67. ročník matematickej olympiády 2017-2018
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 24.1.2019 18:30

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
				krajské
Leták a zadania úloh domáceho kola na stiahnutie vo formáte PDF: (uložiť ako …)

Z5-I-1
Janko dostal vreckové a chce si zaň kúpiť niečo dobré. Keby si kúpil štyri koláče, zvýšilo by mu 0,50 €. Keby si chcel kúpiť päť koláčov, chýbalo by mu 0,60 €. Keby si kúpil dva koláče a tri šišky, utratil by celé vreckové bezo zvyšku. Koľko stojí jedna šiška?

Z5-I-2
Jano mal tri klietky (čiernu, striebornú, zlatú) a tri zvieratá (morča, potkana a tchora). V každej klietke bolo jedno zviera. Zlatá klietka stála naľavo od čiernej klietky. Strieborná klietka stála napravo od klietky s morčaťom. Potkan bol v klietke napravo od striebornej klietky. Určte, v ktorej klietke bolo ktoré zviera.

Z5-I-3
Na obrázku je diagram so siedmimi políčkami. Nakreslite do neho hviezdičky tak, aby boli splnené všetky nasledujúce podmienky:

• Hviezdičiek je celkom 21.
• V každom políčku je aspoň jedna hviezdička.
• V políčkach označených A, B, C je dokopy 8 hviezdičiek.
• V políčkach označených A a B je dokopy menej hviezdičiek ako v políčku označenom C.
• V políčku označenom B je viac hviezdičiek ako v políčku označenom A.
• V kruhu je celkom 15 hviezdičiek, v trojuholníku celkom 12 hviezdičiek a v obdĺžniku celkom 14 hviezdičiek.

Z5-I-4
Eva s Marekom hrali bedminton a Viktor im počítal výmeny. Po každých 10 výmenách nakreslil Viktor krížik (X). Potom namiesto každých 10 krížikov nakreslil krúžok (O) a prislúchajúcich 10 krížikov
zmazal. Keď Eva a Marek hru ukončili, mal Viktor nakreslené toto:

Určte, koľko najmenej a koľko najviac výmen Eva s Marekom mohli zohrať.

Z5-I-5
Zostrojte ľubovoľnú úsečku AS, potom zostrojte kružnicu k so stredom v bode S, ktorá prechádza bodom A?

1. Zostrojte na kružnici k body E, F, G tak, aby spolu s bodom A tvorili obdĺžnik AEFG. Nájdite aspoň dve riešenia.
2. Zostrojte na kružnici k body B, C, D tak, aby spolu s bodom A tvorili štvorec ABCD.

Z5-I-6
Na stole ležalo osem kartičiek s číslami 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Fero si vybral tri kartičky. Sčítal na nich napísané čísla a zistil, že ich súčet je o 1 väčší ako súčet čísel na zvyšných kartičkách. Ktoré kartičky mohli zostať na stole? Určte všetky možnosti.

Z5-II-1
Na obrázku je znázornených päť výbehov časti zoo. Každý výbeh obýva jeden z piatich druhov zvierat. Pritom vieme, že

• výbeh žiráf má päť strán,
• výbeh opíc nesusedí ani s výbehom nosorožcov, ani s výbehom žiráf,
• výbeh levov má rovnaký počet strán ako výbeh opíc,
• tulene majú vo výbehu jazierko.

Určte, ktoré zvieratá sú v ktorom výbehu.

Z5-II-2
Na stole ležalo päť kartičiek s navzájom rôznymi kladnými celými číslami. Marek spočítal, že najväčšie z čísel na kartičkách je o 8 väčšie ako najmenšie číslo. Adam vzal zo stola kartičky s najmenšími dvoma číslami a spočítal, že súčin týchto dvoch čísel je rovný 12. Dominik potom spočítal, že súčet čísel na zvyšných troch kartičkách je rovný 25. Ktoré čísla mohli byť napísané na kartičkách? Nájdite tri riešenia.

Z5-II-3
Zostrojte štvorec ABCD so stranou dĺžky 6 cm a priesečník jeho uhlopriečok označte S. Zostrojte bod K tak, aby spolu s bodmi S, B, C tvoril štvorec BKCS. Zostrojte bod L tak, aby spolu s bodmi S, A , D tvoril štvorec ASDL. Zostrojte úsečku KL, priesečník úsečiek KL a AD označte X, priesečník úsečiek KL a BC označte Y. Zo zadaných údajov vypočítajte dĺžku lomenej čiary KYBAXL.

Z6-I-1
Anička a Blanka si napísali každá jedno dvojciferné číslo, ktoré začínalo sedmičkou. Dievčatá si zvolili rôzne čísla. Potom každá medzi obe cifry vložila nulu, takže im vzniklo trojciferné číslo. Od neho každá odčítala svoje pôvodné dvojciferné číslo. Výsledok ich prekvapil. Určte, ako sa ich výsledky líšili.

Z6-I-2
Erika chcela ponúknuť čokoládu svojim trom kamarátkam. Keď ju vytiahla z batohu, zistila, že je polámaná ako na obrázku. (Vyznačené štvorčeky sú navzájom zhodné.) Dievčatá sa dohodli, že čokoládu ďalej lámať nebudú a lósom určia, aký veľký kúsok ktorá dostane. Zoraďte štyri kúsky čokolády od najmenšieho po najväčší.

Z6-I-3
Jano mal 100 rovnakých zaváracích fliaš, z ktorých si staval trojboké pyramídy. Najvyššie poschodie pyramídy má vždy jednu fľašu, druhé poschodie zhora predstavuje rovnostranný trojuholník, ktorého strana pozostáva z dvoch fliaš, atď. Príklad konštrukcie trojposchodovej pyramídy je na obrázku.

1. poschodie	1. a 2. poschodie	trojposchodová pyramída

Koľko fliaš Jano potreboval na päťposchodovú pyramídu?
Koľko poschodí mala pyramída, na ktorú bolo použitých čo najviac Janových fliaš?

Z6-I-4
Veronika má klasickú šachovnicu s 8 x 8 políčkami. Riadky sú označené ciframi 1 až 8, stĺpce písmenami A až H. Veronika položila na políčko B1 jazdca, s ktorým možno pohybovať iba tak ako v šachu.

1. Je možné premiestniť jazdca štyrmi ťahmi na políčko H1?
2. Je možné premiestniť jazdca piatimi ťahmi na políčko E6?

Ak áno, popíšte všetky možné postupnosti ťahov. Ak nie, zdôvodnite, prečo to možné nie je.

Z6-I-5
V plechovke boli červené a zelené cukríky. Cyril zjedol 2/5 všetkých červených cukríkov a Zuzka zjedla 3/5 všetkých zelených cukríkov. Teraz tvoria červené cukríky 3/8 všetkých cukríkov v plechovke. Koľko najmenej cukríkov mohlo byť pôvodne v plechovke?

Z6-I-6
Zostrojte ľubovoľnú úsečku DS, potom zostrojte kružnicu k so stredom v bode S, ktorá prechádza bodom D.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník DAS, ktorého vrchol A leží na kružnici k.
2. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ktorého vrcholy B a C tiež ležia na kružnici k.

Z6-II-1
Janko dostal na Vianoce knihu, ktorú hneď na Štedrý deň 24. decembra začal čítať. Čítal denne rovnaký počet strán, a to až do 31. januára v novom roku. Toho dňa zistil, že zatiaľ prečítal 78 strán, čo bola práve tretina knihy. Súčasne zistil, že ak by chcel knihu dočítať práve v deň svojich narodenín, musel by počínajúc zajtrajškom každý deň prečítať o štyri strany viac ako doposiaľ. Určte, kedy má Janko narodeniny.

Z6-II-2
Evička mala stavebnicu s deviatimi dielikmi, ktoré boli označené 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Časom sa jej podarilo všetky dieliky stratiť, a to nasledujúcim spôsobom:

• najskôr stratila štyri dieliky označené nepárnymi číslami,
• potom stratila dieliky so súčinom čísel 24,
• nakoniec stratila posledné dva dieliky, na ktorých boli párne čísla.

Zistite, ktoré čísla mohli byť napísané na posledných dvoch dielikoch. Nájdite dve riešenia.

Z6-II-3
Zostrojte štvorec ABCD so stranou dĺžky 6 cm. Zostrojte priamku p rovnobežnú s uhlopriečkou AC a prechádzajúcu bodom D. Zostrojte obdĺžnik ACEF tak, aby vrcholy E a F ležali na priamke p. Zo zadaných údajov vypočítajte obsah obdĺžnika ACEF.

Z7-I-1
Peter povedal Pavlovi: „Napíš dvojciferné prirodzené číslo, ktoré má tú vlastnosť, že keď od neho odčítaš dvojciferné prirodzené číslo napísané naopak, dostaneš rozdiel 63.“ Ktoré číslo mohol Pavol napísať? Určte všetky možnosti.

Z7-I-2
Dané sú dve dvojice rovnobežných priamok AB||CD a AC||BD. Bod E leží na priamke BD, bod F je stredom úsečky BD, bod G je stredom úsečky CD a obsah trojuholníka ACE je 20 cm². Určte obsah trojuholníka DFG.

Z7-I-3
Zoologická záhrada ponúkala školským skupinám výhodné vstupné: každý piaty žiak dostáva vstupenku zdarma. Pán učiteľ 6.A spočítal, že ak kúpi vstupné deťom zo svojej triedy, ušetrí za štyri vstupenky a zaplatí 19,95 €. Pani učiteľka 6.B mu navrhla, nech kúpi vstupenky deťom oboch tried naraz, a tak budú platiť 44,10 €. Koľko detí z 6.A a koľko detí z 6.B išlo do zoo? (Cena vstupenky v centoch je celočíselná.)

Z7-I-4
Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z týchto kartičiek
zložila šesťciferné číslo, ktoré bolo deliteľné šiestimi. Potom postupne odoberala kartičky sprava. Keď odobrala prvú kartičku, zostalo na stole päťciferné číslo deliteľné piatimi. Keď odobrala ďalšiu kartičku, zostalo štvorciferné číslo deliteľné štyrmi. Keď odoberala ďalej, získala postupne trojciferné číslo deliteľné tromi a dvojciferné číslo deliteľné dvoma. Ktoré šesťciferné číslo mohla Anežka pôvodne zložiť? Určte všetky možnosti.

Z7-I-5
Prokop zostrojil trojuholník ABC, ktorého vnútorný uhol pri vrchole A bol väčší ako 60° a vnútorný uhol pri vrchole B bol menší ako 60°. Juraj narysoval v polrovine určenej priamkou AB a bodom C bod D, a to tak, že trojuholník ABD bol rovnostranný. Potom chlapci zistili, že trojuholníky ACD a BCD sú rovnoramenné s hlavným vrcholom D. Určte veľkosť uhla ACB.

Z7-I-6
Vodník Chaluha nalieval hmlu do rozmanitých, rôzne veľkých nádob, ktoré si starostlivo zoradil na polici. Pri nalievaní postupoval postupne z jednej strany, žiadnu nádobu nepreskakoval. Do každej nádoby sa vojde aspoň deciliter hmly. Keby nalieval hmlu sedemlitrovou odmerkou, hmla z prvej odmerky by naplnila presne 11 nádob, hmla z druhej odmerky by naplnila presne ďalších 12 nádob a hmla z tretej odmerky by naplnila presne 7 nádob. Ak by použil päťlitrovú odmerku, tak hmla z prvej odmerky by naplnila presne 8 nádob, z druhej presne 10 nádob, z tretej presne 7 nádob a zo štvrtej odmerky presne 4 nádoby. Rozhodnite, či je tridsiata nádoba v poradí väčšia ako dvadsiatapiata.

Z7-II-1
Florián premýšľal, akú kyticu nechá mamičke uviazať na Deň matiek. V kvetinárstve podľa cenníka spočítal, že či kúpi 5 klasických gerber alebo 7 minigerber, kytica bude stáť po doplnení ozdobnej stuhy rovnako, a to 29,50 eur. Ak by však kúpil iba 2 minigerbery a 1 klasickú gerberu bez ďalších doplnkov, zaplatil by 10,20 eur. Koľko stojí 1 minigerbera?

Z7-II-2
Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Kamila z troch kartičiek zložila trojciferné číslo, ktoré bolo väčšie ako 500 a bolo deliteľné štyrmi. Filip zo zvyšných troch kartičiek zložil trojciferné číslo deliteľné tromi aj piatimi. Kamila potom obe trojciferné čísla sčítala a Filip si všimol, že tento súčet je trojciferné číslo, ktoré sa číta rovnako zľava ako sprava. Ktoré čísla mohli Kamila s Filipom zložiť? Určte všetky možnosti.

Z7-II-3
Zostrojte kružnicu so stredom S a polomerom 3 cm. Zostrojte dva navzájom kolmé priemery AC a BD tejto kružnice. Zostrojte rovnoramenné trojuholníky ABK, BCL, CDM, DAN tak, aby:

• základňou každého trojuholníka bola strana štvoruholníka ABCD,
• základňa každého trojuholníka bola zhodná s výškou na túto stranu,
• žiadny trojuholník neprekrýval štvoruholník ABCD.

Zo zadaných údajov vypočítajte obsah mnohouholníka AKBLCMDN.

Z8-I-1
Vyjadrite číslo milión pomocou čísel obsahujúcich iba cifry 9 a algebrických operácií plus, mínus, krát, delené, mocnina a odmocnina. Určte aspoň tri rôzne riešenia.

Z8-I-2
V ostrouhlom trojuholníku KLM má uhol KLM veľkosť 68◦. Bod V je priesečníkom výšok a P je pätou výšky na stranu LM. Os uhla PVM je rovnobežná so stranou KM. Porovnajte veľkosti uhlov MKL a LMK.

Z8-I-3
Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane najväčší spoločný deliteľ všetkých štyroch čísel. Ktoré čísla mala Adelka napísané na papieri?

Z8-I-4
Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho ten druhý rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 9:00 začal Hubert stavať a Róbert rozoberať, presne o 12:00 Hubert dokončil skladanie mlynčeka a Róbert rozoberanie iného. Spolu za túto zmenu pribudlo 27 mlynčekov. O 13:00 začal Róbert stavať a Hubert rozoberať, presne o 19:00 dokončil Róbert skladanie posledného mlynčeka a Hubert rozoberanie iného. Spolu za túto zmenu pribudlo 120 mlynčekov. Za ako dlho zloží mlynček Hubert? Za ako dlho ho zloží Róbert?

Z8-I-5
Zhodné obdĺžniky ABCD a EFGH sú umiestnené tak, že ich zhodné strany sú rovnobežné. Body I, J, K, L, M a N sú priesečníky predĺžených strán ako na obrázku. Obsah obdĺžnika BNHM je 12 cm², obsah obdĺžnika MBCK je 63 cm² a obsah obdĺžnika MLGH je 28 cm². Určte obsah obdĺžnika IFJD.

Z8-I-6
Priamka predstavuje číselnú os a vyznačené body zodpovedajú číslam a, -a, a + 1, avšak v neurčenom poradí. Zostrojte body, ktoré zodpovedajú číslam 0 a 1. Preberte všetky možnosti.

Z8-II-1
Jožko si do zošita napísal nasledujúcu úlohu:

Potom nahradzoval písmená ciframi od 1 do 9, a to tak, že rôzne písmená nahradzoval rôznymi ciframi a rovnaké rovnakými. Aký najväčší súčet mohol Jožko dostať? A mohol Jožko dostať súčet 50?
Časom sa Jožkovi podarilo vytvoriť súčet 59. Ktorá cifra mohla v takom prípade zodpovedať písmenu T? Určte všetky možnosti.

Z8-II-2
Kocka s hranou 12 cm bola rozdelená na menšie navzájom zhodné kocôčky tak, že súčet všetkých ich povrchov bol osemkrát väčší ako povrch pôvodnej kocky. Určte, koľko bolo malých kocôčok a aké dlhé boli ich hrany.

Z8-II-3
V rovnostrannom trojuholníku ABC so stranou dĺžky 8 cm je bod D stred strany BC a bod E je stred strany AC. Bod F leží na úsečke BC tak, že obsah trojuholníka ABF je rovnaký ako obsah štvoruholníka ABDE. Vypočítajte dĺžku úsečky BF.

Z9-I-1
Vekový priemer všetkých ľudí, ktorí sa zišli na rodinnej oslave, bol rovný počtu prítomných. Teta Beta, ktorá mala 29 rokov, sa vzápätí ospravedlnila a odišla. Aj po odchode tety Bety bol vekový priemer všetkých prítomných ľudí rovný ich počtu. Koľko ľudí bolo pôvodne na oslave?

Z9-I-2
V lichobežníku VODY platí, že VO je dlhšou základňou, priesečník uhlopriečok K delí úsečku VD v pomere 3 : 2 a obsah trojuholníka KOV je rovný 13,5 cm². Určte obsah celého lichobežníka.

Z9-I-3
Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert stavať a Róbert rozoberať, presne o 12:00 Hubert dokončil skladanie mlynčeka a Róbert rozoberanie iného. Celkom za túto zmenu pribudlo 70 mlynčekov. O 13:00 začal Róbert stavať a Hubert rozoberať, presne o 22:00 dokončil Róbert skladanie posledného mlynčeka a Hubert rozoberanie iného. Celkom za túto zmenu pribudlo 36 mlynčekov. Za ako dlho by zložili 360 mlynčekov, keby Róbert aj Hubert skladali spoločne?

Z9-I-4
Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa číslam pomôcť. Naopak výpravca tvrdil, že to nie je možné. Rozhodnite, kto z nich mal pravdu.

Z9-I-5
Vnútri obdĺžnika ABCD ležia body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC sú navzájom zhodné. Strana AB je dlhá 22 cm a kružnica opísaná trojuholníku AFD má polomer 10 cm. Určte dĺžku strany BC.

Z9-I-6
Na priamke predstavujúcej číselnú os uvážte navzájom rôzne body zodpovedajúce číslam a, 2a, 3a + 1 vo všetkých možných poradiach. Pri každej možnosti rozhodnite, či je také usporiadanie možné. Ak áno, uveďte konkrétny príklad, ak nie, zdôvodnite prečo. (Michaela Petrová)

Z9-II-1
Štefka a Terezka dostali bonboniéru, v ktorej bolo 35 čokoládových cukríkov. Prvý deň zjedla Terezka 2/5 toho, čo zjedla v tento deň Štefka. Druhý deň zjedla Štefka 3/4 toho, čo zjedla v tento deň Terezka. Na konci druhého dňa bola bonboniéra prázdna. Koľko cukríkov celkom zjedla Terezka, keď vieme, že počet cukríkov zjedených Terezkou a počet cukríkov zjedených Štefkou sa líšia o najmenšiu možnú hodnotu? Každý deň zjedlo každé z dievčat aspoň jeden cukrík a žiadny cukrík nebol delený na časti.

Z9-II-2
Vo štvoruholníku ABCD sú strany AB a CD rovnobežné, pričom strana AB je dvakrát dlhšia ako strana CD. Bod S je priesečníkom uhlopriečok štvoruholníka ABCD a trojuholníky ABS a CDS sú oba rovnostranné. Bod E je taký bod úsečky BS, že veľkosť uhla ACE je 30°. Určte pomer obsahov štvoruholníka ABCD a trojuholníka EBC.

Z9-II-3
Štyri kamarátky našli v učebnici nasledujúcu poznámku:

Vieme, že a že je prirodzené číslo.

Teraz premýšľajú a dohadujú sa, čo môžu povedať o čísle c:

Anna: „Určite to nemôže byť .“
Dana: „Môže to byť napr. 98.“
Hana: „Môže to byť akékoľvek párne číslo.“
Jana: „Také číslo je určite len jedno.“

Rozhodnite, ktoré z dievčat má (majú) pravdu, a vysvetlite prečo.

Z9-II-4
Kváder s rozmermi 20 cm × 30 cm × 40 cm je položený tak, že hrana dĺžky 20 cm leží na stole a hrana dĺžky 40 cm zviera so stolom uhol 30°. Kváder je čiastočne naplnený vodou, ktorá omáča hornú stenu s rozmermi 20 cm × 40 cm z jednej štvrtiny. Určte objem vody v kvádri.

Z9-III-1
Vo finále súťaže spoločenských tancov mal každý z dvadsiatich piatich porotcov ohodnotiť päť tanečných párov známkami 1 až 5 ako v škole, pričom každú známku musel použiť práve raz. Po súťaži bola zverejnená tabuľka s priemermi známok pre každý pár:

pár A	pár B	pár C	pár D	pár E
4,68	3,86	3,36	1,44	1,60

Vzápätí sa zistilo, že práve jeden z priemerov je v tabuľke uvedený zle. Zistite, ktorý priemer je chybný, a opravte ho. Jedným z porotcov bol strýko tanečníka páru E. Páry však hodnotil čestne a bez zaujatosti nasledujúcim spôsobom: 1 pre D, 2 pre E, 3 pre B, 4 pre C a 5 pre A. Napriek tomu mu po vyhlásení opravených výsledkov vŕtalo v hlave, či by býval mohol nepoctivým oznámkovaním posunúť pár E na prvé miesto. Zistite, či to mohol dokázať.

Z9-III-2
Každé z čísel a a b sa dá vyjadriť ako súčin troch prvočísel menších ako 10. Každé prvočíslo menšie ako 10 je prítomné v rozklade aspoň jedného z čísel a a b. Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b je rovný najväčšiemu spoločnému deliteľovi čísel a a b a súčasne dvojnásobku najväčšieho spoločného deliteľa čísel a a b. Určte čísla a a b.

Z9-III-3
Na tajomnom ostrove žijú dva druhy domorodcov: jedni hovoria výlučne pravdu (poctivci), druhí stále klamú (klamári). Výskumníci tam stretli niekoľko skupín domorodcov a vždy sa každého zo skupiny spýtali, koľko je v ich skupine poctivcov.

• Ako odpovede od jednej štvorčlennej skupiny dostali všetky čísla rovnaké.
• Ako odpovede od druhej skupiny dostali čísla 0, 1, 3, 3, 3, 4.

Koľko poctivcov mohlo byť v jednej a koľko v druhej skupine? Určte všetky možnosti.

Z9-III-4
V kosoštvorci ABCD so stranou dĺžky 4 cm a uhlopriečkou AC dĺžky 4 cm je bod K stredom strany BC. Ďalej sú zostrojené body L a M, ktoré tvoria spolu s bodmi D a K štvorec KLMD. Vypočítajte obsah štvorca KLMD.

Uložiť

Uložiť