkých siedmich. Koľko rokov mal trpaslík, ktorý šiel so Snehulienkou po vodu?

(Libuše Hozová)

Z6-I-5
Pat a Mat si precvičovali počítanie. Vo štvorcovej sieti orientovanej podľa svetových strán priradili posunu o jedno políčko nasledujúce matematická operácie:

  • Pri posune na sever (S) pripočítali sedem.
  • Pri posune na východ (V) odpočítali štyri.
  • Pri posune na juh (J) vydelili dvoma.
  • Pri posune na západ (Z) vynásobili tromi.

(Napríklad keď Mat zadal Patovi číslo 5 a cestu S-V-J, vyšlo im pri správnom počítaní číslo 4.)
Ktoré číslo zadal Pat Matovi, ak pri ceste S-V-J-Z-Z-J-V-S pri správnom počítaní vyšlo na konci číslo 57?

(Michaela Petrová)

Z6-I-6
Boris má zvláštne digitálne hodiny. Idú síce presne, ale namiesto hodín a minút ukazujú iné dve čísla: Prvé je ciferným súčtom čísla, ktoré by bolo na displeji bežných hodín, druhé je súčtom hodín a minút (napríklad o 7:30 ukazujú Borisove hodiny 10:37). Aký môže byť skutočný čas, keď Borisove hodiny ukazujú 6:15? Určte všetky možnosti.

(Monika Dillingerová)

Z6-II-1

()

Z6-II-2

()

Z6-II-3

()

Z7-I-1
Priemerný vek dedka, babičky a ich piatich vnúčat je 26 rokov. Priemerný vek samotných vnúčat je 7 rokov. Babička je o rok mladšia ako dedko. Koľko rokov ma babička?

(Libuše Hozová)

Z7-I-2
Sú dané dva zhodné rovnostranné trojuholníky ABC a BDE tak, že body A, B, D ležia na jednej priamke a body C, E ležia v rovnakej polrovine vymedzenej priamkou AD. Priesečník CD a AE je označený F. Určte veľkosť uhla AFD.

(Iveta Jančigová)

Z7-I-3
Obkročné číslo je také prirodzene číslo, v ktorého zápise

  • je každá nenulová číslica použitá práve dvakrát,
  • medzi dvoma rovnakými nenulovými číslicami sa nachádza práve toľko núl, aká je hodnota týchto číslic.

(Obkročné čísla sú napríklad 40001041 alebo 300103100.)
Zistite, koľko existuje sedemciferných obkročných čísel, v ktorých zápise sa vyskytujú práve jednotky, dvojky a nuly.

(Matúš Papšo)

Z7-I-4
Jarko mal napísanú postupnosť slabík:

ZU ZA NA NE LA LU CI SA MU EL

Písmena chcel nahradiť číslicami od 0 do 9 tak, aby rôznym písmenám zodpovedali rôzne číslice a aby (v danom poradí) vznikla rastúca postupnosť dvojciferných čísel. Zistite, či sa to dá a ako, alebo vysvetlite, prečo to možné nie je.

(Jaroslav Zhouf)

Z7-I-5
Na obrázku sú znázornené štvorce ABCD, EFCA, GHCE a IJHE. Body S, B, F a G sú postupne stredy týchto štvorcov. Úsečka AC je dlhá 1 cm. Určte obsah trojuholníka IJS.

(Eva Semerádová)

Z7-I-6
Eva si myslela dve prirodzené čísla. Tieto čísla najprv správne sčítala, potom od seba správne odčítala. V obidvoch prípadoch dostala dvojciferný výsledok. Súčin takto vzniknutých dvojciferných čísel bol 645. Ktoré čísla si Eva myslela?

(Erika Novotná)

Z7-II-1

()

Z7-II-2

()

Z7-II-3

()

Termíny odovzdania riešení:

  • úlohy 1, 2, 3: 16. 1. 2023
  • úlohy 4, 5, 6: 3. 3. 2023

Z8-I-1
Sú dané tri navzájom rôzne čísla. Priemer priemeru dvoch menších čísel a priemeru dvoch väčších čísel je rovný priemeru všetkých troch čísel. Priemer najmenšieho a najväčšieho čísla je 2022. Určte súčet týchto troch čísel.

(Karel Pazourek)

Z8-I-2
Kosoštvorec ABCD má stranu dĺžky 6 cm a výšku 4 cm. Bod E je stred strany AD, bod G je stred strany BC, bod F je priesečník úsečiek AG a BE, bod H je priesečník úsečiek CE a DG. Určte obsah štvoruholníka EFGH.

(Karel Pazourek)

Z8-I-3
Pre postupnosť čísel začínajúcu sa

1, 3, 4, 7, 11, 18, …

platí,  že každé číslo počnúc tretím je súčtom predchádzajúcich dvoch. Akou číslicou sa končí číslo na 2023. mieste tejto postupnosti?

(Ján Mazák)

Z8-I-4
Cyril na mape s mierkou 1 ∶ 50 000 vyznačil štvorcový pozemok a vypočítal si, že jeho strana v skutočnosti zodpovedá 1 km. Mapu zmenšil na kopírke tak, že vyznačený štvorec mal obsah o 1,44 cm2 menší ako na pôvodnej mape. Aká bola mierka mapy po zmenšení?

(Michaela Petrová)

Z8-I-5
Petra mala na tabuli napísané všetky prirodzené čísla od 1 do 9, každé práve raz. Dve z týchto čísel sčítala, zmazala a výsledný súčet napísala namiesto zmazaných sčítancov. Mala tak teraz napísaných osem čísel, ktoré sa jej podarilo rozdeliť do dvoch skupín s rovnakým súčinom. Určte, aký najväčší mohol byť tento súčin.

(Erika Novotná)

Z8-I-6
Je daný obdĺžnik ABCD a body E, F tak, že trojuholníky BEC a CFD sú rovnostranné a každý z nich má s obdĺžnikom ABCD spoločnú iba stranu. Zdôvodnite, že aj trojuholník AEF je rovnostranný.

(Jaroslav Švrček)

Z8-II-1

()

Z8-II-2

()

Z8-II-3

()

Termíny odovzdania riešení:

  • úlohy 1, 2, 3: 16. 11. 2022
  • úlohy 4, 5, 6: 16. 12. 2022

Z9-I-1
Aritmetická postupnosť je taká postupnosť čísel, v ktorej je rozdiel každého čísla a čísla jemu predchádzajúceho stále rovnaký; tomuto rozdielu sa hovorí diferencia. (Napríklad (2, 8, 14, 20, 26, 32) je aritmetická postupnosť s diferenciou 6.)
Bolek a Lolek mali každý svoju aritmetickú postupnosť. Aj Bolkova aj Lolkova postupnosť sa začínala číslom 2023 a končila sa číslom 3023. Tieto dve postupnosti mali 26 spoločných čísel. Pomer Bolkovej a Lolkovej diferencie bol 5 : 2. Určte rozdiel Bolkovej a Lolkovej diferencie.

(Erika Novotná)

Z9-I-2
Sú dané dva zhodné rovnostranné trojuholníky ABC a BDE tak, že veľkosť uhla ABD je väčšia ako 120° a menšia ako 180° a body C, E ležia v rovnakej polrovine vymedzenej priamkou AD. Priesečník CD a AE je označený F. Určte veľkosť uhla AFD.

(Iveta Jančigová)

Z9-I-3
Traja kúzelníci kúzlia s číslami, každý však vie len jedno kúzlo:

  • Prvý kúzelník vie od ľubovoľného čísla odčítať číslo jedna.
  • Druhý kúzelník vie ľubovoľné číslo vydeliť číslom dva.
  • Tretí kúzelník vie ľubovoľne číslo vynásobiť číslom tri.

Kúzelníci sa pri čarovaní môžu ľubovoľne striedať, každý však môže svoje kúzlo počas jedného vystúpenia použiť najviac päťkrát a žiadny medzivýsledok nesmie byť väčší ako 10. Pri jednom vystúpení mali z pätice čísel (3, 8, 9, 2, 4) vykúzliť päticu trojok, pri inom vystúpení mali z tej istej pätice čísel vykúzliť päticu pätiek Ako si mohli s problémom poradiť? Nájdite možné riešenie alebo vysvetlite, prečo to možné nie je.

(Erika Novotná)

Z9-I-4
Nájdite najmenšie kladné celé čísla a a b, pre ktoré platí

7a3 = 11b5
(Alžbeta Bohiníková)

Z9-I-5
Na snovom trhovisku ponúkla Sfinga cestovateľovi za štyri sny sedem ilúziı́, dva šlofı́ky a jednu nočnú moru. Inému cestovateľovi ponúkla za sedem snov štyri ilúzie, štyri šlofı́ky a dve nočné mory. Sfinga je pri svojich ponukách spravodlivá a vymeriava vždy rovnako. Koľko ilúziı́ stojı́ jeden sen?

(Karel Pazourek)

Z9-I-6
Vrcholy štvorca ABCD spája lomená čiara DEFGHB. Uhly DEF, EFG, FGH, GHB sú pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB merajú postupne 6 cm, 4 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určte obsah štvorca ABCD.

(Monika Dillingerová)

Z9-II-1
Nájdite všetky štvorciferné čísla, ktoré majú presne päť štvorciferných a presne deväť jednociferných deliteľov.

()

Z9-II-2
Trojuholník ABC má stranu AC dlhú 24 cm a výšku z vrcholu B dlhú 25 cm. Strana AB je rozdelená na päť zhodných častı́, deliace body sú postupne od A k B označené K, L, M, N. Každým z týchto bodov prechádza rovnobežka so stranou AC. Priesečníky rovnobežiek so stranou BC
sú postupne od B k C označené O, P, Q, R.

Vypočítajte súčet obsahov lichobežníkov KLQR a MNOP.

()

Z9-II-3
Pomocou premennej n boli zapísané nasledujúce štyri výrazy:

2023n,     n2 + n + 23,     3n3,     10n2 + 2023.

Výraz nazveme nepárnotvorný, ak pre každé prirodzené číslo n platí, že hodnota výrazu je nepárna. Rozhodnite, ktoré z uvedených štyroch výrazov sú nepárnotvorné, a zdôvodnite prečo.

()

Z9-II-4
V istom mnohouholníku platí, že pomer súčtu veľkostı́ jeho vnútorných uhlov a súčtu veľkostı́ k nim doplnkových uhlov je 3 ∶ 5.?
Koľko vrcholov má tento mnohouholník?

(Doplnkový uhol dopĺňa daný uhol do uhla plného.)

()

Z9-III-1

()

Z9-III-2

()

Z9-III-3
(Karel Pazourek)

Z9-III-4

()

Uložiť

Uložiť