58. ročník matematickej olympiády 2008-2009

Z4	Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
1. kolo	1. kolo	1. kolo	1. kolo	1. kolo	1. kolo
2. kolo	2. kolo	2. kolo	2. kolo	2. kolo	2. kolo
					3. kolo

Z4-I-1

Na stole so štvorcovou doskou o strane 1 m bola „trochu nakrivo“ umiestnená kruhová dečka. Od najbližšej strany dosky stola bol jej kraj vzdialený 10 cm, od susednej strany potom 20 cm a od najvzdialenejšej strany 40 cm.

a) Ako ďaleko bol okraj dečky od štvrtej strany dosky stola?
b) Aký polomer mala dečka?

Z4-I-2

Jožo Nudilsa sa zabával tým, že písal za sebou postupne prirodzené čísla. Začal jednotkou: 1234567891011… Po čase ho to prestalo baviť a kriticky sa pozrel na svoj výtvor. Zistil, že v postupnosti číslic, ktoré napísal, sa vyskytujú iba raz tri päťky priamo za sebou.

a) Najmenej koľko za sebou idúcich prirodzených čísel napísal Jožo?
b) Najmenej koľko číslic napísal Jožo?

Z4-I-3

Bývam v Tomášovciach, ale pracujem v Rimavskej Sobote. Autobus, ktorým do práce cestujem, má nasledujúce zastávky (v uvedenom poradí): Tomášovce, Bátka, Rokytník, Bátka, Bakta, Vinica, Rimavská Sobota. Z Bátky do Rimavskej Soboty cez Baktu a Vinicu je to po ceste 11 km, z Rokytníka cez Bátku a Baktu do Vinice 12 km, z Bátky cez Baktu do Vinice 9 km. Z Tomášoviec do Bátky je to rovnako ďaleko ako z Vinice do Rimavskej Soboty.

a) Koľko km prejde autobus z Tomášoviec do Rimavskej Soboty touto trasou?
b) Koľko km by to bolo z Tomášoviec do Rimavskej Soboty, keby autobus nezachádzal do Rokytníka?

Z4-I-4
Doplň do prázdnych políčok prirodzené čísla od 1 do 16 (každé číslo môžeš použiť len raz) tak, aby platili matematické vzťahy.

Z4-I-5
Paľko s Radkou si kupujú spolu cukríky. Pri poslednom nákupe platil Paľko 92 Sk za 5 balení z dvoch druhov cukríkov. Sám si vzal z každého druhu po jednom balení a Radka dostala jedno balenie gumených a dve balenia čokoládových cukríkov. Jej nákup bol tak o 20  Sk drahší ako Paľkov.

a) Koľko korún má za nákup dať Radka Paľkovi?
b) Koľko stojí jedno balenie gumených cukríkov?

Z4-I-6
Danko si zo štvorčekovej siete vystrihol útvar ako na obrázku:

Odstrihni dva štvorčeky siete tak, aby sa výsledný útvar nerozpadol a aby mal čo najväčší obvod. Nájdi dve riešenia.

Z4-II-1
Mirko si zo štvorcovej siete s vpísanými číslami vystrihol útvar na obrázku:

Odstrihni dva štvorčeky útvaru tak, aby sa výsledný útvar nerozpadol, aby po odstrihnutí oboch štvorčekov mal rovnaký obvod ako pôvodne a aby súčet vpísaných čísel bol najmenší možný.

Z4-II-2
Jeden detský lístok na plaváreň stojí 1 €. Jeden dospelý lístok stojí 2 €. Teta Eva a ujo Adam išli na plaváreň s deťmi. Všetky lístky pri pokladni zaplatil ujo Adam. Teta Eva mu potom dala za seba a všetky dievčatá 5 €. Koľko platil ujo Adam pri pokladni ak chlapcov bolo dvakrát toľko ako dievčat?

Z4-II-3
Pani Jedináčkovej sa narodili trojičky. Prvá prišla na svet najťažšia Katka, po nej Lenka a posledná najľahšia Marienka. Keby Katka vážila pri narodení o 2 310 gramov viac, vážila by toľko, čo Lenka s Marienkou spolu. Keby vážila o 4 660 g viac, vážila by toľko, čo všetky tri spolu. Zistite pôrodnú hmotnosť jednotlivých dievčatiek v gramoch, ak viete, že sa udáva s presnosťou na desiatky gramov.

Z5-I-1
Učiteľka Kadrnožková kupovala v pokladni zoologickej záhrady vstupenky pre svojich žiakov a pre seba. Vstupenka pre dospelého bola drahšia ako pre školáka, ale nie viac ako dvakrát. Učiteľka Kadrnožková zaplatila 994 Sk. Učiteľ Hniezdo mal so sebou o troch žiakov viac ako učiteľka Kadrnožková, a za svojich žiakov a za seba zaplatil 1120 Sk.

a) Koľko žiakov mal so sebou učiteľ Hniezdo?
b) Koľko stála vstupenka pre dospelého?

Z5-I-2
Fero Nudilsa sa zabával tým, že písal za sebou idúce prirodzené čísla. Začal jednotkou: 1234567891011… Po čase ho to prestalo baviť, dokončil práve rozpísané číslo a kriticky sa pozrel na svoj výtvor. Zistil, že v postupnosti číslic, ktoré napísal, sa vyskytuje päť jednotiek za sebou.

a) Najmenej koľko za sebou idúcich prirodzených čísel napísal Fero?
b) Najmenej koľko číslic napísal Fero?

Z5-I-3
Najvyššia známa sopka na zemeguli je Mauna Kea na Havajských ostrovoch. Jej výška od úpätia po vrchol je dokonca o 358 metrov väčšia, ako je nadmorská výška najvyššej hory sveta, Mont Everestu. Nedvíha sa však z pevniny, ale z dna Tichého oceánu, z 5000 metrovej hĺbky. Keby morská hladina v tejto oblasti klesla o 397 metrov, bola by ponorená časť Mauna Key presne rovnako vysoká, ako časť, ktorá by vyčnievala nad hladinu.

a) Akú nadmorskú výšku má vrchol sopky?
b) Koľko meria Mauna Kea od úpätia po vrchol?
c) Akú nadmorskú výšku má Mont Everest?

(Údaje o nadmorských výškach uvádzané v rôznych literatúrach sa môžu líšiť. Je to spôsobené jednak nepresnosťami niektorých meraní, jednak pohybmi zemskej kôry – tieto výšky sa skutočne menia! Pri riešení úlohy preto vychádzaj len z údajov uvedených v úlohe.)

Z5-I-4
Klasická hracia kocka sa kotúľala naznačeným smerom po pláne na obrázku. Pri jej pohybe na každom políčku ostali otlačené bodky zo steny, ktorou sa plánu dotýkala. Súčet všetkých bodiek otlačených na pláne bol 23. Koľko bodiek bolo otlačených na zafarbenom políčku?

(Klasická hracia kocka má na stenách bodky 1, 2, …, 6 umiestnené tak, že súčet počtu bodiek na protiľahlých stenách je 7. Plán pozostáva zo štvorcov, ktoré sú rovnako veľké ako steny kocky.)

Z5-I-5
Digitálne hodiny ukazujú hodiny a minúty, napríklad 14:37. Akú dobu (v minútach) svieti za 24 hodín na týchto hodinách aspoň jedna päťka?

Z5-I-6
Danko si zo štvorčekovej siete vystrihol útvar ako na obrázku:

Odstrihni dva štvorčeky siete tak, aby sa výsledný útvar nerozpadol a aby mal čo najväčší obvod. Nájdi dve riešenia.

Z5-II-1
Mirko si zo štvorcovej siete s vpísanými číslami vystrihol útvar na obrázku:

Odstrihni dva štvorčeky útvaru tak, aby sa výsledný útvar nerozpadol, aby po odstrihnutí oboch štvorčekov mal rovnaký obvod ako pôvodne a aby súčet vpísaných čísel bol najmenší možný.

Z5-II-2
Pätnásť rovnakých na sebe položených listov papiera som naraz preložil napoly. Získal som tak „zošit“, ktorého stránky som očísloval po poradí číslami 1 až 60. Ktoré ďalšie tri čísla sú napísané na tom istom liste papiera ako číslo 25?

Z5-II-3
Fero Všímavý si opakoval malú násobilku jednotlivých čísel tým, že vypisoval jej výsledky za sebou bez medzier a čiarok. Napríklad u násobilky čísla 2 by mal napísané 2468101214161820. Do jedného riadku takto zapísal násobilku 3, za ňou ihneď násobilku 5 a nakoniec 9. Potom si tento riadok prezrel a zistil, že sa v ňom objavujú zrkadlové čísla. (Zrkadlové číslo má aspoň 3 číslice a číta sa zozadu rovnako ako spredu, napríklad: 272, 3553, 98089.) Napíš 3 najmenšie zrkadlové čísla a jedno najväčšie zrkadlové číslo z Ferovho riadka.

Z6-I-1
Na obrázku je štvorcová sieť, ktorej štvorce majú stranu dĺžky 1 cm. V sieti je zakreslený obrazec vyfarbený šedou. Libor má narysovať priamku, ktorá je rovnobežná s priamku MO a rozdeľuje šedý obrazec na dve časti s rovnakým obsahom. V akej vzdialenosti od priamky MO povedie Libor túto rovnobežku?

Z6-I-2
Do prázdnych polí vpíš čísla 2, 4, 6, 8, 12, 14 a 21 tak, aby každé tri čísla napísané na jednej úsečke dávali vždy rovnaký súčin. Napíš svoj postup.

Z6-I-3
Bé-banka vydáva bankomatové karty so štvormiestnym PIN kódom, ktorý neobsahuje číslicu 0. Pán Skleróza sa bál, že zabudne PIN kód svojej karty, preto si ho napísal priamo na kartu. Aby to však prípadný zlodej nemal také ľahké, napísal si ho tam rímskymi číslicami: IIIVIIIXIV. Svoj nápad prezradil najlepšiemu priateľovi, pánovi Odkukalovi. Tomu sa nápad tak zapáčil, že spravil so svojím PIN kódom to isté a na kartu si správne zapísal: IVIIIVI. Na svoje veľké prekvapenie však z rímskeho zápisu nevedel svoj PIN kód presne určiť!

a) Aký PIN kód má karta pána Sklerózu?
b) Aký PIN kód môže mať karta pána Odkukala?

Z6-I-4
Načrtni všetky možné tvarovo rôzne štvoruholníky, ktoré majú vrcholy vo vrcholoch daného pravidelného šesťuholníka. Aké by boli ich obsahy, keby šesťuholník mal obsah 156 cm²?

Z6-I-5
Pani Kučerová bola na sedemdennej dovolenke a Katka jej po celý ten čas venčila psa a kŕmila králiky. Dostala za to veľkú tortu a 700 Sk. Po ďalšej dovolenke podľa rovnakých pravidiel dostala Katka za štyri dni venčenia a kŕmenia rovnakú tortu a 340 Sk. Akú cenu mala torta?

Z6-I-6
Na každú stenu kocky sme napísali iné prvočíslo menšie ako 20 tak, aby súčty dvoch čísel na protiľahlých stenách boli vždy rovnaké. Kocku sme položili na prvé políčko plánu na obrázku najmenším číslom nadol a potom sme ju kotúľali naznačeným smerom po pláne. Pri každom dotyku kocky s plánom sme na políčko plánu napísali číslo, ktorým sa ho kocka dotkla. Ktorým číslom sa kocka dotkla zafarbeného políčka plánu, ak súčet všetkých napísaných čísel bol najmenší možný?

(Plán pozostáva zo štvorcov, ktoré sú rovnako veľké ako steny kocky.)

Z6-II-1
Katka chce obdarovať svoje kamarátky a rozmýšľa: keby som každej kúpila sponku za 2,80 €, ostalo by mi ešte 2,90 €, ale keby to bol medvedík za 4,20 €, tak by mi ešte 1,30 € chýbalo. Koľko má Katka kamarátok a koľko peňazí na darčeky?

Z6-II-2

Na kocku sme na každú stenu napísali prvočíslo menšie ako 20. Potom sme zistili, že súčet každých dvoch čísel ležiacich na protiľahlých stenách je vždy rovnaký. Kocku sme položili na prvé políčko plánu na obrázku stenou s najmenším číslom nadol. Potom sme ju kotúľali naznačeným smerom po pláne. Pri každom dotyku kocky s plánom sme na políčko plánu napísali číslo, ktorým sa ho kocka dotkla. Ktorým číslom sa kocka mohla dotknúť zafarbeného políčka plánu, ak súčet všetkých napísaných čísel bol

1. najmenší možný,
2. najväčší možný?

(Plán pozostáva zo štvorcov, ktoré sú rovnako veľké ako steny kocky.)

Z6-II-3
Traja záhradníci mali veľkú úrodu mrkvy a tak skúsili mrkvu odšťavovať. Po odšťavení všetku získanú šťavu naliali do 9 pohárov. Všetky boli plné, každý však mal iný objem: 1 dl, 2 dl, 3 dl, …, 9 dl. Chceli sa spravodlivo podeliť tak, aby každý dostal rovnaký počet pohárov i rovnako veľa šťavy. Ako to mohli urobiť?

Z7-I-1

Na každú stenu kocky sme napísali iné prvočíslo menšie ako 20 tak, aby súčet dvoch čísel na protiľahlých stenách bol vždy rovnaký. Kocku sme položili na prvé políčko plánu na obrázku najväčším číslom nadol a potom sme ju kotúľali naznačeným smerom po pláne. Pri každom dotyku kocky s plánom sme na políčko plánu napísali číslo, ktorým sa ho kocka dotkla. Ktorým číslom sa kocka dotkla zafarbeného políčka, ak súčet všetkých napísaných čísel bol najväčší možný?

(Plán pozostáva zo štvorcov, ktoré sú rovnako veľké ako steny kocky.)

Z7-I-2

Na obrázku je štvorcová sieť, ktorej štvorce majú stranu dĺžky 1 cm. V sieti je zakreslený obrazec vyfarbený šedou. Libor má narysovať priamku, ktorá je rovnobežná s priamku MO a rozdeľuje šedý obrazec na dve časti s rovnakým obsahom. V akej vzdialenosti od priamky MO povedie Libor túto rovnobežku?

Z7-I-3

Turisti plánovali dlhú túru na tri dni tak, že každý deň prejdú tretinu celej trasy. To však dodržali iba prvý deň. Druhý deň prešli iba tretinu zvyšku cesty, a tretí deň, unavení, len štvrtinu zvyšku. Posledných 24 km do cieľa ich doviezlo terénne auto. Aká dlhá mala byť celá túra a koľko kilometrov prešli (pešo) prvý, druhý a tretí deň?

Z7-I-4

Pán Horák je o 3 roky starší ako jeho žena a ich prvorodený syn je o 4 roky starší ako ich druhorodený. Všetci štyria oslavujú narodeniny v ten istý deň a teraz majú spolu 81 rokov. Pred 5 rokmi mali spolu 62 rokov. Urči dnešný vek rodičov aj oboch synov.

Z7-I-5

Zuzka napísala päťciferné číslo. Keď pripísala jednotku na koniec tohto čísla, dostala číslo, ktoré je trikrát väčšie ako číslo, ktoré by dostala, keby napísala jednotku pred pôvodné číslo. Ktoré päťciferné číslo Zuzka napísala?

Z7-I-6
Daný je obdĺžnik ABCD. Bodom A vedieme priamku, ktorá pretne úsečku CD v bode X tak, že pre obsahy vzniknutých útvarov platí S_AXD : S_ABCX = 1:2. Bodom X vedieme priamku, ktorá pretne úsečku AB v bode Y tak, že platí S_AXY : S_YBCX = 1:2. Bodom Y opäť vedieme priamku, ktorá pretne úsečku XC v bode Z tak, že platí S_XYZ : S_YBCZ = 1:2. Vypočítaj pomer obsahov S_AXD : S_AXZY.

Z7-II-1
Rado číta zaujímavú knižku. Včera prečítal 15 strán, dnes ďalších 12 strán. S údivom si uvedomil, že súčet čísel strán, ktoré prečítal včera, je rovnaký ako súčet čísel strán, ktoré prečítal dnes. Zisti číslo na stránke, ktorou začne najbližšie čítanie?
(Rado pri čítaní žiadne stránky nepreskakuje ani nečíta žiadnu stránku dva a viackrát. Každodenné čítanie nikdy neskončí rozčítanou stránkou.)

Z7-II-2
Tajný agent sa snaží rozlúštiť prístupový kód. Zatiaľ získal tieto informácie:
• je to štvorciferné číslo,
• nie je deliteľné siedmimi,
• číslica na mieste desiatok je súčtom číslice na mieste jednotiek a číslice na mieste stoviek,
• číslo vytvorené z prvých dvoch číslic kódu (v tomto poradí) je pätnásťnásobkom poslednej číslice kódu,
• prvá a posledná číslica kódu (v tomto poradí) tvoria prvočíslo.

Stačia mu tieto informácie na rozlúštenie kódu? Svoj záver zdôvodni.

Z7-II-3
Na obrázku je štvorec ABCD so stranou dĺžky 10 cm a menší štvorec EFGH, ktorého vrcholy E, F, G, H ležia na uhlopriečkach AC, BD štvorca ABCD. Plocha, ktorá leží vnútri štvorca ABCD a pritom mimo štvorca EFGH, je šedo vyznačená. Priamka p, ktorá je rovnobežná s AB, od AB vzdialená 6,5 cm a prechádza štvorcom EFGH, rozdeľuje šedú plochu na dve časti. Obsah jednej tejto časti je o 13,8 cm² väčší než obsah druhej. Vypočítajte dĺžku strany EF.

Z8-I-1

Myslím si nezáporné číslo v tvare zlomku s menovateľom 12 a celočíselným čitateľom. Keď ho napíšem v tvare desatinného čísla, bude mať pred aj za desatinnou čiarkou po jednej platnej číslici, ktoré budú obe nenulové. Čísel s takouto vlastnosťou je viac. Ak ich zoradíme od najmenšieho po najväčšie, to „moje“ bude predposledné. Aké číslo si myslím?

Z8-I-2

Na každú stenu kocky sme napísali iné prvočíslo menšie ako 20 tak, aby súčty dvoch čísel na protiľahlých stenách boli vždy rovnaké. Kocku sme položili na prvé políčko plánu na obrázku a potom sme ju kotúľali naznačeným smerom po pláne. Pri každom dotyku kocky s plánom sme na odpovedajúce políčko plánu napísali číslo, ktorým sa ho kocka dotkla. Ktorým svojím číslom sa kocka plánu nedotkla, ak súčet všetkých napísaných čísel bol 86?

(Plán pozostáva zo štvorcov, ktoré sú rovnako veľké ako steny kocky.)

Z8-I-3

Grafik v redakcii novín dostal dva obrázky, aby ich umiestnil k článku. Prvý originál bol 13 cm široký a 9 cm vysoký, druhý mal šírku 14 cm a výšku 12 cm. Grafik sa rozhodol umiestniť obrázky na stránku vedľa seba tak, aby sa dotýkali a aby oba mali rovnakú výšku. Po vytlačení novín mali obrázky spolu šírku 18,8 cm. Obrázky teda vhodne zmenšil bez toho, aby ich akokoľvek orezával. Aká bola výška obrázkov vo vytlačených novinách?

Z8-I-4

Dané sú tri vzájomne rôzne nenulové číslice. Na tabuľu sme napísali všetky rôzne trojciferné čísla, ktoré sa dajú z uvedených číslic vytvoriť, pričom pre každé číslo sme použili všetky tri číslice. Súčet čísel napísaných na tabuli je 1776. Ktoré tri číslice boli dané? Nájdite všetky riešenia.

Z8-I-5

Na veži radnice sú hodiny, ktoré majú blízko stredu ciferníku dvierka používané pri údržbe. Dvierka sa otvárajú von, čo je nepraktické – napríklad presne o 12:09 veľká ručička zakryje dvierka, ktoré sa preto nedajú otvoriť. Najskôr sa dvierka opäť dajú otvoriť presne o 12:21. Koľko minút denne sa dvierka nedajú otvoriť?
(Nezabudnite, že dvierka môže zakryť aj malá ručička; celé dvierka ležia v kruhu, ktorý táto ručička opisuje.)

Z8-I-6

Do kvádra ABCDEFGH je zakreslený hranol s vrcholmi PQRSTUVX, ktorého vrcholy sú stredy hrán kvádra (pozri náčrtok). Vypočítajte objem a povrch hranola, ak viete, že: |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |BF| = 4 cm.

Z8-II-1
Pri lese, ktorý mal tvar rovnoramenného trojuholníka, sa u jedného z jeho vrcholov utáborili Ivo a Peter. Uprostred protiľahlej strany bola studnička. Chlapci sa rozhodli, že k nej nepôjdu lesom, ale po jeho obvode. Každý vyšiel iným smerom, ale obaja rýchlosťou 4 km/h. Ivo dorazil k studničke za 15 minút, Peter za 12 minút. Zisti dĺžky strán trojuholníka lesa.
(Dĺžky strán zaokrúhlite na celé metre.)

Z8-II-2
Eva písala za sebou idúce prirodzené čísla: 1234567891011… Ktorá číslica by bola zapísaná na 2 009-tom mieste Evinho čísla?

Z8-II-3
Tri dané prirodzené čísla sú zoradené podľa veľkosti. Určite tieto čísla na základe nasledujúcich informácií:
• priemer daných troch čísel je rovný prostrednému z nich,
• rozdiel niektorých dvoch daných čísel je 321,
• súčet niektorých dvoch daných čísel je 777.

Z9-I-1
Do troch prázdnych krúžkov na obrázku patria také prirodzené čísla, aby súčin troch čísel na každej strane trojuholníka bol rovnaký. Ktoré najmenšie a ktoré najväčšie číslo môže byť za tejto podmienky vpísané v šedo vyfarbenom krúžku?

Z9-I-2
Alena, Barbora, Cyril a Dávid si spoločne kúpili tandem – bicykel pre dvoch. Na vychádzky na tandeme vyrážajú vždy v dvojici. Každý bol s každým už aspoň raz a nikto iný sa na tandeme ešte neviezol. Alena bola na vychádzke na tandeme jedenásťkrát, Barbora dvadsaťkrát, Cyril iba štyrikrát. Určte, koľkokrát minimálne a koľkokrát maximálne mohol byť na vychádzke na tandeme Dávid.

Z9-I-3
Určte obsah vyfarbenej plochy štvorcovej siete so stranou 10 cm, v ktorej je narysovaná kružnica s polomerom 20 cm a so stredom S vo vyznačenom mrežovom bode. Body A, B sú priesečníky kružnice so sieťovými priamkami.

Z9-I-4
Dominik si vyrobil „prvočíselné domino“ – každá kocka domina mala na sebe jedno dvojciferné prvočíslo tak, že na každej polovici kocky bola jedna číslica tohto prvočísla. Žiadne dvojciferné prvočíslo v domine nechýbalo, žiadne prvočíslo nebolo na dvoch kockách. Dominik sa rozhodol, že všetky kocky usporiada do kružnice tak, aby kocky ležiace vedľa seba susedili rovnakou číslicou (pozri obrázok). Jeho kamarát Filip mu však povedal, že to nie je možné. Kto mal pravdu? Prečo?

Z9-I-5
Na stole s kruhovou doskou o priemere 0,6 m je „nakrivo“ položený štvorcový obrus so stranou 1 m – jeho stred je vzhľadom na stred dosky posunutý. Jeden cíp obrusu prečnieva cez hranu dosky stola 0,5 m, susedný cíp 0,3 m. Zistite dĺžku presahu zvyšných dvoch cípov.

Z9-I-6
Štyria otcovia chceli deťom sponzorovať lyžiarsky zájazd.
• Prvý sľúbil: dám 11 500 Sk,
• druhý sľúbil: dám tretinu toho, čo vy ostatní spolu,
• tretí sľúbil: ja dám štvrtinu toho, čo vy ostatní spolu,
• štvrtý sľúbil: ja dám pätinu toho, čo vy ostatní spolu.

Koľko korún sľúbil druhý, tretí a štvrtý otecko?

Z9-II-1
Do troch prázdnych štvorcov na obrázku patria také prirodzené čísla, aby súčet troch čísel na každej strane trojuholníka bol rovnaký. Koľko rôznych trojíc prirodzených čísel je možné do obrázka doplniť?

Z9-II-2
Nočný strážnik si na skrátenie času v službe písal postupnosť čísel. Začal istým prirodzeným číslom. Každý ďalší člen postupnosti vytvoril tak, že k predchádzajúcemu číslu pričítal určité číslo: k prvému členu pričítal 1, k druhému 3, k tretiemu 5, k štvrtému 1, k piatemu 3, k šiestemu 5, k siedmemu 1 a tak ďalej. Vieme, že sa v jeho postupnosti nachádzajú čísla 40 a 874.

a) Ktoré číslo nasleduje v postupnosti priamo po čísle 40 a ktoré priamo po čísle 874?
b) V postupnosti nájdeme dva priamo po sebe idúce členy, ktorých súčet je 491.

Ktoré dve čísla to sú?

Z9-II-3
Vojto Vodník sa bavil tým, že prelieval vodu medzi tromi nádobami. Najprv prelial po jednej tretine vody z druhej nádoby do prvej a tretej. Potom prelial po jednej štvrtine vody z prvej nádoby do druhej a tretej a nakoniec ešte po jednej pätine vody z tretej nádoby do prvej a druhej nádoby. Nakoniec zostalo v každej nádobe po 1 litre vody. Koľko vody mal Vojto pôvodne v jednotlivých nádobách?

Z9-II-4
V Kocúrkove plánovali postaviť ozdobný most ponad rieku. Jeho oblúk (viď obrázok) mal byť časťou kružnice. Tento oblúk spolu s vozovkou ohraničuje kruhový odsek. V pôvodnom návrhu bola ale výška oblúku mosta príliš veľká. Postavili teda most, ktorého výška oblúku bola trikrát menšia, tým sa však polomer príslušnej kružnice dvakrát zväčšil. V akom pomere bola výška oblúku mosta a polomer príslušnej kružnice v návrhu a v akom u postaveného mostu?

Z9-III-1
Na našu „zamyšenú“ chalupu sme priviezli myšilovca kocúra Viliama. V pondelok chytil 1/2 všetkých myší, v utorok 1/3 zvyšku, v stredu 1/4 tých, čo zostali po utorňajšom love, a vo štvrtok už len 1/5 zvyšku. V piatok sa zostávajúce myši radšej odsťahovali. Koľko bolo myší na chalupe pôvodne, ak sa v piatok odsťahovalo o 2 myši viac ako ich Viliam v utorok chytil?

Z9-III-2
Juraj, Vojto a Oto na súťaži získali všetky 3 medaily, zlatú, striebornú i bronzovú. Nechceli sa chváliť, tak takto žartovali:
• Juraj: „Oto získal zlatú!“
• Vojto: „Ale nie, Oto získal striebornú!“
• Oto: „Nedostal som ani zlatú ani striebornú!“

Tréner prezradil, že nositeľ zlatej medaily hovoril pravdu a nositeľ bronzovej klamal. Zistite, kto ktorú medailu získal.

Z9-III-3
V štvorcovej sieti, ktorej štvorce majú stranu dĺžky 10cm, sú narysované dve kružnice (pozri obrázok). Obe majú stred v bode S a každá prechádza štyrmi mrežovými bodmi. Sivo vyfarbený obrazec je ohraničený časťami týchto kružníc a jednou sieťovou priamkou. Určite obsah sivého obrazca.

Z9-III-4
Adam s Evou hrali šachy o jablko.
Adam vyhral a utešoval Evu: „To vieš, ja hrávam šachy dlho, dvakrát dlhšie ako ty!“
Eva sa hnevala: „Ale minule si hovoril, že ich hrávaš trikrát dlhšie!“
Adam sa divil: „To že som hovoril? A kedy to bolo?“
„Predvlani!“
„No tak to áno, hovoril som pravdu – a dnes tiež.“
Ako dlho (v rokoch) teda hráva Adam šach?