51. ročník matematickej olympiády 2001-2002

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
Dokážte, že existuje jediná číslica c, pre ktorú možno nájsť jediné prirodzené číslo n končiace číslicou c a majúce vlastnosť, že číslo 2n + 1 je druhou mocninou prvočísla.

C-I-2
V štvoruholníku ABCD sa uhlopriečky pretínajú v bode P, uhlopriečka AC je rozdelená bodmi P, N a M na štyri zhodné úseky (|AP| = |PN| = |NM| = |MC|) a uhlopriečka BD je rozdelená bodmi L, K a P na štyri zhodné úseky (|BL| = |LK| = |KP| = |PD|). Určte pomer obsahov štvoruholníkov KLMN a ABCD.

C-I-3
Určte všetky dvojice (x, y) celých čísel, ktoré sú riešením nerovnice

C-I-4
Jožko sa vracal z výletu. Najprv cestoval vlakom a potom pokračoval zo zastávky na bicykli. Celá cesta mu trvala presne 1 hodinu 30 minút a prešiel pri nej vzdialenosť 60 km. Vlak išiel priemernou rýchlosťou 50 km/h. Určte, ako dlho išiel Jožko na bicykli, keď jeho rýchlosť v km/h je vyjadrená prirodzeným číslom rovnako ako vzdialenosť meraná v km, ktorú prešiel na bicykli.

C-I-5
Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC so základňou BC danej dĺžky a, ak je daný stred P strany AB a bod Q (Q ≠ P), ktorý je pätou výšky z vrcholu B.

C-I-6
Istý panovník pozval na oslavu svojich narodenín 28 rytierov. Každý z rytierov mal medzi ostatnými práve troch nepriateľov.
   a)  Ukážte, že panovník môže rytierov rozsadiť k dvom stolom tak, aby každý rytier sedel pri rovnakom stole najviac s jedným nepriateľom.
   b)  Ukážte, že v prípade ľubovoľného takéhoto rozsadenia sedí pri každom stole najviac 16 rytierov.

(Nepriateľstvo je vzájomný vzťah: Ak A je nepriateľom B, tak aj B je nepriateľom A.)

▲ hore ▲

C-S-1
Do športového krúžku chodí 21 chlapcov. Na posledných dvoch schôdzkach nikto nechýbal, chlapci sa zakaždým rozdelili do troch družstiev po sedem hráčov. Dokážte, že niektorí traja chlapci boli na oboch schôdzkach spolu v jednom družstve.

C-S-2
V rovine je daný pravouhlý trojuholník ABC taký, že kružnica k(A; |AC|) pretína preponu AB v jej strede S. Dokážte, že kružnica opísaná trojuholníku BCS je zhodná s kružnicou k.

C-S-3
Určte všetky dvojice prvočísiel (p, q) také, že p > q a číslo p² – q² má najviac štyroch deliteľov.

▲ hore ▲

C-II-1
Základňa AB lichobežníka ABCD je trikrát dlhšia ako základňa CD. Označme M stred strany AB a P priesečník úsečky DM s uhlopriečkou AC. Vypočítajte pomer obsahov trojuholníka CDP a štvoruholníka MBCP.

C-II-2
Ak reálne čísla a, b, c, d spĺňajú rovnosti  a² + b² = b² + c² = c² + d² = 1; platí nerovnosť ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ 3.

Dokážte a zistite, kedy za daných podmienok nastane rovnosť.

C-II-3
Kružnice k, l s vonkajším dotykom ležia obe v obdĺžniku ABCD, ktorého obsah je 72 cm². Kružnica k sa pritom dotýka strán CD, DA a AB, zatiaľ čo kružnica l sa dotýka strán AB a BC. Určte polomery kružníc k a l, ak viete, že polomer kružnice k je v centimetroch vyjadrený celým číslom.

C-II-4
Nájdite všetky dvojice prvočísel p, q, pre ktoré platí  p + q² = q + 145p².

▲ hore ▲

B-I-1

Určte všetky hodnoty celočíselného parametra a, pre ktoré má rovnica (x + a).(x + 2a) = 3a aspoň jeden celočíselný koreň.

B-I-2

V danom trojuholníku ABC označme D ten bod polpriamky CA, pre ktorý platí |CD| = |CB|. Ďalej označme postupne E, F stredy úsečiek AD a BC. Dokážte, že |Ð BAC| = 2.|Ð CEF| práve vtedy, keď |AB| = |BC|.

B-I-3

Rozhodnite, či nerovnosť

platí pre ľubovoľné kladné čísla a, b, c, d, ktoré vyhovujú podmienke

a) ab = cd = 1;

b) ac = bd = 1.

B-I-4

Každú z hviezdičiek v zápisoch dvanásťmiestnych čísel A = *88 888 888 888, B = *11 111 111 111 nahraďte nejakou číslicou tak, aby výraz |14A –13B| mal čo najmenšiu hodnotu.

B-I-5

Kruh so stredom S a polomerom r je rozdelený na štyri časti dvoma tetivami, z ktorých jedna má dĺžku r a druhá má od stredu S vzdialenosť . Dokážte, že absolútna hodnota rozdielu obsahov tých dvoch častí, ktoré majú spoločný práve jeden bod a pritom žiadna neobsahuje stred S, je rovný jednej šestine obsahu kruhu.

B-I-6

Určte najmenšie prirodzené číslo n s nasledovnou vlastnosťou: Ak zvolíme ľubovoľne n rôznych prirodzených čísel menších ako 2005, sú medzi nimi dve také, že podiel súčtu a rozdielu ich druhých mocnín je väčší ako 3.

▲ hore ▲

B-S-1

Dokážte, že pre ľubovoľné kladné čísla a, b, c platí nerovnosť

Zistite, kedy nastáva rovnosť.

B-S-2
Na prepone AB pravouhlého trojuholníka ABC uvažujme také body P a Q, že |AP| = |AC| a |BQ| = |BC|. Označme M priesečník kolmice z vrcholu A na priamku CP a kolmice z vrcholu B na priamku CQ. Dokážte, že priamky PM a QM sú navzájom kolmé.

B-S-3

Nájdite všetky dvojice celých čísel a, b, pre ktoré žiadna z rovníc

nemá dva rôzne reálne korene.

▲ hore ▲

B-II-1

Určte všetky dvojice prvočísel p, q, pre ktoré platí  p + q² = q + p³.

B-II-2

Obdĺžnik ABCD so stranami dĺžok |AB| = 2008 a |BC| = 2006 je rozdelený na 2008 × 2006 jednotkových štvorcov a tie sú striedavo ofarbené čiernou, sivou a bielou farbou podobne ako obdĺžnik na obrázku: štvorce pri vrcholoch A a B sú čierne, štvorce pri vrcholoch C a D sú biele. Určte obsah tej časti trojuholníka ABC, ktorá je sivá.

B-II-3

V lichobežníku ABCD, ktorého základňa AB má dvakrát väčšiu dĺžku ako základňa CD, označme E stred ramena BC. Dokážte, že kružnica opísaná trojuholníku CDE prechádza stredom uhlopriečky AC práve vtedy, keď strany AB a BC sú navzájom kolmé.

B-II-4

Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla a, b, c z intervalu <0; 1> platí

1 ≤ a + b + c + 2(ab + bc + ca) + 3(1 – a)(1 – b)(1 – c) ≤ 9

▲ hore ▲

A-I-1

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu .

A-I-2

Nech ABCD je tetivový štvoruholník s navzájom kolmými uhlopriečkami. Označme postupne p, q kolmice z bodov D, C na priamku AB a ďalej X priesečník priamok AC a p a Y priesečník priamok BD a q. Dokážte, že XYCD je kosoštvorec alebo štvorec.

A-I-3

Postupnosť nenulových celých čísel má tú vlastnosť, že pre každé n ≥ 0 platí a_n+1 = a_n – b_n, kde b_n je číslo, ktoré má rovnaké znamienko ako číslo a_n, ale opačné poradie číslic (zápis čísla b_n môže na rozdiel od zápisu čísla a_n začínať jednou alebo viacerými nulami). Napríklad pre a₀ = 1 210 je a₁ = 1 089, a₂ = –8 712, a₃ = – 6 534.

a) Dokážte, že postupnosť (a_n) je periodická.

b) Zistite, aké najmenšie prirodzené číslo môže byť a₀.

A-I-4

Nájdite všetky kubické rovnice P(x) = 0, ktoré majú aspoň dva rôzne reálne korene, z ktorých jeden je číslo 7, a ktoré pre každé reálne číslo t vyhovujú podmienke: Ak P(t) = 0 potom P(t + 1) = 1.

A-I-5

Sú dané úsečky dĺžok a, b, c, d. Dokážte, že konvexné štvoruholníky ABCD so stranami dĺžok a, b, c, d (pri zvyčajnom označení) existujú a pritom uhlopriečky každého z nich zvierajú ten istý uhol práve vtedy, keď platí rovnosť a² + c² = b² + d².

A-I-6

Nájdite všetky usporiadané dvojice (x, y) prirodzených čísel, pre ktoré platí  x² + y² = 2005.(x –y).

▲ hore ▲

A-S-1

Nájdite všetky dvojice celých čísel x a y, pre ktoré platí .

A-S-2

Daný je rovnostranný trojuholník ABC s obsahom S a jeho vnútorný bod M. Označme postupne A₁, B₁, C₁ tie body strán BC, CA a AB, pre ktoré platí MA₁||AB, MB₁||BC a MC₁||CA. Priesečníky osí úsečiek MA₁, MB₁ a MC₁ tvoria vrcholy trojuholníka s obsahom T. Dokážte, že platí S = 3T.

A-S-3

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu  .

▲ hore ▲

A-II-1
Nájdite všetky dvojice takých celých čísel a, b, že súčet a + b je koreňom rovnice  x² + ax + b = 0.

A-II-2

Postupnosť reálnych čísel spĺňa pre každé n ≥ 1 rovnosť

a naviac platí a₁₁ = 4, a₂₂ = 2, a₃₃ = 1. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo k je súčet

druhou mocninou prirodzeného čísla.

A-II-3

Daný je trojuholník ABC a vnútri neho bod P. Označme X priesečník priamky AP so stranou BC a Y priesečník priamky BP so stranou AC. Dokážte, že štvoruholník ABXY je tetivový práve vtedy, keď druhý priesečník (rôzny od bodu C) kružníc opísaných trojuholníkom ACX a BCY leží na priamke CP.

A-II-4

V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc

sin² x + cos² y = y²;
sin² y + cos² x = x²

▲ hore ▲