70. ročník matematickej olympiády 2020-2021
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 31.3.2021 19:30

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
okresné	okresné	okresné	okresné	okresné
				krajské

Z5-I-1
Pán Krbec s kocúrom Kokešom predávali na hrade Kulíkov vstupenky. V sobotu predali 210 detských vstupeniek po 25 grošov a tiež nejaké vstupenky pre dospelých po 50 grošov. Celkom za ten deň utŕžili 5 950 grošov. Koľko predali vstupeniek pre dospelých?

Z5-I-2
Deti na tábore hádzali hracou kockou a podľa výsledkov plnili nasledujúce úlohy:

1	choďte 1 km na západ
2	choďte 1 km na východ
3	choďte 1 km na sever
4	choďte 1 km na juh
5	stojte na mieste
6	choďte 3 km na sever

1. Akú trasu mohlo Marekovo družstvo prejsť? Naznačte aspoň štyri možnosti.
2. Aký mohol byť celkový súčet všetkých čísel, ktoré tomuto družstvu padli? Určte všetky možnosti.

Z5-I-3
Pán režisér Alík potreboval do televíznej rozprávky štyri psy. Dostal ponuku z Grécka, Belgicka, Írska a z Dolnej Lehoty. Vybral ovčiaka, dalmatína, vlkodava a jazvečíka, každého z inej krajiny, s rôznym menom a rôznym vekom.

• Najstarší zo psov bol jazvečík, mal 5 rokov.
• Bucki bol z nich druhý najmladší.
• Vlkodav pochádzal z Írska.
• Pes z Dolnej Lehoty sa volal Dunčo.
• Oddi oslávil včera svoje štvrté narodeniny.
• Ovčiak pochádzal z Belgicka.
• Rubby nebol dalmatín.
• Vlkodav mal tri roky.
• Najmladší z vybraných psov bol Rubby, mal dva roky.

Zistite, ako sa každý zo štyroch psov volal, odkiaľ pochádzal, akej bol rasy a koľko mal rokov.

Z5-I-4
Mamička uvarila domácu ríbezľovú šťavu a nalievala ju do fliaš. Fľaše mala dvojaké: malé s objemom 500 ml a veľké s objemom 750 ml. Nakoniec jej zvýšilo 12 malých fliaš prázdnych, ostatné fľaše boli úplne naplnené. Potom mamička zistila, že mohla šťavu nalievať tak, aby jej zvýšili prázdne iba veľké fľaše a všetky ostatné boli úplne naplnené. Koľko prázdnych fliaš by jej v takom prípade zvýšilo?

Z5-I-5
V štvorčekovej sieti so štvorčekmi s rozmermi 1 cm×1 cm sú vyznačené tri mrežové body K, O a Z. Určte mrežový bod A tak, aby obsah štvoruholníka KOZA bol 4 cm².

Z5-I-6
Myslím si päťciferné číslo tvorené párnymi ciframi. Keď prehodím cifru na treťom mieste s akoukoľvek inou, číslo sa zmenší. Ďalej prezradím, že prvá cifra je dvojnásobkom poslednej a druhá cifra je dvojnásobkom predposlednej. Aké číslo si myslím?

Z5-II-1
Cesty v našom parku vedú po stranách a uhlopriečkach dvoch rovnakých obdĺžnikov:

Počas víkendu sme sa parkom prešli štyrmi spôsobmi. V každom prípade sme každou vyznačenou cestou prešli práve raz:

V prvom prípade sme prešli o 500 metrov menej ako v druhom prípade. O koľko metrov viac sme prešli v treťom prípade ako vo štvrtom?

Z5-II-2
Skrinka má tri šuplíky umiestnené nad sebou. V nich sú tri predmety: guľôčka, mušľa a minca. Každý šuplík obsahuje jeden predmet. Vieme, že:

• zelený šuplík je vyššie ako modrý šuplík,
• minca je vyššie ako guľôčka,
• červený šuplík je nižšie ako mušľa,
• guľôčka je nižšie ako červený šuplík.

V ktorom šuplíku je minca?

Z5-II-3
Ako poďakovanie za ich pomoc upiekla Maruška dvanástim mesiačikom deväťdesiat perníčkov. Keď im ich dávala, vzal si každý toľko perníčkov, aké je poradové číslo jeho mesiaca v roku. Dvaja mesiačikovia s vďakou odmietli a žiadny perníček si nevzali. Maruške tak v košíčku zvýšilo 21 perníčkov. Určte všetky možné dvojice mesiačikov, ktorí mohli odmietnuť.

Z6-I-1
Králiky Pečienka, Fašírka, Rezeň a Guláš súťažili v skoku do diaľky. Pečienka skočila o 15 cm ďalej ako Fašírka, ktorá skočila o 2 dm menej ako Guláš. Rezeň skočil 2 730 mm, teda o 1 m a 1 dm ďalej ako Pečienka. Určte poradie a dĺžky skokov všetkých králikov.

Z6-I-2
Vzal som klasickú čierno-bielu šachovnicu, ktorá bola tvorená 8 × 8 štvorcovými políčkami so stranami dĺžky 3 cm. Políčka som v danom rámci preskupil tak, že vznikol jeden čierny obdĺžnik, jeden čierny štvorec a jeden súvislý biely útvar. Jednotlivé políčka sa aj po preskupení dotýkali celými stranami. čierne útvary sa nedotýkali (ani rohom) a každý z nich mal aspoň jednu stranu spoločnú s okrajom šachovnice. Určte najväčší možný obvod bieleho útvaru a nakreslite, ako by v takom prípade mohol vyzerať.

Z6-I-3
Mamička dala do misy 56 jahôd a 39 malín a zaniesla ich Eme, ktorá si čítala. Ema si čítanie spríjemnila maškrtením, a to tak, že si postupne brala po dvoch náhodných kusoch ovocia:

• Keď vytiahla dve maliny, vymenila ich u mamičky za jednu jahodu a tú vrátila do misy.
• Keď vytiahla dve jahody, jednu zjedla a druhú vrátila do misy.
• Keď vytiahla jednu jahodu a jednu malinu, zjedla jahodu a malinu vrátila do misy.

Takto nejakú chvíľu maškrtila, až v mise zostal jediný kus ovocia. Rozhodnite (a vysvetlite), či to bola jahoda, alebo malina.

Z6-I-4
Ctibor naprogramoval dva spolupracujúce rysovacie roboty Mikiho a Nikiho. Miki vie zostrojovať štvorce, pravidelné päťuholníky a pravidelné šesťuholníky. Počas jedného dňa však rysuje iba navzájom zhodné mnohouholníky. Niki do všetkých Mikiho mnohouholníkov dopĺňa všetky uhlopriečky.

1. V pondelok zostrojil Miki rovnaký počet úsečiek ako Niki. Aké mnohouholníky rysovali?
2. V utorok zostrojil Miki 18 úsečiek. Koľko ich zostrojil Niki?
3. V stredu zostrojili Miki a Niki dokopy 70 úsečiek. Koľko mnohouholníkov im dal Ctibor rysovať?

Z6-I-5
Petra vpisovala do krúžkov čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 tak, že každé bolo použité práve raz a že súčet čísel na každej strane trojuholníka bol rovnaký. Aký najväčší súčet mohla takto dostať? Uveďte príklad možného vyplnenia.

Z6-I-6
Anička a Marienka majú každá svoje obľúbené prirodzené číslo. Ak vynásobíme Aničkino číslo samo so sebou, vyjde nám stokrát väčšie číslo, ako keď vynásobíme Marienkino číslo samo so sebou. Ak sčítame Aničkino a Marienkino obľúbené číslo, získame číslo o 18 väčšie, ako je polovica Aničkinho čísla. Určte Aničkino a Marienkino obľúbené číslo.

Z6-II-1
Štyri veveričky zjedli dokopy 2020 orieškov, každá najmenej 103 orieškov. Prvá veverička zjedla viac orieškov ako ktorákoľvek z ostatných troch veveričiek. Druhá a tretia veverička zjedli dokopy 1277 orieškov. Koľko orieškov zjedla prvá veverička?

Z6-II-2
V súčinovej pyramíde je v každom políčku jedno kladné celé číslo, ktoré je súčinom čísel z dvoch susediacich políčok z nižšej vrstvy. Vo vrchole trojvrstvovej súčinovej pyramídy je číslo 90. Aké číslo môže byť vo vyznačenom políčku? Určte všetky možnosti.

Z6-II-3
Dvierka králikárne sú vyrobené z dreveného rámu a drôteného pletiva so štvorcovými okami. Latky rámu sú široké 5 cm. Niektoré mrežové body pletiva sa nachádzajú presne na vnútorných hranách rámu ako na obrázku. Vnútorná (pletivová) časť dvierok má obsah 432 cm². Určte vonkajšie rozmery (t. j. šírku a výšku) celých dvierok.

Z7-I-1
Určte, ktorá cifra je na 1000. mieste za desatinnou čiarkou v desatinnom rozvoji čísla .

Z7-I-2
Kubo sa dohodol s bačom, že sa mu bude starať o ovce. Bača Kubovi sľúbil, že po roku služby dostane dvadsať zlatých a k tomu jednu ovcu. Lenže Kubo dal výpoveď práve vtedy, keď uplynul siedmy mesiac služby. Aj tak ho Bača spravodlivo odmenil a zaplatil mu päť zlatých a jednu ovcu. Na koľko zlatých si bača cenil jednu ovcu?

Z7-I-3
Pre skupinu detí platí, že v každej trojici detí zo skupiny je chlapec menom Adam a v každej štvorici je dievča menom Beáta. Koľko nanajvýš detí môže byť v takej skupine a aké sú v tom prípade ich mená?

Z7-I-4
Medzi prístavmi Mumraj a Zmätok pendlujú po rovnakej trase dve lode. V prístavoch trávia zanedbateľný čas, hneď sa otáčajú a pokračujú v plavbe. Ráno v rovnakom okamihu vypláva modrá loď z prístavu Mumraj a zelená loď z prístavu Zmätok. Prvýkrát sa lode míňajú 20 km od prístavu Mumraj a po nejakom čase sa stretnú priamo v tomto prístave. To už modrá loď stihla upláva» trasu medzi prístavmi štyrikrát, zatiaľ čo zelená loď iba trikrát. Aká dlhá je trasa medzi prístavmi Mumraj a Zmätok?

Z7-I-5
Odčítacia pyramída je pyramída tvorená nezápornými celými číslami, z ktorých každé je rozdielom dvoch najbližších čísel z predchádzajúceho riadka (čítané odspodu nahor). Tu je príklad odčítacej pyramídy:

Význačné číslo je najväčšie číslo odčítacej pyramídy. Výborná pyramída je odčítacia pyramída, ktorá má vo vrchole 0 a aspoň jeden riadok tvorený navzájom rôznymi číslami.

1. Koľko najmenej riadkov musí mať výborná pyramída?
2. Ktoré najmenšie význačné číslo môže byť obsiahnuté vo výbornej pyramíde s najmenším počtom riadkov?

Z7-I-6
V trojuholníku ABC leží na strane AC bod D a na strane BC bod E. Veľkosti uhlov ABD, BAE, CAE a CBD sú postupne 30°, 60°, 20°a 30°. Určte veľkosť uhla AED.

Poznámka: obrázok je iba ilustračný.

Z7-II-1
Na rozprávkovom ostrove žijú draci a kyklopi. Všetci draci sú červení, trojhlaví a dvojnohí. Všetci kyklopi sú hnedí, jednohlaví a dvojnohí. Kyklopi majú jedno oko uprostred čela, draci majú na každej hlave dve oči. Dokopy majú kyklopi a draci 42 očí a 34 nôh. Koľko drakov a koľko kyklopov žije na ostrove?

Z7-II-2
Pravidelný šesťuholník je štyrmi svojimi uhlopriečkami rozdelený na šesť trojuholníkov a jeden štvoruholník ako na obrázku. Obsah štvoruholníka F je 1,8 cm². Určte obsahy trojuholníkov A, B, C, D, E a G.

Z7-II-3
Bludička Jozefína tancuje pri močiari, pričom používa kroky dvojakej dĺžky – krátke merajú 45 cm, dlhé 60 cm. Časom si vyšliapala oválny chodník, po ktorom za dlhých nocí tancuje stále dokola. Ak opakuje tri dlhé kroky dopredu a jeden krátky vzad, tak deväťdesiatym krokom dotancuje presne tam, kde začínala. Ak opakuje tri krátke kroky dopredu a jeden dlhý vzad, tak jej tiež vychádza krok presne tam, kde začínala. Koľkým krokom dotancuje Jozefína na pôvodné miesto v druhom prípade?

Z8-I-1
Myslím si päťciferné číslo, ktoré nie je deliteľné tromi ani štyrmi. Ak každú cifru zväčším o jedna, získam päťciferné číslo, ktoré je deliteľné tromi. Ak každú cifru o jedna zmenším, získam päťciferné číslo deliteľné štyrmi. Ak prehodím ľubovoľné dve cifry, číslo sa zmenší. Aké číslo si môžem myslieť? Nájdite všetky možnosti.

Z8-I-2
Na záhrade stáli tri debny s jablkami. Spolu bolo jabĺk viac ako 150, avšak menej ako 190. Potom Marienka premiestnila z prvej debny do dvoch ďalších debien jablká tak, že sa ich počet v každej z týchto dvoch debien oproti predošlému stavu zdvojnásobil. Obdobným spôsobom Marta premiestnila jablká z druhej debny do prvej a tretej. Nakoniec Štefka podľa rovnakých pravidiel premiestnila jablká z tretej debny do prvej a druhej. Keď prišiel na záhradu Vojto, začudoval sa, že v každej debne bol rovnaký počet jabĺk. Koľko jabĺk bolo v jednotlivých debnách pôvodne?

Z8-I-3
V trojuholníku ABC je bod S stredom vpísanej kružnice. Obsah štvoruholníka ABCS je rovný štyrom pätinám obsahu trojuholníka ABC. Dĺžky strán trojuholníka ABC vyjadrené v centimetroch sú všetky celočíselné a obvod trojuholníka ABC je 15 cm. Určte dĺžky strán trojuholníka ABC. Nájdite všetky možnosti.

Z8-I-4
Jarka bola na brigáde s nemennou dennou mzdou. Za tri dni si zarobila toľko eur, že si kúpila stolovú hru a ešte jej 49€ zvýšilo. Keby strávila na brigáde päť dní, mohla by si kúpiť dve také stolové hry a ešte by jej zvýšilo 54€. Koľko eur stála stolová hra?

Z8-I-5
Pán Strieborný usporiadal výstavu. Vystavoval 120 prsteňov, ktoré ležali na stoloch pozdĺž stien sály a tvorili tak jednu veľkú kružnicu. Prehliadka začínala pri vchodových dverách v označenom smere. Každý tretí prsteň v rade bol zlatý, každý štvrtý prsteň bol starožitný a každý desiaty prsteň mal diamant. Prsteň, ktorý nemal žiadnu z týchto troch vlastností, bol falzifikát. Koľko bolo na výstave zlatých prsteňov, ktoré boli starožitné a zároveň mali diamant? Koľko vystavil pán Strieborný falzifikátov?

Z8-I-6
Body A, B, C, D a E sú vrcholmi nepravidelnej päťcípej hviezdy, pozri obrázok. Určte súčet vyznačených uhlov.

Poznámka: obrázok je iba ilustračný.

Z8-II-1
Deti na tábore získavali za splnené úlohy body. Tie bolo možné ďalej meniť: päť bodov za samolepku, šesť bodov za pečiatku. Jaro si prepočítal, že keby chcel len samolepky, zvýšil by mu jeden bod nevyužitý. Keby si vybral len pečiatky, nevyužil by tri body. Nakoniec dokázal uplatniť všetky svoje body, pričom získal dvojnásobné množstvo pečiatok ako samolepiek. Koľko najmenej bodov mohol mať Jaro pred menením?

Z8-II-2
Eliška umiestňovala koláče do škatúľ, z ktorých potom postavila pyramídu ako na obrázku. Pritom každá škatuľa vo vyššom rade obsahovala toľko koláčov ako dve susediace škatule pod ňou dokopy. V troch škatuliach označených hviezdičkami bolo tri, päť a šesť koláčov. Eliška si všimla, že keby označené škatule akokoľvek zamenila a podľa predchádzajúceho pravidla upravila počty koláčov v ostatných škatuliach, celkový počet koláčov by sa nezmenšil. Koľko koláčov bolo v označenej škatuli v druhom rade zdola?

Z8-II-3
Pre všeobecný trojuholník ABC sú dané body D, E, F:

• bod D je v tretine úsečky AB, bližšie k bodu A,
• bod E je v tretine úsečky BC, bližšie k bodu B,
• bod F je v tretine úsečky CD, bližšie k bodu C.

Určte pomer obsahov trojuholníkov ABC a DEF.

Z9-I-1
Slávka si napísala farebnými fixkami štyri rôzne prirodzené čísla: červené, modré, zelené a žlté. Keď červené číslo vydelí modrým, dostane ako neúplný podiel zelené číslo a žlté predstavuje zvyšok po tomto delení. Keď vydelí modré číslo zeleným, vyjde jej delenie bezo zvyšku a podielom je číslo žlté. Slávka prezradila, že dve z jej štyroch čísel sú 97 a 101. Určte ostatné Slávkine čísla a priraďte jednotlivým číslam farby. Nájdite všetky možnosti.

Z9-I-2
Nájdite všetky dvojice nezáporných celých čísel x a jednociferných prirodzených čísel y, pre ktoré platí:

Zápis na pravej strane rovnosti označuje periodické číslo.

Z9-I-3
V rovnostrannom trojuholníku ABC je bod T jeho ťažiskom, bod R je obrazom bodu T v osovej súmernosti podľa priamky AB a bod N je obrazom bodu T v osovej súmernosti podľa priamky BC. Určte pomer obsahov trojuholníkov ABC a TRN.

Z9-I-4
Na stene bolo napísané dvakrát to isté päťciferné číslo. Pat pred jeden zápis čísla pripísal jednotku, Mat pripísal jednotku za ten druhý zápis čísla. Tým dostali dve šesťciferné čísla, z ktorých jedno bolo trikrát väčšie ako druhé. Ktoré päťciferné číslo bolo pôvodne napísané na stene?

Z9-I-5
Na ihrisku sú nakreslené tri rovnako veľké kruhy. Rozostavte 16 kolkov tak, aby v každom kruhu stálo 9 kolkov. Nájdite aspoň osem podstatne odlišných rozostavení, t.j. takých rozostavení, pri ktorých sa nerozlišujú kolky ani kruhy.

Z9-I-6
Jozef a Mária objavili na dovolenke pravidelný ihlan, ktorého podstavou bol štvorec so stranou 230 m a ktorého výška bola rovná polomeru kruhu s rovnakým obvodom ako má podstavný štvorec. Mária označila vrcholy štvorca ABCD Jozef vyznačil na priamke spájajúcej bod B s vrcholom ihlana taký bod E, že dĺžka lomenej čiary AEC bola najkratšia možná. Určte dĺžku lomenej čiary AEC zaokrúhlenú na celé centimetre.

Z9-II-1
Babička mala štvorcovú záhradu. Dokúpila niekoľko susedných pozemkov, čím získala zasa štvorcový pozemok, ktorého strana bola o tri metre dlhšia ako strana pôvodnej záhrady. Takto bola výmera pozemku o deväť štvorcových metrov väčšia ako dvojnásobok pôvodnej výmery. Aká dlhá bola strana pôvodnej záhrady?

Z9-II-2
Babička ešte nemá 100 rokov, vnučka má viac ako 10 rokov a vek babičky je násobkom veku vnučky. Keď vnučka napísala vek babičky a zaň vek svoj, dostala štvorciferné číslo. Keď babička napísala vek vnučky a zaň vek svoj, dostala iné štvorciferné číslo. Rozdiel týchto dvoch štvorciferných čísel je 7128. Koľko rokov môže mať babička a koľko vnučka? Uveďte všetky možnosti.

Z9-II-3
Karol, Miro a Ľudo porovnávali svoje zbierky známok. Keď kontrolovali počty, zistili, že Karol a Miro majú dokopy 101 známok, Karol a Ľudo 115 známok, Miro a Ľudo 110. Keď overovali, čo by mohli meniť, zistili, že žiadnu známku nemajú všetci rovnakú, ale že Karol a Miro majú 5 známok rovnakých, Karol a Ľudo 12 rovnakých, Miro a Ľudo 7. Koľko známok má Ľudo iných ako ostatní chlapci?

Z9-II-4
Pán učiteľ chcel po Adamovi a Eve, aby vypočítali obvod lichobežníka, ktorého dlhšia základňa merala 30 cm, výška 24 cm a ramená 25 cm a 30 cm. Adamovi vyšiel iný obvod ako Eve, aj tak však pán učiteľ oboch pochválil za správne riešenia. Určte výsledky Adama a Evy.

Z9-III-1
Pre tri neznáme prirodzené čísla platí, že

• najväčší spoločný deliteľ prvého a druhého je 8,
• najväčší spoločný deliteľ druhého a tretieho je 2,
• najväčší spoločný deliteľ prvého a tretieho je 6,
• najmenší spoločný násobok všetkých troch čísel je 1680,
• najväčšie z čísel je väčšie ako 100, ale nie je väčšie ako 200,
• jedno z čísel je štvrtou mocninou celého čísla.

O ktoré čísla ide? Určte všetky možnosti.

Z9-III-2
Trojuholník ACH je určený tromi vrcholmi kocky ABCDEFGH (pozri obrázok). Výška tohto trojuholníka na stranu CH má veľkosť 12 cm. Vypočítajte obsah trojuholníka ACH a veľkosť hrany danej kocky.

Z9-III-3
Daná je postupnosť siedmich čísel a, b, c, d, e, f, g. Každé z čísel b, c, d, e, f je aritmetickým priemerom susedných dvoch čísel. Ukážte, že číslo d je aritmetickým priemerom čísel a a g.

Z9-III-4
Dané sú rovnobežníky ABGH a DEGH, ktorých vrcholy A, B, D a E ležia na jednej priamke. Bod C je priesečníkom úsečiek BG a DH, bod I leží na úsečke AH a bod F leží na úsečke EG. Mnohouholník ABCDEGH pozostáva zo siedmich trojuholníkov, pričom medzi trojuholníkmi ABI, BCI, CHI, DEF, CDF a CFG je jeden s obsahom 3 cm², jeden s obsahom 5 cm², dva s obsahom 7 cm² a jeden s obsahom 10 cm². Okrem trojuholníkov s obsahmi 7 cm² nemá žiadna ďalšia dvojica z uvedených siedmich trojuholníkov rovnaký obsah. Rozhodnite, či možno s istotou určiť trojuholníky s obsahmi 7 cm². Ďalej určte obsah mnohouholníka ABCDEGH; nájdite všetky možnosti.

Poznámka: Obrázok je len ilustračný.

Uložiť

Uložiť