71. ročník matematickej olympiády 2021-2022
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 22.2.2022 18:00

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
okresné	okresné	okresné	okresné	okresné
				krajské

Z5-I-1
Do kruhových políčok doplňte prirodzené čísla od 1 do 20 tak, aby každé číslo bolo použité práve raz a súčasne platili všetky uvedené vzťahy.

Z5-I-2
Trpaslı́ci natierali kocky zelenou a bielou farbou tak, že každá stena bola celá ofarbená jednou z týchto dvoch farieb. Po chvı́li si všimli, že niektoré ofarbené kocky vyzerajú po vhodnom pootočení úplne rovnako, a začali ich podľa toho triediť do skupı́n (v rovnakej skupine sú rovnako ofarbené kocky). Najviac koľko skupı́n mohli takto dostať?

Z5-I-3
Adam prepočítaval svoju zbierku dúhových guľôčok. Zistil, že ich môže rozdeliť do rovnako početných kôpok, a to viacerými spôsobmi. Keby ich rozdelil do troch kôpok, bolo by v každej kôpke o osem guľôčok viac, než by bolo v každej kôpke pri delení do štyroch kôpok. Koľko mal Adam dúhových guľôčok?

Z5-I-4
Jaro vystrihol z rohu šachovnice nasledujúci útvar pozostávajúci z pätnástich polí:

Následne odstrihol niekoľko ďalších polí, a to tak, že výsledný útvar neobsahoval diery a nerozpadal sa, mal rovnaký počet čiernych a bielych polí a mal najväčší možný obsah. Navyše zistil, že zo všetkých možných útvarov s týmito vlastnosťami mal ten jeho najväčšı́ možný obvod. Ktoré polia Jaro dodatočne odstrihol? Určte všetky možnosti.

Z5-I-5
Na papieri bol narysovaný štvorec 𝐴𝐵𝐶𝐷 so stranou 4 cm. Pavol zostrojil vrcholy obdĺžnika, ktorý mal trikrát väčší obsah než štvorec 𝐴𝐵𝐶𝐷. Pritom rysoval iba kružnice, pretože pravı́tko nenašiel. Ako mohol Pavol postupovať? Popı́šte aspoň jednu konštrukciu.

Z5-I-6
Na parkovisku stáli autá a bicykle. Ak by prišlo jedno ďalšie auto, bolo by ich rovnako veľa ako bicyklov. Ak by prišlo päť ďalších bicyklov, mali by všetky bicykle rovnaký počet kolies ako všetky autá. Koľko stálo na parkovisku áut a koľko bicyklov?

Z5-II-1
V obchode majú jeden druh lízaniek a jeden druh nanukov. Cena ako lízaniek, tak nanukov je uvedená v celých grošoch. Barborka kúpila tri lízanky. Eliška kúpila štyri lízanky a niekoľko nanukov – vieme len, že to bolo viac ako jeden a menej ako desať nanukov. Janko kúpil jednu lízanku a jeden nanuk. Barborka platila 24 grošov a Eliška 109 grošov. Koľko grošov platil Janko?

Z5-II-2
Xénia mala obdĺžnik s rozmermi 24 cm a 30 cm. Rozdelila ho tromi úsečkami na niekoľko rovnakých obdĺžnikových dielov. Aké mohli byť rozmery týchto dielov? Určte štyri možnosti.

Z5-II-3
Vojto sa snaží uložiť svojich 20 hračiek do škatúľ tak, aby v každej škatuli bola aspoň jedna hračka a v žiadnych dvoch škatuliach nebol rovnaký počet hračiek.

    a)  Opíšte, ako môže hračky uložiť do piatich škatúľ.
    b)  Môže hračky uložiť do šiestich škatúľ?

Z6-I-1
Môj jediný syn sa narodil, keď som mala 37 rokov. To bolo práve 32 rokov po smrti dedka, ktorý zomrel, keď mal 64 rokov. Dedko bol o 12 rokov starší než babka, brali sa v roku 1947, práve keď mala babka 18 rokov. V ktorom roku sa narodil môj syn?

Z6-I-2
Peter mal obdĺžnik šírky 2 cm a neznámej dĺžky. Radka mala obdĺžnik šírky 2 cm, ktorého dĺžka bola rovná obvodu Petrovho obdĺžnika. Keď k sebe obdĺžniky priložili ich šírkami, získali nový obdĺžnik s obvodom 63 cm. Určte obsah Petrovho obdĺžnika.

Z6-I-3
Miška skúma čísla, ktoré sa dajú vyjadriť ako súčet aspoň dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel. Obzvlášť ju zaujı́majú čísla, ktoré sa takto dajú vyjadriť viacerými spôsobmi (napr. 18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6). Čísla, ktoré možno takto vyjadriť aspoň tromi spôsobmi, nazvala veľkolepé. Nájdite aspoň tri Miškine veľkolepé čísla.

Z6-I-4
Kubo si napísal štvormiestne číslo, ktorého dve číslice boli párne a dve nepárne. Ak by v tomto čísle vyškrtol obe párne číslice, dostal by číslo štyrikrát menšie, než keby v ňom vyškrtol obe nepárne číslice. Aké najväčšie číslo s týmito vlastnosťami si mohol Kubo napísať?

Z6-I-5
Mojmı́r rozstrihal pravidelný šesťuholnı́k na 12 zhodných dielov. Z týchto dielov (nie nutne zo všetkých) skladal rozličné pravouhlé trojuholnı́ky. Ako mohli Mojmı́rove zložené trojuholnı́ky vyzerať? Nájdite aspoň štyri možnosti.

Z6-I-6
Pätica kamarátov porovnávala, koľko starého železa priviezli do zberu. Priemerne to bolo 55 kg, avšak Ivan priviezol len 43 kg. Koľko kilogramov v priemere priviezli bez Ivana?

Z6-II-1

Z6-II-2

Z6-II-3

Z7-I-1
Dážďovka špirálová razı́ nový tunel: Najprv mieri 10 cm na sever, potom 11 cm na východ, potom 12 cm na juh, 13 cm na západ a tak ďalej (každý úsek je o 1 cm dlhšı́ než predchádzajúci, smery opakuje podľa uvedeného vzoru).
Dážďovka súradnicová mapuje dielo svojej kolegyne: Začiatok tunela označı́ súradnicami (0, 0), prvú odbočku súradnicami (0, 10), druhú odbočku (11, 10) a tak ďalej.
Určte súradnice konca úseku, ktorý má dĺžku 100 cm.

Z7-I-2
Súčin vekov všetkých detı́ pána Násobka je 1408. Vek najmladšieho dieťaťa je rovný polovici veku najstaršieho dieťaťa. Koľko detí má pán Násobok a koľko majú rokov?

Z7-I-3
Na stranách trojuholníka ABC sú dané body D, E, F, G (pozri obrázok). Pritom platí, že štvoruholník DEFG je kosoštvorec a úsečky AD, DE a EB sú navzájom zhodné.

Určte veľkosť uhla ACB.

Z7-I-4
Jožko vymyslel nasledujúcu úlohu:

Rôzne písmená nahradzoval rôznymi číslicami od 1 do 9 a zisťoval, čo vychádza.

a) Aký najväčší výsledok mohol Jožko dostať?
b) Mohol dostať výsledok 50? Ak áno, ako?
c) Mohol dostať výsledok 59? Ak áno, aké hodnoty mohol mať v takom prípade súčet 𝑀 + 𝐴 + 𝑀?

Z7-I-5
Jano vyrazil do sveta s batôžkom buchiet. Na prvom rázcestí stretol Dlhého, Širokého a Bystrozrakého a spravodlivo sa s nimi o svoje buchty rozdelil – každý́ dostal štvrtinu buchiet. Jano zo svojho dielu zjedol dve buchty a šiel ďalej. Na druhom rázcestí stretol Plavčíka a Vratka aj s nimi sa spravodlivo rozdelil – každý́ dostal tretinu zvyšných buchiet. Jano zo svojho dielu zjedol zasa dve buchty a so zvyšnými vyrazil ďalej. Na treťom rázcestí stretol Snehulienku. Aj s tou sa spravodlivo rozdelil, takže obaja mali polovicu zvyšných buchiet. Keď Jano zjedol opäť svoje dve buchty, bol batôžtek prázdny, a tak sa vrátil domov. S koľkými buchtami vyrazil Jano do sveta?

Z7-I-6
Pán Chrt mal vo svojom záprahu päť psov – Alíka, Broka, Muka, Rafa a Punťa. Koľkými spôsobmi ich mohol zapriahnuť do radu za sebou tak, aby bol Alík pred Punťom?

Z7-II-1

Z7-II-2

Z7-II-3

Z8-I-1
Vierka z troch daných číslic zostavovala navzájom rôzne trojmiestne čísla. Keď všetky tieto čísla sčítala, vyšlo jej 1221. Aké číslice Vierka použila? Určte päť možností.

Z8-I-2
TRN a HAM sú zhodné rovnostranné trojuholníky. Pritom bod T je ťažiskom trojuholníka HAM a bod R leží na polpriamke TA. Aký je pomer obsahov častí trojuholníka TRN, ktoré sú vnútri trojuholníka HAM, a tých, ktoré sú mimo neho?

Z8-I-3
Na novoobjavenej planéte žijú zvieratá, ktoré astronauti pomenovali podľa počtu nôh jednonožky, dvojnožky, trojnožky a tak ďalej (zvieratá bez nôh tam neboli). Zvieratá s nepárnym počtom nôh majú́ dve hlavy, zvieratá s párnym počtom nôh majú jednu hlavu. V istej priehlbine stretli skupinu takých zvierat a napočítali na nich 18 hláv a 24 nôh. Koľko zvierat mohlo byť v priehlbine? Určte všetky možnosti.

Z8-I-4
V danej skupine čísel je jedno číslo rovné priemeru všetkých, najväčšie číslo je o 7 väčšie než priemer, najmenšie je o 7 menšie než priemer a väčšina čísel zo skupiny má podpriemernú hodnotu. Aký najmenší počet čísel môže byť v skupine?

Z8-I-5
V pravidelnom päťuholníku ABCDE je obsiahnutý rovnostranný trojuholník ABM. Určte veľkosť uhla BCM.

Z8-I-6
Alenka dostala list papiera s nasledujúcimi tvrdeniami:

    A: Najviac jedno z tvrdení A, B, C, D, E je pravdivé.
    B:
    C: Všetky tvrdenia A, B, C, D, E sú pravdivé.
    D:
    E: Tvrdenie A je pravdivé.

Tvrdenia B a D boli napísané neviditeľným atramentom, ktorý sa dá prečítať len pod špeciálnou lampou. Aj bez takejto lampy však Alenka dokázala rozhodnúť, či môže týmto tvrdeniam dôverovať. Určte i vy, ktoré z tvrdení A, B, C, D, E sú pravdivé a ktoré nepravdivé.

Z8-II-1

Z8-II-2

Z8-II-3

Z9-I-1
Adam, Boris a Cyril porovnávali, koľko kilogramov gaštanov nazbierali. Zistili, že aritmetický priemer toho, čo nazbieral Adam s Borisom, je o 10 kg väčší než Cyrilov príspevok, a aritmetický priemer toho, čo nazbieral Adam s Cyrilom, je o 3 kg menší než Borisov príspevok. Určte rozdiel medzi aritmetickým priemerom toho, čo nazbierali Boris s Cyrilom, a Adamovým príspevkom.

Z9-I-2
Jana si vymyslela 2022-miestne číslo a jeho ciferný súčet pošepkala Petrovi. Peter vypočítal ciferný súčet čísla, ktoré mu povedala Jana, a výsledok pošepkal Zuzke. Zuzka tiež vypočítala ciferný súčet čísla, ktoré dostala od Petra, a výsledok, ktorým bolo dvojmiestne číslo, pošepkala Adamovi. Adam urobil to isté s číslom od Zuzky a vyšiel mu ciferný súčet 1. Ktoré čísla mohol pošepkať Peter Zuzke? Určte všetky možnosti.

Z9-I-3
Je daný pravidelný trojboký hranol s podstavnou hranou dĺžky 3,2 cm a výškou 5 cm. Jeho plášť omotávame šachovnicovou fóliou, ktorá pozostáva z nepriehľadných a priehľadných štvorcových polí so stranami dĺžky 1 cm. Začiatok fólie lícuje s hranou hranola (pozri obrázok) a jej dĺžka vystačí práve na dvojnásobné omotanie celého plášťa.

Koľko percent plášťa hranola bude po omotaní viditeľných cez fóliu? Hrúbku fólie zanedbajte.

Z9-I-4
Konvexný štvoruholník ABCD so stranou AB dĺžky 5 cm, so stranou BC dĺžky 3 cm a s uhlom BCD veľkosti 60° je súmerný podľa uhlopriečky AC. Bod E je pätou kolmice z vrcholu B na stranu AD a F je pätou kolmice z vrcholu D na stranu BC. Určte obvod a obsah štvoruholníka DEBF.

Z9-I-5
Vodník Gebuľa nakupoval v obchode, kde ceny všetkého tovaru boli uvedené v celých šupinkách. Keby Gebuľa kúpil 2 raky, 3 škeble a 1 šťuku, zaplatil by 49 šupiniek. Ak by prikúpil ešte 5 rakov, 11 škeblı́ a 1 šťuku, platil by celkovo 154 šupiniek. Koľko šupiniek by platil za 1 raka, 2 škeble a 3 šťuky? Určte všetky možnosti.

Z9-I-6
Sú dané dve rôzne čísla. Ak od oboch odčítame štvrtinu menšieho z nich, dostaneme čísla, z ktorých jedno bude päťkrát väčšie než druhé. Koľkokrát je dané väčšie číslo väčšie než to menšie?

Z9-II-1
Trojciferné číslo má ciferný súčet 16. Ak v tomto čísle zameníme cifry na miestach stoviek a desiatok, číslo sa o 360 zmenší. Ak v pôvodnom čísle zameníme cifry na miestach desiatok a jednotiek, číslo sa o 54 zväčší. Nájdite toto trojciferné číslo.

Z9-II-2
Štvoruholník ABCD je súmerný podľa uhlopriečky AC. Dĺžka AC je 12 cm, dĺžka BC je 6 cm a vnútorný uhol pri vrchole B je pravý. Na stranách AB, AD sú dané body E, F tak, že trojuholník ECF je rovnostranný. Určte dĺžku úsečky EF.

Z9-II-3
Ľudovít si pri istom príklade na delenie všimol, že keď delenec zdvojnásobí a deliteľ zväčší o 12, dostane svoje obľúbené číslo. To isté číslo by dostal, aj keby pôvodný delenec zmenšil o 42 a pôvodný deliteľ zmenšil na polovicu. Určte Ľudovítovo obľúbené číslo.

Z9-II-4
V konvexnom štvoruholníku ABCD platí, že E je priesečníkom uhlopriečok, trojuholníky ADE, BCE, CDE majú postupne obsahy 12 cm² , 45 cm² , 18 cm² a dĺžka strany AB je 7 cm. Určte vzdialenosť bodu D od priamky AB.

Z9-III-1

Z9-III-2

Z9-III-3
(Karel Pazourek)

Z9-III-4

Uložiť

Uložiť