65. ročník matematickej olympiády 2015-2016
Súťažné úlohy kategórie A, B a C

aktualizované 12.8.2016 15:35

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo
Zadania úloh domáceho kola vo formáte PDF: (uložiť ako …)

---

C-I-1
Nájdite všetky možné hodnoty súčinu prvočísel p, q, r, pre ktoré platí

C-I-2
Určte, koľkými spôsobmi možno k jednotlivým vrcholom kocky ABCDEFGH pripísať čísla 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby súčin čísel pripísaných ľubovoľným trom vrcholom každej zo stien kocky bol párny.

C-I-3
Uvažujme výraz

     a) Nájdite všetky reálne čísla x a y, pre ktoré daný výraz nadobúda svoju najmenšiu hodnotu.

     b) Určte všetky dvojice celých nezáporných čísel x a y, pre ktoré je hodnota daného výrazu rovná číslu 16.

C-I-4
Vnútri strán AB, AC daného trojuholníka ABC sú zvolené postupne body E, F, pričom EF║BC. Úsečka EF je potom rozdelená bodom D tak, že platí

     a) Ukážte, že pomer obsahov trojuholníkov ABC a ABD je pre p = 2:3 rovnaký ako pre p = 3:2.

     b) Zdôvodnite, prečo pomer obsahov trojuholníkov ABC a ABD má hodnotu aspoň 4.

C-I-5
Máme kartičky s číslami 5, 6, 7, …, 55 (na každej kartičke je jedno číslo). Koľko najviac kartičiek môžeme vybrať tak, aby súčet čísel na žiadnych dvoch vybraných kartičkách nebol palindróm? (Palindróm je číslo, ktoré je rovnaké pri čítaní zľava doprava i sprava doľava.)

C-I-6
Daná je kružnica k₁(A; 4 cm), jej bod B a kružnica k₂(B; 2 cm). Bod C je stredom úsečky AB a bod K je stredom úsečky AC. Vypočítajte obsah pravouhlého trojuholníka KLM, ktorého vrchol L je jeden z priesečníkov kružníc k₁, k₂ a ktorého prepona KM leží na priamke AB.

C-S-1
Nájdite všetky štvorciferné čísla abcd, pre ktoré platí abcd = 20 · ab + 16 · cd.

C-S-2
Pri stole sedí niekoľko ľudí (aspoň dvaja) a hrajú takúto hru: V každom kole tajným hlasovaním každý hráč udelí hlas jednému hráčovi (môže aj sám sebe). Potom sa kolo vyhodnotí: každý hráč, ktorý dostal práve jeden hlas, z hry vypadáva.

     a) Koľko ľudí mohlo sedieť pri stole na začiatku, ak v prvom kole vypadol z hry práve jeden hráč?

     b) Mohla mať hra jediného víťaza, teda človeka, ktorý po určitom počte kôl zostal v hre sám?

C-S-3
V kružnici so stredom S zostrojíme priemer AB a ľubovoľnú naň kolmú tetivu CD. Zdôvodnite, prečo je obvod trojuholníka ACD menší ako dvojnásobok obvodu trojuholníka SBC.

C-II-1
Nájdite najmenšiu možnú hodnotu výrazu

v ktorom x a y sú ľubovoľné celé nezáporné čísla.

C-II-2
Určte, koľkými spôsobmi možno všetky hrany kocky ABCDEFGH ofarbiť štyrmi danými farbami (celú hranu bez krajných bodov vždy jednou farbou), aby pritom každá stena kocky mala hrany všetkých štyroch farieb.

C-II-3
V pravouhlom lichobežníku ABCD s pravým uhlom pri vrchole A základne AB je bod K priesečníkom výšky CP lichobežníka s jeho uhlopriečkou BD. Obsah štvoruholníka APCD je polovicou obsahu lichobežníka ABCD. Určte, akú časť obsahu trojuholníka ABC zaberá trojuholník BCK.

C-II-4
Adam s Barborou hrajú so zlomkom

takúto hru na štyri ťahy: Hráči striedavo nahrádzajú ľubovoľné z doposiaľ neurčených písmen a, b, c, d nejakou cifrou od 1 do 9. Barbora vyhrá, keď výsledný zlomok bude rovný buď celému číslu, alebo číslu s konečným počtom desatinných miest; inak vyhrá Adam (napríklad keď vznikne zlomok ). Ak začína Adam, ako má hrať Barbora, aby zaručene vyhrala? Ak začína Barbora, je možné poradiť Adamovi tak, aby vždy vyhral?

B-I-1
Pre prirodzené čísla k, l, m platí

Určte všetky možné hodnoty súčinu klm.

B-I-2
Do štvorcovej tabuľky 11 × 11 sme vpísali prirodzené čísla 1, 2, …, 121 postupne po riadkoch zľava doprava a zhora nadol. Štvorcovou doštičkou 4 × 4 sme všetkými možnými spôsobmi zakryli práve 16 políčok. Koľkokrát bol súčet zakrytých 16 čísel druhou mocninou celého čísla?

B-I-3
V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou AB a odvesnami dĺžok |AC|= 4 cm a |BC|= 3 cm ležia navzájom sa dotýkajúce kružnice k₁(S₁; r₁) a k₂(S₂; r₂) tak, že k₁ sa dotýka strán AB a AC, zatiaľ čo k₂ sa dotýka strán AB a BC. Určte najmenšiu a najväčšiu možnú hodnotu polomeru r₂.

B-I-4
Počet všetkých párnych deliteľov niektorého prirodzeného čísla je o 3 väčší ako počet všetkých jeho nepárnych deliteľov. Aký je podiel súčtu všetkých jeho párnych deliteľov a súčtu všetkých jeho nepárnych deliteľov? Nájdite všetky možné odpovede.

B-I-5
Vrcholy konvexného šesťuholníka ABCDEF ležia na kružnici, pričom |AB|=|CD|.Úsečky AE a CF sa pretínajú v bode G a úsečky BE a DF sa pretínajú v bode H. Dokážte, že úsečky GH, AD a BC sú navzájom rovnobežné.

B-I-6
Kladné reálne čísla a, b, c sú také, že hodnoty

sú navzájom rôzne. Zapíšme ich od najmenšej po najväčšiu:

Zistite, koľko rôznych poradí (i₁, i₂, …, i₆) indexov 1 až 6 môžeme dostať, keď budeme rôzne voliť čísla a, b, c.

B-S-1
Koľkými spôsobmi je možné vyplniť štvorcovú tabuľku 3 × 3 číslami 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby s účet čísel v každom štvorci 2 × 2 tejto tabuľky bol rovný 14?

B-S-2
Daná je úsečka AB, jej stred C a vnútri úsečky AB bod D. Kružnice k(C; |BC|) a m(B; |BD|) sa pretínajú v bodoch E a F a polpriamka FD pretína kružnicu k v bode K, K ≠ F. Rovnobežka s priamkou AB prechádzajúca bodom K pretína kružnicu k v bode L, L ≠ K. Dokážte, že |KL|=|BD|.

B-S-3
Dané sú dve rôzne reálne čísla a, b väčšie ako 1. Zapíšte všetky možné poradia hodnôt výrazov

od najmenšej po najväčšiu.

B-II-1
Určte všetky trojice celých kladných čísel k, l a m, pre ktoré platí

B-II-2
Daná je úsečka AB, jej stred C a vnútri úsečky AB bod D. Kružnice k(C; |BC|)a m(B; |BD|) sa pretínajú v bodoch E a F. Zdôvodnite, prečo je polpriamka FD osou uhla AFE.

B-II-3
Nájdite všetky prirodzené čísla n, ktoré majú práve šesť deliteľov, pričom súčet druhého najväčšieho a druhého najmenšieho z nich je 54.

B-II-4
Dané je prirodzené číslo k, 4 ≤ k ≤ 900. Adam a Braňo hrajú hru: Adam napíše na tabuľu k rôznych trojciferných čísel, Braňo si z nich vyberie štyri rôzne. Ak rozdiel medzi dvoma najmenšími aj rozdiel medzi dvoma najväčšími vybranými číslami je nanajvýš 22, vyhráva Braňo, inak vyhráva Adam. V závislosti od hodnoty k určte, kto má vyhrávajúcu stratégiu.

A-I-1
V každej zo štyroch miestností je niekoľko predmetov. Nech n≥2 je prirodzené číslo. Jednu n-tinu predmetov z prvej miestnosti prenesieme do druhej miestnosti. Následne jednu n-tinu (z nového počtu) predmetov prenesieme z druhej miestnosti do tretej. Podobne potom z tretej miestnosti do štvrtej a zo štvrtej do prvej. (Vždy pritom prenášame celé predmety.) Ak viete, že na konci bol v každej miestnosti rovnaký počet predmetov, určte, koľko najmenej predmetov mohlo byť na začiatku v druhej miestnosti. Pre ktoré n sa tak môže stať?

A-I-2
Nájdite najmenšie reálne číslo m, pre ktoré možno nájsť reálne čísla a, b tak, aby nerovnosť

platila pre každé x∈〈0, 2〉.

A-I-3
Daný je pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB a dlhšou odvesnou BC. Nech D je päta výšky z vrcholu C. Kružnica k so stredom D a polomerom CD pretína odvesnu BC v bode Q a ďalej priamku AB v bodoch E a F (E ≠ F ), pričom F je bodom prepony AB . Úsečka QE pretína odvesnu AC v bode P. Dokážte, že |PE|=|QF|.

A-I-4
Nela s Janou zvolia prirodzené číslo k a následne hrajú hru s tabuľkou majúcou rozmery 9 × 9. Začínajúca Nela vždy vo svojom ťahu vyberie jedno prázdne políčko a vpíše doňho nulu. Jana vo svojom ťahu do nejakého prázdneho políčka napíše jednotku. Navyše po každom ťahu Nely nasleduje k ťahov Jany. Ak sa kedykoľvek počas hry stane, že súčet čísel v každom riadku aj v každom stĺpci je nepárny, vyhrá Jana. Ak dievčatá vyplnia celú tabuľku bez toho, aby sa tak stalo, vyhrá Nela. Nájdite najmenšiu hodnotu k, pre ktorú má Jana vyhrávajúcu stratégiu.

A-I-5
Daný je trojuholník ABC s najkratšou stranou BC. Na stranách AB, AC a na polpriamkach opačných k polpriamkam BC, CB zvoľme postupne body X, Y, K, L tak, aby platilo |BX|=|BK|=|BC|=|CY|=|CL|. Priamky KX a LY sa pretínajú v bode M. Dokážte, že ťažisko trojuholníka KLM je totožné so stredom kružnice vpísanej do trojuholníka ABC.

A-I-6
Na tabuli je napísaný súčin

Pre ktoré prirodzené čísla n ≥ 2 je možné za niektoré z činiteľov dopísať výkričník a nahradiť ich tak ich faktoriálmi, aby výsledný súčin bol rovný druhej mocnine prirodzeného čísla?

A-S-1
Prvočíslo nazveme pekné, ak sa dá zapísať ako rozdiel dvoch tretích mocnín prirodzených čísel. Určte posledné cifry všetkých pekných prvočísel.

A-S-2
Kladné reálne čísla a, b, c, d spĺňajú rovnosti

Dokážte nerovnosť ab ≥ 4 a nájdite najmenšiu možnú hodnotu výrazu ab + cd.

A-S-3
Daný je lichobežník ABCD (AB ║ CD), v ktorom platí |BC|=|AB|+|CD|. Dokážte, že

     a) na ramene AD leží nejaký bod kružnice majúcej priemer BC,

     b) na ramene BC leží nejaký bod kružnice majúcej priemer AD.

A-II-1
Na tabuli sú napísané rôzne kladné celé čísla. Ich aritmetický priemer je desatinné číslo, ktorého desatinná časť je presne 0,2016. Akú najmenšiu hodnotu môže tento priemer mať?

A-II-2
Daný je štvorec ABCD so stranou dĺžky 1. Na jeho strane CD zvolíme bod E tak, aby platilo |∠BAE|= 60°. Ďalej zvoľme ľubovoľný vnútorný bod úsečky AE a označme ho X. Bodom X potom veďme kolmicu na priamku BX a jej priesečník s priamkou BC označme Y. Aká je najmenšia možná dĺžka úsečky BY?

A-II-3
Koľkými spôsobmi sa dá rozdeliť množina {1,2, …, 12} na šesť disjunktných dvojprvkových podmnožín takých, že každá z nich obsahuje navzájom nesúdeliteľné čísla (teda také, ktoré nemajú spoločného deliteľa väčšieho ako 1)?

A-II-4
Určte najmenšie reálne číslo m, pre ktoré možno nájsť reálne čísla a a b tak, aby nerovnosť

platila pre každé x ∈ 〈-1, 1〉.