60. ročník matematickej olympiády 2010-2011

C	B	A
domáce kolo	domáce kolo	domáce kolo
školské kolo	školské kolo	školské kolo
krajské kolo	krajské kolo	krajské kolo
		celoštátne kolo

C-I-1
Lucia napísala na tabuľu dve nenulové čísla. Potom medzi ne postupne vkladala znamienka plus, mínus, krát, delené a všetky príklady správne vypočítala. Medzi výsledkami boli len dve rôzne hodnoty. Aké dve čísla mohla Lucia na tabuľu napísať?

C-I-2
Dokážte, že výrazy 23x + y, 19x + 3y sú deliteľné číslom 50 pre tie isté dvojice prirodzených čísel x, y.

C-I-3
Máme štvorec ABCD so stranou dĺžky 1 cm. Body K a L sú stredy strán DA a DC. Bod P leží na strane AB tak, že |BP| = 2.|AP|. Bod Q leží na strane BC tak, že |CQ| = 2.|BQ|. Úsečky KQ a PL sa pretínajú v bode X. Obsahy štvoruholníkov APXK, BQXP, QCLX a LDKX označíme postupne S_A, S_B, S_C a S_D (obrázok).

a) Dokážte, že S_B = S_D.

b) Vypočítajte rozdiel S_C = S_A.

c) Vysvetlite, prečo neplatí S_A + S_C = S_B + S_D.

C-I-4
V skupine n žiakov sa spolu niektorí kamarátia. Vieme, že každý má medzi ostatnými aspoň štyroch kamarátov. Učiteľka chce žiakov rozdeliť do dvoch najviac štvorčlenných skupín tak, aby každý mal v svojej skupine aspoň jedného kamaráta.

a) Ukážte, že v prípade n = 7 je možné žiakov požadovaným spôsobom rozdeliť.

b) Zistite, či je možné žiakov takto rozdeliť i v prípade n = 8.

C-I-5
Dokážte, že najmenší spoločný násobok [a, b] a najväčší spoločný deliteľ (a, b) ľubovoľných dvoch kladných celých čísel a, b vyhovujú nerovnosti a.(a, b) + b.[a, b] ≥ 2ab. Zistite, kedy v tejto nerovnosti nastane rovnosť.

C-I-6
Je daný lichobežník ABCD. Stred základne AB označme P. Uvažujme rovnobežku so základňou AB, ktorá pretína úsečky AD, PD, PC, BC postupne v bodoch K, L, M, N.

a) Dokážte, že |KL| = |MN|.

b) Určte polohu priamky KL tak, aby platilo |KL| = |LM|.

C-S-1
Po okruhu behajú dvaja atléti, každý inou konštantnou rýchlosťou. Keď bežia opačnými smermi, stretávajú sa každých 10 minút, keď bežia rovnakým smerom, stretávajú sa každých 40 minút. Za aký čas zabehne okruh rýchlejší atlét ?

C-S-2
Daný je štvorec so stranou dĺžky 6 cm. Nájdite množinu stredov všetkých priečok štvorca, ktorého delia na dva štvoruholníky, z ktorých jeden má obsah 12 cm².

(Priečka štvorca je úsečka, ktorej krajné body ležia na stranách štvorca.)

C-S-3
Nech x, y sú také kladné celé čísla, že obe čísla 3x + 5y a 5x + 2y sú deliteľné číslom 60.

Zdôvodnite, prečo číslo 60 delí aj súčet 2x + 3y.

C-II-1
Na tabuli sú napísané práve tri (nie nutne rôzne) reálne čísla. Vieme, že súčet ľubovoľných dvoch z nich je tam napísaný tiež. Určte všetky trojice takých čísel.

C-II-2
Nájdite všetky kladné celé čísla n, pre ktoré je číslo n²+6n druhou mocninou celého čísla.

C-II-3
V lichobežníku ABCD má základňa AB dĺžku 18cm a základňa CD dĺžku 6cm. Pre bod E strany AB platí 2|AE| = |EB|. Body K, L, M, ktoré sú postupne ťažiskami trojuholníkov ADE, CDE, BCE, tvoria vrcholy rovnostranného trojuholníka.

a) Dokážte, že priamky KM a CM zvierajú pravý uhol.

b) Vypočítajte dĺžky ramien lichobežníka ABCD.

C-II-4
Nech x, y, z sú kladné reálne čísla. Ukážte, že aspoň jedno z čísel x + y + z – xyz a xy + yz + zx – 3 je nezáporné.

B-I-1
V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc

B-I-2
Uvažujme vnútorný bod P daného obdĺžnika ABCD a označme postupne Q, R obrazy bodu P v súmernostiach podľa stredov A, C. Predpokladajme, že priamka QR pretne strany AB a BC vo vnútorných bodoch M a N. Zostrojte množinu všetkých bodov P, pre ktoré platí |MN| = |AB|.

B-I-3
Nech a, b, c sú reálne čísla, ktorých súčet je 6. Dokážte, že aspoň jedno z čísel ab + bc, bc + ca, ca + ab nie je väčšie ako 8.

B-I-4
Nájdite všetky celé čísla n, pre ktoré má zlomok  celočíselnú hodnotu.

B-I-5
Zaoberajme sa otázkou, ktoré trojuholníky ABC s ostrými uhlami pri vrcholoch A a B majú nasledovnú vlastnosť:

Ak vedieme stredom výšky z vrcholu C tri priamky rovnobežné so stranami trojuholníka ABC, pretnú ich tieto priamky v šiestich bodoch ležiacich na jednej kružnici.

a) Ukážte, že vyhovuje každý trojuholník s pravým uhlom pri vrchole C.

b) Vysvetlite, prečo žiadny iný trojuholník ABC nevyhovuje.

B-I-6
Určte počet desaťciferných čísel, v ktorých je možné vyškrtnúť dve susedné číslice a dostať tak číslo 99-krát menšie.

B-S-1
V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu

s neznámou x a reálnym parametrom p.

B-S-2

Pozdĺž kružnice je rozmiestnených 16 reálnych čísel so súčtom 7.

a) Dokážte, že existuje úsek piatich susedných čísel so súčtom aspoň 2.

b) Určte najmenšie k také, že v opísanej situácii možno vždy nájsť úsek k susedných čísel so súčtom aspoň 3.

B-S-3
Zvonka daného trojuholníka ABC sú zostrojené štvorce ACDE, BCGF. Dokážte, že |AG| = |BD|. Ďalej ukážte, že stredy oboch štvorcov spolu so stredmi úsečiek AB a DG sú vrcholmi štvorca.

B-II-1
Súčin kladných reálnych čísel a, b, c je 60 a ich súčet je 15. Dokážte nerovnosť

(a + b)(a + c) ≥ 60

a zistite, pre ktoré také čísla a, b, c nastane rovnosť.

B-II-2
Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel a, b, pre ktoré číslo b je deliteľné číslom a a súčasne číslo 3a+4 je deliteľné číslom b+1.

B-II-3
Nech M, N súpostupne vnútorné body strán AB, BC rovnostranného trojuholníka ABC, pre ktoré platí |AM| : |MB| = |BN| : |NC| = 2 : 1. Označme P priesečník priamok AN a CM. Dokážte, že priamky BP a AN sú navzájom kolmé.

B-II-4
Zapíšeme všetky päťciferné čísla, v ktorých sa každá z cifier 4, 5, 6, 7, 8 vyskytuje práve raz. Potom jedno (ľubovoľné z nich) škrtneme a všetky zvyšné sčítame. Aké sú možné hodnoty ciferného súčtu takého výsledku?

A-I-1
Korene rovnice ax⁴ + bx² + a = 1 v obore reálnych čísel sú štyri po sebe idúce členy rastúcej aritmetickej postupnosti. Jeden z týchto členov je súčasne riešením rovnice bx² + ax + a = 1. Určte všetky možné hodnoty reálnych parametrov a, b.

A-I-2
Nech k, n sú prirodzené čísla. Z platnosti tvrdenia „číslo (n-1)(n+1) je deliteľné číslom k“ Adam usúdil, že práve jedno z čísel n-1, n+1 je deliteľné k. Určte všetky prirodzené čísla k, pre ktoré je Adamova úvaha správna pre každé prirodzené n.

A-I-3
Sú dané kružnice k, l, ktoré sa pretínajú v bodoch A, B. Označme postupne K, L dotykové body ich spoločnej dotyčnice zvolenej tak, že bod B je vnútorným bodom trojuholníka AKL. Na kružniciach k a l zvoľme postupne body N a M tak, aby bod A bol vnútorným bodom úsečky MN. Dokážte, že štvoruholník KLMN je tetivový práve vtedy, keď priamka MN je dotyčnicou kružnice opísanej trojuholníku AKL.

A-I-4
Máme 6n žetónov až na farbu zhodných, po tri z každej z 2n farieb. Pre každé prirodzené číslo n>1 určte počet p_n všetkých rozdelení týchto 6n žetónov na dve kôpky po 3n žetónoch, pri ktorých žiadne tri žetóny tej istej farby nie sú v tej istej kôpke. Dokážte, že číslo p_n je nepárne práve vtedy, keď n = 2^k pre vhodné prirodzené k.

A-I-5
Na každej stene kocky je napísané práve jedno celé číslo. V jednom kroku zvolíme ľubovoľné dve susedné steny kocky a čísla na nich napísané zväčšíme o 1. Určte nutnú a postačujúcu podmienku pre začiatočné očíslovanie stien kocky, aby po konečnom počte vhodných krokov boli na všetkých stenách rovnaké čísla.

A-I-6
Dokážte, že v každom trojuholníku ABC s ostrým uhlom pri vrchole C (pri zvyčajnom označení dĺžok strán a veľkostí vnútorných uhlov) platí nerovnosť (a² + b²)cos(α – β) ≤ 2ab. Zistite, kedy nastane rovnosť.

A-S-1
Určte všetky reálne čísla c, ktoré možno s oboma koreňmi kvadratickej rovnice

[pmath size=13]{x^2} + {5/2}x + c = 0[/pmath]

usporiadať do trojčlennej aritmetickej postupnosti.

A-S-2
Nech P, Q, R sú body prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC, pre ktoré platí |AP| = |PQ| = |QR| = |RB| = [pmath size=6]{1/4}[/pmath]|AB|. Dokážte, že priesečník M kružníc opísaných trojuholníkom APC a BRC, ktorý je rôzny od bodu C, je totožný so stredom S úsečky CQ.

A-S-3
Dokážte, že pre ľubovoľné dve rôzne prvočísla p, q väčšie ako 2 platí nerovnosť

A-II-1
Rozhodnite, či medzi všetkými osemcifernými násobkami čísla 4 je viac tých, ktoré vo svojom dekadickom zápise obsahujú cifru 1, alebo tých, ktoré cifru 1 neobsahujú.

A-II-2
Daný je trojuholník ABC s obsahom S. Vnútri trojuholníka, ktorého vrcholmi sú stredy strán trojuholníka ABC, je ľubovoľne zvolený bod O. Označme A´, B´, C´ postupne obrazy bodov A, B, C v stredovej súmernosti podľa bodu O. Dokážte, že šesťuholník AC´BA´CB´ má obsah 2S.

A-II-3
Určte všetky dvojice (m, n) kladných celých čísel, pre ktoré je číslo 4(mn + 1) deliteľné číslom (m + n)².

A-II-4
Nech M je množina šiestich navzájom rôznych kladných celých čísel, ktorých súčet je 60. Všetky ich napíšeme na steny kocky, na každú práve jedno z nich. V jednom kroku zvolíme ľubovoľné tri steny kocky, ktoré majú spoločný vrchol, a každé z čísel na týchto troch stenách zväčšíme o 1. Určte počet všetkých takých množín M, ktorých čísla možno napísať na steny kocky uvedeným spôsobom tak, že pokonečnom počte vhodných krokov budú na všetkých stenách rovnaké čísla.