52. ročník matematickej olympiády 2002-2003
Súťažné úlohy kategórií Z4-Z9

aktualizované 3.1.2021 18:00

Z4	Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
domáce	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
					krajské

Z4-I-1
Na konskej farme Kopýtko majú len biele, hnedé a čierne kone. Spolu ich je 27. Pritom hnedých je viac ako polovica a bielych je dvakrát toľko, ako čiernych. Koľko môže byť na farme bielych, koľko čiernych a koľko hnedých koní? Nájdi všetky možnosti.

Z4-I-2
Vladko si rozdeľoval lentilky z krabičky na 5 kôpok. Keď už mal na každej rovnako veľa, ostali mu 2 lentilky v krabičke, tak ich zjedol. Potom chcel lentilky prerozdeliť na 4 kôpky. Opäť mu dve ostali a on ich zjedol. Naposledy ešte prerozdelil lentilky na tri kôpky a jednu zvyšujúcu zjedol. Koľko najmenej lentiliek mohol mať Vladko pred prvým delením? Koľko mu ich zostalo po poslednom delení?

Z4-I-3
Miško postavil z drevených kociek na stole stavbu a zakreslil, ako jeho stavba vyzerá zhora, spredu a zľava (obrázok). Jeho brat Ivko stavbu doplnil rovnakými kockami na najmenší možný kváder. Koľko drevených kociek mal kváder? Koľko kociek dopĺňal Ivko?

Z4-I-4
Do každého riadku tabuľky na obrázku dopíš čísla 6, 7, 8 a 9 (do riadku každé raz) tak, aby súčet čísel napísaných v každom riadku, stĺpci aj na uhlopriečke sa dal deliť tromi bezo zvyšku. Nájdi aspoň dve riešenia.

Z4-I-5
V Rokforte sa platí knutmi a siklami (1 sikel = 24 knutov). Knutové mince existujú s tromi rôznymi hodnotami. Vymyslené sú tak, že na zaplatenie každej ceny od 1 knuta po 1 sikel stačia najviac 4 mince. Zisti, aké hodnoty majú knutové mince v Rokforte.

Z4-I-6
Veronika chodí večer behať. Keď behá s tatinom, obehnú tri razy škôlku aj školu (obr. č. 3). Keď behá s mamou, obehnú štyri razy len školu (obr. č. 4). Pritom prebehnú rovnako veľa ako s tatinom. Dnes ide behať sama iba okolo škôlky (obr. č. 5). Koľkokrát ju má obehnúť, aby prebehla opäť rovnako veľa ako s tatinom?

obr. 3	obr. 4	obr. 5

Z4-II-1
Tibor chodí večer behať. Každý večer prebehne tú istú vzdialenosť, ale behá po dvoch rôznych trasách. Cez víkend behá len okolo školy (obr. 1) a v ostatné dni behá okolo školy aj škôlky (obr. 2). Cez víkend obehne školu vždy 6-krát a v ostatné dni prebehne svoju trať vždy iba 4-krát. Vypočítajte, aké sú rozmery pozemku školy. Koľko metrov prebehne Tibor v sobotu večer?

Z4-II-2
Ivko sa vždy na Silvestra snaží večer nezaspať a vydržať až do Nového roku. Vlani vstával na Silvestra o 7:46 ráno. Aby čo najdlhšie večer vydržal, pospal si poobede od 12:35 do 13:52. Keď potom najbližšie zaspal, zistilo sa, že od rána prebdel celkom 16 hodín a 2 minúty. Vydržal Ivko až do Nového roka? O koľkej zaspal?

Z4-II-3
Aký deň bude pozajtra včerajška, ak predvčerajšok bol v pondelok popozajtrajškom?

Z5-I-1
Doplňte do tabuľky prirodzené čísla tak, aby v každom jej bielom políčku bol súčin príslušných čísel z jej šedého záhlavia.

Z5-I-2
Nevill zabudol heslo pre vstup do veže. Profesorka Mc Gonagallová mu však poradila, že heslo

    ▪ sa skladá z 3 rôznych písmen,
    ▪ dobre sa vyslovuje, lebo v ňom nie sú 2 spoluhlásky vedľa seba,
    ▪ všetky písmená hesla nájde v mene vedúceho učiteľa Slizolinu – „Snape“.

Po vyskúšaní tretiny všetkých hesiel vyhovujúcich týmto podmienkam sa vstup do veže otvoril. Koľko hesiel Nevill vyskúšal?

Z5-I-3
O mnohouholníku načrtnutom na obrázku vieme, že ho priamka p delí na dve rovnaké časti a že 4 jeho rôzne dlhé strany merajú 3, 4, 5 a 6 cm. Aký obvod môže mať tento mnohouholník?

Z5-I-4
Mišo mal včera o 15 samolepiek viac ako Jožo. Dnes však ale 17 svojich vymenil za 9 Jožových a ďalších 7 vymenil za 13 Ferových. Jožo okrem tých deviatich, ktoré vymenil za 17 Mišových, vymenil ešte 11 svojich za 6 Andrejových.
Ktorý z chlapcov má teraz viac samolepiek, Mišo alebo Jožo? O koľko?

Z5-I-5
Doplňte do obrázku čísla tak, aby bol na každej tehličke napísaný súčet všetkých čísel, ktoré sú na tehličkách od nej tmavších.

Z5-I-6
Na obrázkusú znázornené päťuholník a šesťuholník s vrcholmi v mrežových bodoch štvorcovej siete. Určte obsah šesťuholníka, ak viete, že päťuholník má obsah 7,5 cm².

Z5-II-1
Z pravého vrecka nohavíc som preložila 4 päťkorunáčky do ľavého a z ľavého 16 dvojkorunáčok do pravého. Teraz mám v ľavom vrecku o 13 korún menej ako v pravom. V ktorom vrecku som mala na začiatku viac korún a o koľko?

Z5-II-2
Na obrázku vidíte štvorec rozdelený na šesť mnohouholníkov. Všetky tieto mnohouholníky majú vrcholy v mrežových bodoch štvorcovej siete a najväčší z nich má obsah 35mm². Zistite obsah celého štvorca.

Z5-II-3
V čakárni u lekára sedeli Anežka, Braňo, Cilka, Danka a Edo. Vypíšte všetky možné poradia, ako si ich lekárka mohla volať dnu, ak po každom dievčati išiel chlapec, Anežka nešla prvá a Edo nebol posledný.
(Ak je dievča posledné, nemusí po ňom už chlapec ísť.)

Z6-I-1
Snehulienka pripravuje svojich sedem trpaslíkov na prijímacie skúšky na SŠPT (strednú školu pre trpaslíkov). V prvom cvičnom diktáte spravili trpaslíci priemerne 35 chýb. V druhom Šťastko spravil o 15 chýb menej ako v prvom, Spachtoš sa zhoršil o 13 a Kýblik o 2 chyby. Hapčí sa zlepšil o 9 a Vedko dokonca o 19 chýb. Ostatní dvaja trpaslíci spravili v druhom diktáte rovnako veľa chýb ako v prvom. Koľko chýb priemerne spravili trpaslíci v druhom diktáte?

Z6-I-2
Doplňte do sčítacej pyramídy znázornenej na obrázku čísla tak, aby medzi dopĺňanými číslami boli aj čísla: -1,2 ; 2,3 ; -3,4 a aby hore bolo

    a) čo najväčšie číslo,
     b) čo najmenšie číslo.

Z6-I-3
Boris postavil z 32 zápaliek obdĺžnik s rôzne dlhými stranami. Jeho sestra vložila do obdĺžnika niekoľko zápaliek a tak ho rozdelila presne na 7 štvorcov. Koľko zápaliek mohli merať strany Borisovho obdĺžnika? Všetky použité zápalky boli rovnako dlhé a nelámali ich.

Z6-I-4
Odvtedy, čo si Novákovci kúpili šteniatka Punťu a Fľaka, boli každý deň na jednej prechádzke. Niekedy so sebou zobrali Punťu, niekedy Fľaka, nikdy nie však oboch psíkov naraz. Punťa zatiaľ ostala doma 14-krát, Fľak 16-krát. Na osemnástich prechádzkach však niektorého zo psíkov mali. Ako dlho už Novákovci majú Punťu a Fľaka?

Z6-I-5
Finále súťaže o najkrajšieho šarkana sa zúčastnili Adam, Baška a Zuzka. Každý z 22 porotcov pridelil každému z finalistov 1, 2 alebo 3 body – vždy iný počet. Adam získal 3 body toľkokrát ako 1 bod. Dva body mu pridelilo o 4 viac porotcov ako tri body. Baška získala 3 body rovnako veľakrát ako Zuzka, zato 2 body pridelilo Baške dva razy toľko porotcov ako Zuzke. Ktorý z finalistov získal najväčší počet bodov a vyhral? Koľko bodov to bolo?

Z6-I-6
Kubo mal v krabici 100 rovnakých drevených kociek s hranou 1 dm. Z niektorých z nich postavil veľkú kocku a 5 jej stien zafarbil na červeno. Potom túto kocku zbúral a zo všetkých kociek, z ktorých bola postavená, postavil kváder. Aj ten mal práve 5 stien zafarbených na červeno. Aké rozmery mala veľká kocka a aké kváder?

Z6-II-1
V hračkárstve majú veľké a malé plyšové klokany. Spolu ich je 100. Niektoré veľké klokany sú klokanice. Každá klokanica má vo vaku tri malé klokany, ostatné klokany majú vaky prázdne. Zistite, koľko veľkých klokanov majú v obchode, ak viete, že tých s prázdnym vakom je 77.

Z6-II-2
Každú zo 64 malých drevených kociek s hranou dlhou 2 cm sme oblepili papierom. Potom sme z týchto kociek postavili veľkú kocku. Koľko cm2 papiera by sme ušetrili, keby sme najprv zlepili veľkú kocku a až potom ju oblepili papierom. (Papier lepíme vždy len v jednej vrstve.)

Z6-II-3
Veveričky si na zimu robia zásoby lieskových orieškov, hríbov a jedľových šušiek. Hrdzavka, Beluška aj Krivé uško majú rovnako veľa zásob, teda orieškov, hríbov a šušiek spolu. Hrdzavka má dvakrát toľko orieškov ako Beluška. Krivé uško má o 20 orieškov viac ako Beluška. Hríbov majú všetky tri rovnako veľa, po 48 kusov. Šušiek majú spolu toľko isto ako orieškov, 180. Koľko má každá veverička orieškov, koľko šušiek a koľko hríbov?

Z7-I-1
Doplňte do pyramídy na obrázku chýbajúce čísla tak, aby bol na každej tehličke napísaný aritmetický priemer čísel, ktoré sú na tehličkách od nej tmavších.

Z7-I-2
Zuzka, Peťo, Jakub a Hanka hrali guľky. Keď hra skončila, chýbali Zuzke do polovice všetkých guliek 4, Peťo mal jednu pätinu a ešte 6 guliek, Jakub trikrát menej ako Zuzka a Hanka o jednu guľku menej ako Jakub. Ktoré z detí malo po skončení hry najviac a ktoré najmenej guliek?

Z7-I-3
V pravidelnom 5-uholníku ABCDE so stranou dĺžky 5 cm označme M priesečník úsečiek AC a BD. Vypočítajte dĺžku úsečky AM a veľkosť uhla AMB.

Z7-I-4
Koľko najmenej činiteľov musí mať súčin , aby bol deliteľný stomi?

Z7-I-5
Narysovali sme rovnostranný trojuholník. Rozdelili sme ho na štyri zhodné časti. Jednu z nich sme zafarbili a zvyšok trojuholníka sme opäť rozdelili na 4 zhodné časti. Narysuj obrázok, ktorý sme takto získali.

Z7-I-6
Počas dovolenky pani Smoliarikovej 15-krát pršalo, nikdy nie však celý deň: Ak pršalo doobeda, bolo poobede jasno. Ak pršalo poobede, bolo jasno ten deň doobeda. Jasno bolo 9 dopoludní a 8 popoludní. Ako dlho trvala dovolenka pani Smoliarikovej?

Z7-II-1
Nájdi všetky trojice prirodzených čísel a, b, c tak, aby súčasne platilo:

    •  a < b < c
    •  hodnota zlomku je tiež prirodzené číslo.

Z7-II-2
O štvoruholníku ABCD vieme, že ½AD½ = ½DC½, ďalej ½Ð DAB½ = ½Ð BCD½ = 90° a ½Ð ADC½ + 100° = ½Ð ABC½. Označme M priesečník osí uhlov DAC a ACD.

    a)  Vypočítajte veľkosť vnútorného uhla pri vrchole M v trojuholníku AMC.
    b)  Vypočítajte veľkosť vnútorného uhla pri vrchole M v trojuholníku AMD.

Z7-II-3
Dominik pozoroval sedačkovú lanovku. Vyhliadol si jednu sedačku a chcel zistiť, za ako dlho urobí celý okruh, teda zo spodnej stanice späť do spodnej stanice. Keď bola jeho sedačka v spodnej stanici, zapol stopky. Spočiatku spodnou stanicou prechádzala každých 8 sekúnd jedna sedačka. No po 3 minútach a 28 sekundách lanovku pustili rýchlejšie a teraz spodnou stanicou prechádzali sedačky každých 5 sekúnd. Keď sa Dominikova sedačka vrátila do spodnej stanice, vypol stopky. Ukazovali 11 minút a 13 sekúnd. Koľko sedačiek mala lanovka?

Z8-I-1
Do tabuľky na obrázku vpíšte navzájom rôzne prirodzené čísla tak, aby súčin čísel v každom riadku, v každom stĺpci a na oboch diagonálach bol 1 000 a zároveň aby súčet čísel v prvom riadku aj v prvom stĺpci bol čo najväčší.

Z8-I-2
Mravec obieha rýchlosťou 1 cm za 4 sekundy po dráhe pravidelného šesťuholníka so stranou dĺžky 1 cm okolo matice znázornenej na obrázku. Ako ďaleko od miesta, z ktorého vyštartoval
(bod Š), bude za 2 a štvrť minúty?

Z8-I-3
Na obrázku je trojboký hranol. Koľko existuje takých trojuholníkov, ktorých strany sú len hrany alebo stenové uhlopriečky tohto hranola?

Z8-I-4
V tábore bolo 80 detí. Rozdelili sa do 5 skupín. Vedúci však nebol spokojný, a tak pätinu detí z prvej skupiny presunul do druhej. Ešte stále to nebolo úplne dobré, tak presunul pätinu detí z druhej do tretej skupiny. Potom ešte pätina detí z tretej skupiny prešla do štvrtej, pätina detí zo štvrtej skupiny prešla do piatej a nakoniec pätina detí z piatej skupiny sa pridala k prvej skupine. Takto vznikli skupiny s rovnakým počtom detí. Koľko detí bolo v jednotlivých skupinách pôvodne?

Z8-I-5
Slečna Vectorová dala na aritmancii Hermione takúto úlohu: „Narodila som sa v taký deň a mesiac, ktorých dátum zapísaný bez bodiek je súčasne poradovým číslom tohto dňa v roku. (Napr. dátum 14.1. dá číslo 141, ale je to iba 14. deň v roku.) Ak vynásobíš deň a mesiac mojich narodenín, dostaneš môj vek v roku 2201. Zisti kedy som sa narodila.“ Vypočítajte to aj vy.

Z8-I-6
Radka rada posiela z mobilného telefónu textové správy (SMS). Každý deň pošle 3. Zaslanie jednej správy stojí 2,50 Sk. Pri zaslaní väčšieho počtu správ má možnosť vybrať si práve jednu z nasledujúcich prémií:
Po zaslaní 10 SMS môže poslať 1 SMS zadarmo.
Po zaslaní 100 SMS môže poslať 10 SMS zadarmo.
Po zaslaní 1000 SMS môže poslať 100 SMS zadarmo.
Koľko korún najmenej zaplatí za poslané SMS za jeden rok, od prvej odoslanej SMS?

Z8-II-1
Do Miroslavovho kráľovstva chodil Matej nielen si zaspievať, ale aj dobre sa najesť a napiť. Za jeden zlatý dostal celú hus a jeden džbánok vína. Potom tam ale zvýšili ceny o 20% a za zlatý a 5 grošov dostal už len pol džbánku vína a celú hus. Hovorí sa, že po splne mesiaca sa ceny znovu zvýšia o 20%. Dostane potom Matej za svoj zlatý a 10 grošov aspoň jednu celú hus? Jeden zlatý má 100 grošov.

Z8-II-2
Zistite obsah trojuholníka ABC z obrázka, ak viete:
     • každý bod ležiaci na nejakej úsečke je buď jej krajný bod alebo jej stred,
     • obsah štvoruholníka CHFI je 5 cm².

Z8-II-3
Žiaci 8. A. volili zo štyroch kandidátov svojho zástupcu do školského parlamentu. Dohodli sa, že na zvolenie je potrebný nadpolovičný počet všetkých hlasov a každý z prítomných žiakov, včítane kandidátov, má jeden hlas. V prvom kole nebol zvolený nikto. Aničke chýbali k zvoleniu 3 hlasy, Petrovi 9 hlasov, Marekovi 5 hlasov a Judite 4 hlasy. Koľko je žiakov v triede, ak hlasovali všetci žiaci 8. A, okrem piatich, ktorí sa hlasovania pre chorobu nezúčastnili?

Z9-I-1
Nahraďte hviezdičky v čísle 683 *** vhodnými ciframi tak, aby výsledné 6-ciferné číslo bolo deliteľné 7, 8 a 9.

Z9-I-2
Vypočítajte obsah šedej plochy vyznačenej na obrázku, ak viete, že KL a MN sú dva navzájom kolmé priemery kružnice k(S, 6 cm) a A, B, C a D sú stredy úsečiek KS, MS, LS a NS .

Z9-I-3
Do tabuľky na obrázku boli doplnené čísla tak, že súčet trojice čísel v každom „trojštvorčeku“ (obrázok) bol rovnaký. „Trojštvorček“ sa pritom nesmie otáčať. Určte súčet všetkých čísel v tabuľke.

Z9-I-4
Na priemere kružnice k(S; r) ležia stredy kružníc l(A; r₁) a m(B; r₂). Kružnice l a m majú vzájomný vonkajší dotyk a obe sa dotýkajú aj kružnice k. Okrem nich leží v kružnici k ešte kružnica n(C; r₃), ktorá sa všetkých troch (teda l, m aj k) dotýka. Svetlana si myslí, že obvod trojuholníka ACS je väčší ako priemer kružnice k. Má pravdu? Prečo?

Z9-I-5
Priemerný vek žiaka našej školy je 10 rokov, priemerný vek učiteľa 54, priemerný vek všetkých učiacich sa a vyučujúcich spolu je 12 rokov. Zistite priemerný počet detí v triedach tejto školy, ak viete, že učitelia učia v priemere 21 hodín týždenne a žiaci majú priemerne 24 vyučovacích hodín do týždňa.

Z9-I-6
Zvyčajne chodí Mišo zo školy peši. Ak však ide na bicykli, jeho priemerná rýchlosť sa zvýši o 10 km/h a čas, za ktorý príde domov sa skráti o 15 minút, Ak pre neho príde otec autom, priemerná rýchlosť vzrastie oproti chodeniu peši šesťnásobne a čas sa skráti o 20 minút. Ako ďaleko to má Mišo zo školy domov? (Peši, na bicykli aj autom chodí tou istou trasou.)

Z9-II-1
Fero a Mišo si v kempingu postavili stany. Keď ide Fero najprv po Miša, až potom do jedálne, prejde o 20 metrov viac, ako keby išiel priamo do jedálne. Keď ide Mišo najprv po Fera a až potom do jedálne, prejde o 16 metrov viac, ako keby išiel priamo do jedálne. Koľko metrov sú vzdialené stany kamarátov? Ktorý z nich to má priamou cestou do jedálne ďalej? O koľko metrov?

Z9-II-2
V šachovnici 5×5 na obrázku, zloženej z piatich častí, vyfarbite všetky políčka piatimi rôznymi farbami tak, aby bola v každej časti, každom riadku aj každom stĺpci každá farba použitá práve raz. Svoj postup zapíšte. Napr.: „20 — červená, preto …“

Z9-II-3
Obdĺžnikový papierik s rozmermi 48 mm a 64 mm sme preložili po uhlopriečke a vznikol päťuholník. O koľko mm² má vzniknutý päťuholník menší obsah ako pôvodný obdĺžnik?

Z9-II-4
Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré sa skladá len z cifier 0 a 1 a je bezo zvyšku deliteľné súčinom šiestich najmenších prirodzených čísel.

Z9-III-1
Nájdite všetky dvojciferné čísla, ktoré po vydelení svojím ciferným súčtom dávajú tretinu svojho ciferného súčtu.

Z9-III-2
Silvia, Martina a Zdenka majú každá iný obľúbený kvet, trénujú práve jeden šport (každá iný) a hrajú práve na jednom hudobnom nástroji (každá na inom). Silvia nehrá volejbal. Tá, ktorej obľúbeným kvetom je tulipán, hrá basketbal a nehrá na klavíri (na tom hrá iné dievča). Zdenka hrá na gitare a jej obľúbený kvet je ruža. Martina hrá na flaute. Narcis nie je obľúbeným kvetom volejbalistky, ale páči sa inému dievčaťu. Jedno z dievčat hrá tenis; ktoré to je? Vypíšte, ktoré z dievčat čo trénuje, na akom nástroji hrá a aký je jeho obľúbený kvet.

Z9-III-3
Laco si vystrihol z papiera obdĺžnik, ktorého dĺžky strán boli v pomere 3 : 4 a kružnica opísaná tomuto obdĺžniku mala polomer 8 cm. Potom tento obdĺžnik preložil po uhlopriečke a vznikol mu päťuholník. Vypočítajte obvod Lacovho päťuholníka.

Z9-III-4
Do krúžkov na obrázku doplňte čísla od 1 do 10 (každé raz), aby súčasne platilo:

    • „súčet všetkých čísel vo vrcholoch malého päťuholníka je o 5 menší ako súčet všetkých čísel vo vrcholoch veľkého päťuholníka“;
    • „všetky súčty trojíc čísel vo vrcholoch šedých trojuholníkov sú rovnaké“.

Nájdite všetky riešenia.