57. ročník matematickej olympiády 2007-2008

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla , , sú prirodzené.

C-I-2
Štvoruholníku ABCD je vpísaná kružnica so stredom S. Určte rozdiel |РASD| – |РCSD|, ak |РASB| – |РBSC| = 40°.

C-I-3
Máme určitý počet krabičiek a určitý počet guľôčok. Ak dáme do každej krabičky práve jednu guľôčku, ostane nám n guľôčok. Ak ale dáme n krabičiek na bok, môžeme všetky guľôčky rozmiestniť do zostávajúcich krabičiek tak, že v každej ich bude presne n. Koľko máme krabičiek a koľko guľôčok?

C-I-4
Tangram je skladačka, ktorá sa dá vyrobiť z papiera rozrezaním vystrihnutého štvorca na sedem dielov podľa čiar vyznačených na obrázku. Predpokladajme, že dĺžka strany štvorca je  cm.

Rozhodnite, či sa dá z dielov tangramu zložiť

   a)  obdĺžnik 2 cm × 4 cm,
   b)  obdĺžnik  cm ×  .

C-I-5
V skupine n ľudí (n ≥ 4) sa niektorí poznajú. Vzťah „poznať sa“ je vzájomný; ak osoba A pozná osobu B, tak aj B pozná A; dvojicu A, B potom nazývame dvojica známych.

   a)  Dokážte, že ak sú medzi každými štyrmi osobami aspoň štyri dvojice známych, potom každé dve osoby, ktoré sa nepoznajú, majú spoločného známeho.
   b)  Zistite, pre ktoré n ≥ 4 existuje skupina osôb, v ktorej sú medzi každými štyrmi osobami aspoň tri dvojica známych a súčasne sa niektoré osoby nepoznajú ani nemajú spoločného známeho.
   c)  Rozhodnite, či v skupine šiestich osôb môžu byť v každej štvorici práve tri dvojice známych a práve tri dvojice neznámych.

C-I-6
Klárka mala na papieri napísané trojciferné číslo. Keď ho správne vynásobila deviatimi, dostala štvorciferné číslo, ktoré začínalo tou istou číslicou ako pôvodné číslo, prostredné dve číslice boli rovnaké a posledná číslica bola súčtom číslic pôvodného čísla. Ktoré štrorciferné číslo mohla Klárka dostať?

▲ hore ▲

C-S-1
Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel a, b väčších ako 1 tak, aby ich súčet aj súčin boli mocniny prvočísel.

C-S-2
V danom rovnobežníku ABCD je bod E stred strany BC a bod F leží vnútri strany AB. Obsah trojuholníka AFD je 15 cm² a obsah trojuholníka FBE je 14 cm². Určte obsah štvoruholníka FECD.

C-S-3
V skupine šiestich ľudí existuje práve 11 dvojíc známych. Vzťah „poznať sa“ je vzájomný, t.j. ak osoba A pozná osobu B,tak aj B pozná A. Keď sa ktokoľvek zo skupiny dozvie nejakú správu, povie ju všetkým svojim známym. Dokážte, že sa týmto spôsobom nakoniec správu dozvedia všetci.

▲ hore ▲

C-II-1
Trojuholník ABC spĺňa pri zvyčajnom označení dĺžok strán podmienku a ≤ b ≤ c. Vpísaná kružnica sa dotýka strán AB, BC a AC postupne v bodoch K, L a M. Dokážte, že z úsečiek AK, BL a CM možno zostrojiť trojuholník práve vtedy, keď platí b + c < 3a.

C-II-2
Klárka urobila chybu pri písomnom násobení dvoch dvojciferných čísel, a tak jej vyšlo číslo o 400 menšie, ako bol správny výsledok. Pre kontrolu vydelila číslo, ktoré dostala, menším z násobených čísel. Tentoraz počítala správne a vyšiel jej neúplný podiel 67 a zvyšok 56. Ktoré čísla Klárka násobila?

C-II-3
Dokážte, že pokiaľ v skupine šiestich osôb existuje aspoň desať dvojíc známych, tak v nej možno nájsť tri osoby, ktoré sa poznajú navzájom. Vzťah „poznať sa“ je vzájomný, t.j. ak osoba A pozná osobu B, tak aj B pozná A. Ukážte, že taká trojica existovať nemusí, ak v skupine šiestich osôb je menej ako desať dvojíc známych.

C-II-4
Nájdite všetky trojice celých čísel x, y, z, pre ktoré platí

.

▲ hore ▲

B-I-1
Nájdite všetky prirodzené čísla k, pre ktoré je zápis čísla 6^k . 7^2007-k v desiatkovej sústave zakončený na

   a)  02;
   b)  04.

B-I-2
V páse medzi rovnobežkami p, q sú dané dva rôzne body M a N. Zostrojte kosoštvorec alebo štvorec, ktorého dve protiľahlé strany ležia na priamkach p a q a body M a N ležia na zvyšných dvoch stranách (každý na jednej).

B-I-3
Nech x a y sú reálne čísla, pre ktoré platí x³ + y³ ≤ 2. Dokážte, že x + y ≤ 2.

B-I-4
Nájdite všetky pravouhlé trojuholníky s dĺžkami strán a, b, c a dĺžkami ťažníc t_a, t_b, t_c, pre ktoré platí a + t_a = b + t_b. Uvažujte oba prípady, keď AB je

   a)  prepona,
   b)  odvesna.

B-I-5
Určte všetky dvojice a, b reálnych čísel, pre ktoré má každá z kvadratických rovníc

ax² + 2bx +1 = 0,     bx² + 2ax + 1 = 0

dva rôzne reálne korene, pričom práve jeden je obidvom rovniciam spoločný.

B-I-6
Obdĺžnik 2 005 × 2 007 je rozdelený na čierne a biele jednotkové štvorčeky. Dokážte, že pre jednu z farieb (čiernu alebo bielu) existuje viac ako 95 800 pravouholníkov (zložených z jednotkových štvorčekov), ktoré sa navzájom neprekrývajú a ktorých všetky rohové štvorčeky majú zvolenú farbu, pričom každá z ich strán je tvorená aspoň dvoma štvorčekmi.

▲ hore ▲

B-S-1
Keď ľubovoľné prvočíslo vydelíme tridsiatimi, bude zvyškom číslo 1 alebo prvočíslo. Dokážte.

B-S-2
Určte všetky dvojice (a, b) reálnych čísel, pre ktoré majú rovnice

x² + (3a + b)x + 4a = 0;  x² + (3b + a)x + 4b = 0

spoločný reálny koreň.

B-S-3
V rovine sú dané dve rovnobežky p a q, bod A na priamke p a bod M ležiaci vnútri pásu medzi priamkami p a q. Zostrojte kosoštvorec alebo štvorec ABCD tak, aby strana AB ležala na priamke p, strana CD na priamke q a aby uhlopriečka BD prechádzala bodom M.

▲ hore ▲

B-II-1
Uvažujme dve kvadratické rovnice

x² – ax – b = 0, x² – bx – a = 0

s reálnymi parametrami a, b. Zistite, akú najmenšiu a akú najväčšiu hodnotu môže nadobudnúť súčet a + b, ak existuje práve jedno reálne číslo x, ktoré súčasne vyhovuje obom rovniciam. Určte ďalej všetky dvojice (a, b) reálnych parametrov, pre ktoré tento súčet tieto hodnoty nadobúda.

B-II-2
V trojuholníku ABC má uhol veľkosť 20°. Vypočítajte veľkosti uhlov β a γ, ak platí rovnosť a + 2v_a = b + 2v_a.

B-II-3
V rovine je daný rovnobežník ABCD, ktorého uhlopriečka BD je kolmá na stranu AD. Označme M (M≠A) priesečník priamky AC s kružnicou s priemerom AD. Dokážte, že os úsečky BM prechádza stredom strany CD.

B-II-4
Hokejový turnaj sa hrá systémom „každý s každým“. V priebehu turnaja sa každá dvojica družstiev stretne práve raz. Turnaj sa odohráva po jednotlivých kolách. Pri párnom počte družstiev odohrá každé v jednom kole jedno stretnutie, pri nepárnom počte má v každom kole jedno družstvo voľno. Za remízu dostane každý zo súperov po jednom bode. Ak sa stretnutie neskončí remízou, dostane víťaz dva body, porazený nezíska žiadny bod. O poradí v tabuľke rozhoduje predovšetkým počet bodov, pri rovnosti bodov potom skóre. Po odohratí niekoľkých kôl nemala žiadna dvojica družstiev ten istý počet bodov. Dokážte, že v tom prípade už posledný v tabuľke stratil nádej na celkové prvenstvo. Úlohu riešte pre turnaj

   a)  desiatich družstiev,
   b)  jedenástich družstiev.

▲ hore ▲

A-I-1
Nájdite všetky trojice reálnych čísel a, b, c s nasledovnou vlastnosťou:
Každá z rovníc

x³ + (a + 1)x² + (b + 3)x + (c + 2) = 0
x³ + (a + 2)x² + (b + 1)x + (c + 3) = 0
x³ + (a + 3)x² + (b + 2)x + (c + 1) = 0

má v obore reálnych čísel tri rôzne korene, spolu je to ale len päť rôznych čísel.

A-I-2
V rovine ja daná úsečka AV a ostrý uhol veľkosti a. Určte množinu stredov kružníc opísaných všetkým tým trojuholníkom ABC s vnútorným uhlom a pri vrchole A, ktorých výšky sa pretínajú v bode V.

A-I-3
Množinu M tvorí 2n navzájom rôznych kladných čísel, kde n ≥ 2. Uvažujme n obdĺžnikov, ktorých rozmery sú čísla z M, pričom každý prvok z M je použitý práve jedenkrát. Určte, aké rozmery majú tieto obdĺžniky, ak je súčet ich obsahov

   a)  najväčší možný;
   b)  najmenší možný.

A-I-4
Určte počet konečných rastúcich postupností prirodzených čísel a₁, a₂, …, a_k všetkých možných dĺžok k, pre ktoré platí a₁ = 1, a_i ½ a_i+1 pre všetky i Î {1, 2, …, k – 1} a a_k = 969 969.

A-I-5
Je daná kružnica k, bod O, ktorý na nej neleží, a priamka p, ktorá ju nepretína. Uvažujme ľubovoľnú kružnicu l, ktorá má vonkajší dotyk s kružnicou k a dotýka sa aj priamky p. Príslušné body dotyku označme A a B. Ak body O, A, B neležia na jednej priamke, zostrojíme kružnicu m opísanú trojuholníku OAB. Dokážte, že všetky také kružnice m majú ďalší spoločný bod rôzny od bodu O alebo sa dotýkajú tej istej priamky.

A-I-6
Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n existuje prirodzené číslo a také, že 1 < a < 5ⁿ a 5ⁿ ½ (a³ – a + 1).

▲ hore ▲

A-S-1
V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc

x² – y = z²,
y² – z = x²,
z² – x = y².

A-S-2
Podstavy hranola sú tvorené dvoma zhodnými konvexnými n-uholníkmi. Počet v vrcholov tohto telesa, počet s jeho stenových uhlopriečok a počet t jeho telesových uhlopriečok tvoria v istom poradí prvé tri členy aritmetickej postupnosti. Pre ktoré n to platí?
(Poznámka: Steny hranola sú bočné steny aj podstavy. Telesová uhlopriečka je úsečka spájajúca dva vrcholy hranola, ktoré neležia v rovnakej stene.)

A-S-3
V rovine je daný uhol XSY a kružnica k so stredom S. Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC s vpísanou kružnicou k, ktorého vrcholy A a B ležia postupne na polpriamkach SX a SY. Určte množinu vrcholov C všetkých takých trojuholníkov ABC.

▲ hore ▲

A-II-1
Nájdite všetky štvorice p, q, r, s navzájom rôznych reálnych čísel, pre ktoré sú p, q koreňmi rovnice

x² + rx + s – 1 = 0

a r, s koreňmi rovnice

px² +p(q – 1)x + 12 = 0.

A-II-2
V tabuľke n×n, pričom n≥2, sú po riadkoch napísané všetky čísla 1, 2, …, n² v tomto poradí (v prvom riadku sú za sebou napísané čísla 1, 2, …, n, v druhom riadku n+1, n+2, …, 2n, atď.). V jednom kroku môžeme zvoliť ľubovoľné dve čísla na susedných políčkach (t.j. na takých, ktoré majú spoločnú stranu),a ak je ich aritmetický priemer celé číslo, obe nahradíme týmto priemerom. Pre ktoré n možno po konečnom počte krokov dostať tabuľku, v ktorej sú všetky čísla rovnaké?

A-II-3
Daný je ostrouhlý trojuholník ABC s pätami výšok D, E, F ležiacimi postupne na stranách AB, BC, CA. Obraz bodu F v stredovej súmernosti podľa stredu strany AB leží na priamke DE. Určte veľkosť uhla BAC.

A-II-4
Dokážte, že pre nezáporné reálne čísla x, y spĺňajúce vzťah x² + y⁶ = 2 platí x² + 2 ≥ 3xy.

▲ hore ▲

A-III-1
Určte koe?cienty p, q, r polynómu f(x) = x³ + px² + qx + r, ak viete, že sú to
nenulové navzájom rôzne celé čísla a že f(p) = p³, f(q) = q³.

A-III-2
V ostrouhlom trojuholníku ABC, v ktorom |AC| = |BC|, označme D a E päty výšok z vrcholov A a B. Nech V je priesečník výšok trojuholníka ABC, bod F je priesečník priamok AB a DE a bod S je stred strany AB. Ďalej nech K je priesečník kružníc opísaných trojuholníkom BDS a AES rôzny od bodu S.

   a)  Dokážte, že body D, E, V , K ležia na jednej kružnici.
   b)  Dokážte, že body F, V , K ležia na jednej priamke.

A-III-3
V tabuľke n × n, pričom n = 2, sú po riadkoch napísané všetky čísla 1, 2, …, n² v tomto poradí (v prvom riadku sú za sebou napísané čísla 1, 2, …, n, v druhom riadku n+1, n+2, …, 2n, atď.). V jednom kroku môžeme zvoliť ľubovoľné dve čísla na susedných políčkach (t.j. na takých, ktoré majú spoločnú stranu) a buď obidve súčasne zväčšiť o 1 alebo obidve súčasne zmenšiť o 1. Pre ktoré n možno po konečnom počte krokov dostať tabuľku, v ktorej sú všetky čísla rovné 365?

A-III-4
Dokážte, že pre žiadne prirodzené číslo n nie je číslo 27ⁿ – n²⁷ prvočíslom.

A-III-5
Nech x, y, z sú kladné reálne čísla, ktorých súčin je 1. Dokážte, že ak k, m sú kladné celé čísla, pričom k > m, tak

x^k + y^k + z^k ≥ x^m + y^m + z^m.

A-III-6
Označme zvyčajným spôsobom dĺžky strán a ťažníc daného trojuholníka. Nájdite všetky možné hodnoty výrazu

   a)            b)  .

▲ hore ▲