75. ročník matematickej olympiády 2025-2026
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9

aktualizované 05.01.2026 14:30

Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
okresné	okresné	okresné	okresné	okresné
				krajské

Z5-I-1
Zvláštna kalkulačka má iba dve funkčné tlačidlá. Po stlačení prvého tlačidla sa k číslu na displeji pripočíta číslo 1, po stlačení druhého tlačidla sa číslo na displeji vynásobí číslom 2. Na displeji po každom stlačení tlačidla svieti správny výsledok.
Nájdite dva rôzne spôsoby, ako pomocou 6 stlačení tlačidiel dostať na displeji z čísla 1 číslo 15.

Z5-I-2
K zámku patrí park v tvare štvorca so stranou dĺžky 240 metrov. Náčrt parku je na obrázku. Po stranách štvorca vedú cesty, v jeho vrcholoch stoja agát, buk, céder a dub. Park križujú dva ďalšie chodníky rovnobežné so strana mi štvorcového parku – jeden vedie od javora k studničke, druhý vedie od lipy k orechu.

Princezná pri svojich prechádzkach parkom chodila len po cestách a chodníkoch, nikdy sa nevracala, ani zbytočne neodbočovala. Zistila, že:
• prechádzka od buka k studničke okolo javora, agáta, orecha a duba je dvakrát dlhšia ako okolo lipy a cédra,
• prechádzka od buka k studničke okolo lipy a cédra je rovnako dlhá ako prechádzka od duba k lipe okolo studničky a cédra.
Aká dlhá je priama cesta od agáta k orechu?

Z5-I-3
Danka a Janka každá pre seba nazbierali jahody. Keby mala Janka o polovicu viac jahôd, než nazbierala, mala by ich rovnako ako Danka. Keby mala Janka dvakrát viac jahôd, než nazbierala, mala by ich o 48 viac ako Danka.
Koľko jahôd nazbierala Janka a koľko Danka?

Z5-I-4
Anežka správne vynásobila určité prirodzené číslo číslom 7 a výsledné päťciferné číslo napísala na papier. Papagáj kus papiera vyďobal, a tak sa prvá cifra výsledku stala nečitateľnou. Na zvyšku papiera zostalo napísané 2887.
Aká mohla byť prvá cifra Anežkinho výsledku? Nájdite všetky možnosti.

Z5-I-5
Veky siedmich kamarátov sú 8, 9, 10, 11, 11, 13 a 14 rokov. Traja kamaráti sú práve v kine, dvaja sú na futbale a dvaja doma. Súčet vekov tých v kine je 30 rokov a súčet vekov tých na futbale je 24 rokov. Každý z kamarátov na futbale má viac rokov ako Ondrej, ktorý zostal doma.
Koľko rokov môže mať Ondrej? Nájdite všetky možnosti.

Z5-I-6
Štyri dievčatá dláždili štvorcovými dlaždicami terasu v rohu dvora. Viola používala dlaždice so stranou 1 dm, Ruženka so stranou 2 dm, Bianka so stranou 3 dm a Karmen so stranou 4 dm. Prvé z dievčat položilo jednu zo svojich dlaždíc do rohu. Druhé položilo svoje dlaždice pozdĺž voľných strán predchádzajúcej dlaždice a pridalo jednu navyše tak, aby vznikol štvorec (napríklad ako na obrázku).

Podobným spôsobom položilo svoje dlaždice tretie a nakoniec aj štvrté dievča. Takto pokryli štvorcovú terasu bez medzier a prekryvov.
V akom poradí mohli dievčatá klásť dlaždice a koľko dlaždíc celkovo použili? Nájdite všetky možnosti.

Z5-II-1
Na obrázku je trinásť geometrických útvarov, z ktorých niektoré sú rovnaké. Do každého útvaru vpíšte jedno z čísel 1, 2, …, 9 tak, aby v rovnakých útvaroch boli rovnaké čísla a v rôznych rôzne.
Aký najväčší a aký najmenší môže byť súčet čísel v útvaroch?

Z5-II-2
Vojtech a Pavol sa vážili spolu so svojím psom Brokom. Zistili, že Brok váži 13 kg, Pavol s Brokom vážia rovnako ako Vojtech a Vojtech spolu s Brokom váži dvakrát toľko ako Pavol.
Určte, koľko váži Vojtech a koľko Pavol.

Z5-II-3
V obdĺžniku s rozmermi 808 cm a 707 cm sú do protiľahlých rohov vložené dva štvorce so stranami dĺžok 505 cm a 404 cm. Každý zo štvorcov prilieha dvoma stranami k stranám obdĺžnika. Štvorce sa prekrývajú v obdĺžniku, ktorý je na obrázku vyznačený sivou farbou.
Vypočítajte dĺžky strán sivého obdĺžnika.

Z6-I-1
V nasledujúcom sčítacom algebrograme zodpovedajú rôzne písmená rôznym cifrám a rovnaké rovnakým:

T	O	N	A
	O	N	A
		N	A
			A
8	6	5	4

Z6-I-2
Od 1. januára bol pán Novák zamestnaný v novej firme, pričom nástupná výška jeho platu bola 1 550 eur mesačne.
Pretože sa osvedčil, od istého mesiaca v prvom polroku mu zvýšili plat o niekoľko celých eur. Takýto plat dostával mesačne už vo všetkých ďalších mesiacoch. Za celý rok si zarobil dokopy 20 000 eur.
Za ktorý mesiac mohol dostať prvýkrát zvýšený plat a o koľko eur? Nájdite všetky možnosti.

Z6-I-3
Obdĺžnik ABCD rozmerov 8 × 6 je pomocou vodorovných a zvislých čiar rozdelený na rovnaké štvorčeky a bod N leží v štvrtine jeho dlhšej strany AB bližšie k A, tak ako vidíme na obrázku.

Rozdeľte obdĺžnik ABCD tromi úsečkami so spoločným bodom N na štyri časti s rovnakými obsahmi.

Z6-I-4
Majme jedno trojciferné a jedno dvojciferné číslo. Trojciferné číslo zaokrúhlime na stovky a dvojciferné zaokrúhlime na desiatky. Rozdiel zaokrúhlených čísel je 500.
Aký najmenší a aký najväčší môže byť rozdiel pôvodných nezaokrúhlených čísel?

Z6-I-5
Peťo má ku každému dňu v týždni priradenú farbu: k pondelku modrú, k utorku zelenú, k strede bielu, k štvrtku červenú, k piatku oranžovú, k sobote sivú a k nedeli hnedú. V týchto farbách nosí aj ponožky, a to tak, že na pravej nohe má ponožku farby dňa, avšak na ľavej nohe nemá ponožku farby tohto dňa ani dňa nasledujúceho. (Napr. v sobotu má na pravej nohe sivú ponožku a na ľavej nemá sivú ani hnedú.)
Určte, ktorý je deň, ak mal Peťo na ľavej nohe predvčerom modrú ponožku, včera červenú a dnes má na nej hnedú.

Z6-I-6
Obdĺžnikový park má obvod 228 metrov. Vo vrcholoch obdĺžnika a na jeho stranách rástlo 38 okrasných kríkov tak, že vzdialenosti medzi každými dvoma susednými kríkmi boli rovnaké. Na dvoch protiľahlých stranách obdĺžnika zasadil záhradník medzi každé dva kríky jeden ďalší. Tým zvýšil počet kríkov po obvode parku na 60.
Určte rozmery parku.

Z6-II-1
V nasledujúcom sčítacom algebrograme nahraďte každú hviezdičku nejakou nenulovou cifrou, všetky písmená P tou istou párnou cifrou a všetky písmená N tou istou nepárnou cifrou tak, aby bol výpočet správny. Nájdite všetky riešenia.

	P	P	P
		N	N
			P
	*	*	3

Z6-II-2
Záhrada v tvare obdĺžnika je rozdelená na dve rovnaké obdĺžnikové časti. Obvod celej záhrady je 164 metrov a obvod každej z dvoch častí je 110 metrov.
Aké sú rozmery záhrady?

Z6-II-3
Snehulienka a sedem trpaslíkov stáli v rade za sebou tak, že:

• Snehulienka stála priamo medzi bradatým a oholeným trpaslíkom,
• práve jeden bradatý trpaslík mal za oboch susedov oholených trpaslíkov,
• práve jeden oholený trpaslík mal za oboch susedov bradatých trpaslíkov,
• práve jeden bradatý trpaslík mal za oboch susedov bradatých trpaslíkov,
• žiadni dvaja oholení trpaslíci spolu nesusedili.

Nájdite všetky miesta v rade, kde mohla stáť Snehulienka, a pre každú možnosť napíšte aspoň jedno zodpovedajúce poradie Snehulienky a bradatých a oholených trpaslíkov. Vysvetlite, prečo na ostatných miestach Snehulienka stáť nemohla.

Z7-I-1
Koľko štvorciferných čísel má tú vlastnosť, že ich tretina, polovica, dvojnásobok a trojnásobok sú tiež štvorciferné čísla?

Z7-I-2
V pravidelnom šesťuholníku ABCDEF je bod G stred uhlopriečky AE.
Určte pomer obsahov trojuholníka ADG a šesťuholníka ABCDEF.

Z7-I-3
Páni Komický, Elegantný a Vážny sa poznajú z golfu. Jeden sa volá Karol, jeden Erik a jeden Viktor. Jeden nosí kravatu krémovej farby, jeden ebenovej farby a jeden vínovej farby.

• Výherca posledného zápasu nosí kravatu ebenovej farby.
• Pán Elegantný nebol nikdy na návšteve u pána Komického.
• Viktor nosí krémovú kravatu.
• Pánovi Komickému pripadá vtipné, že nikdy nevyhral.
• Karol bol po poslednom stretnutí na návšteve u pána Komického.
• Pán Vážny nosí kravatu vínovej farby.

Zistite, aké je vlastné meno každého z pánov a kto nosí akú kravatu.

Z7-I-4
Adela, Beáta, Sárka a Julka si natrhali čerešne. Beáta ich mala 5-krát viac ako Adela, Sárka mala o 15 čerešní viac ako Beáta, Julka mala o 200 viac ako Adela.
Najmenej o koľko sa mohli líšiť počty čerešní Sárky a Julky? A koľko čerešní by v takom prípade malo každé z dievčat?

Z7-I-5
Václav mal niekoľko bielych kociek. Na každej kocke zafarbil tri rôzne steny troma rôznymi farbami, a to červenou, zelenou a modrou. Potom roztriedil kocky do skupín podľa typu zafarbenia tak, že do každej skupiny dal všetky kocky, ktoré vyzerali po vhodnom otočení rovnako.
Najviac koľko skupín mohol Václav vytvoriť?

Z7-I-6
Pre štvoruholník ABCD platí:

• strana AD a uhlopriečka BD sú rovnako dlhé,
• uhlopriečka BD a strana DC sú kolmé,
• strany AB a BC sú kolmé,
• os uhla BDC a strana AD sú kolmé.

Určte veľkosť uhla BCD.

Z7-II-1
V tejto dvojici úloh na odčítanie desatinných čísel zodpovedajú rôzne písmená rôznym cifrám, rovnaké rovnakým.

Nahraďte písmená ciframi tak, aby boli oba výpočty správne.

Z7-II-2
Mnohouholník na obrázku je zložený z 11 zhodných neprekrývajúcich sa pravouhlých trojuholníkov. Kratšie strany trojuholníkov majú dĺžku 10 cm a 24 cm.
Vypočítajte obvod mnohouholníka.

Z7-II-3
Ráno pred otvorením mali v obchode niekoľko horkých čokolád a dvakrát toľko mliečnych čokolád. Počas dňa predali z každého druhu aspoň jednu čokoládu, dokopy 111 kusov, ale nepredali všetky čokolády. Pri večernej uzávierke boli počty horkých a mliečnych čokolád rovnaké.
Aký najväčší a aký najmenší mohol byť počet mliečnych čokolád pred otvorením obchodu?

Z8-I-1
Nájdite všetky trojice navzájom rôznych prvočísel (p, q, r), pre ktoré platí

Z8-I-2
Pre rovnobežníky ABCD a KLMN platí:

• bod K je stred úsečky CD,
• bod K je priesečník priamky CD s osou úsečky BC,
• bod L je priesečník priamky AB s osou úsečky CD,
• bod N je priesečník priamky AB s osou úsečky BC,
• uhol BAD má veľkosť 60°.

Určte pomer obsahov rovnobežníkov ABCD a KLMN.

Z8-I-3
Tomáš zbiera pohľadnice z Islandu, Anglicka a Nórska. Z každej krajiny má aspoň jednu pohľadnicu, celkovo ich má 40. Pohľadníc z Anglicka má viac ako pohľadníc z Nórska. Pohľadníc z Islandu má viac ako 5 násobok a menej ako 6 násobok počtu pohľadníc z Anglicka.
Z ktorých krajín sú pohľadnice, ktorých počet v Tomášovej zbierke je možné určiť jednoznačne?

Z8-I-4
Žiaci získali v prvej písomke priemerne 84 bodov. Tí istí žiaci napísali druhú písomku s priemerným ziskom 70 bodov. Štyria z týchto žiakov mali v oboch písomkách po 63 bodov. Priemerný zisk ostatných žiakov v druhej písomke bol 72 bodov.
Určte priemerný počet bodov ostatných žiakov v prvej písomke.

Z8-I-5
Je daná kružnica k so stredom S a polomerom 6 cm a priamka p prechádzajúca bodom S. Zostrojte obdĺžnik ABCD tak, aby platilo:

• vrcholy A a B ležia na priamke p,
• kružnica k sa dotýka strany CD,
• kružnica k pretína stranu AD v bode K a stranu BC v bode L,
• |AK| = |CL| = 1,5 cm.

Z8-I-6
Jonáš a Michal zostavili každý svoj 8-boký ihlan s 9 rôznymi číslami na jeho rôznych stenách. Všetky čísla boli väčšie ako 10 a menšie ako 30. Pre každý vrchol ihlana platilo, že súčet čísel na všetkých stenách obsahujúcich tento vrchol bol násobkom čísla 4, pritom žiadne číslo násobkom čísla 4 nebolo. Jonáš tvrdil, že na dvoch stenách má čísla 14 a 15. Michal tvrdil, že na dvoch stenách má čísla 14 a 17.
Mohli obidvaja chlapci hovoriť pravdu?

Z8-II-1
Miro zabudol kód na otvorenie dverí, ale vie, že:

• kód je trojciferné číslo deliteľné 3,
• kód pozostáva z navzájom rôznych cifier od 1 do 9,
• súčet použitých cifier je menší ako 17,
• s číslom 419 nemá kód spoločnú žiadnu cifru,
• s číslom 761 má kód spoločnú jednu cifru, ale na inom mieste,
• s číslom 361 má kód spoločnú jednu cifru, ale na inom mieste.

Nájdite všetky kódy vyhovujúce uvedeným podmienkam.

Z8-II-2
Určte najväčšie trojciferné číslo také, že po pridaní niektorej rovnakej nenulovej cifry na jeho začiatok aj koniec vznikne päťciferné číslo, ktoré je 83-krát väčšie než pôvodné číslo.

Z8-II-3
Kosoštvorec ABCD má obsah 120 cm² a veľkosť uhla BAD je 70°. Body K, L, M sú postupne stredy strán AB, BC, CD.
Určte súčet obsahov trojuholníkov AKD a DLM.

Z9-I-1
V rohových políčkach tabuľky 3 × 3 sú napísané čísla tak, ako na obrázku:

3		6
12		15

Do prázdnych políčok doplňte nenulové prirodzené čísla tak, aby súčin čísel v každom riadku a každom stĺpci bol rovnaký. Nájdite všetky možnosti.

Z9-I-2
Útvar na obrázku je vytvorený z piatich zhodných azúrových kosoštvorcov a jedného žltého pravidelného päťuholníka, ktorý kosoštvorce čiastočne prekrýva. Kosoštvorce susedia celými stranami a na týchto stranách ležia vrcholy päťuholníka. Pomer dĺžky polomeru kružnice opísanej päťuholníku a dĺžky strany kosoštvorca je 4 ∶ 7.

Rozhodnite, či neprekrytá časť každého kosoštvorca má väčší, rovnaký alebo menší obsah ako päťuholník.

Z9-I-3
Na tabuli je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich prirodzených čísel počnúc číslom 1. Každé z týchto čísel má buď azúrovú, alebo žltú farbu. Súčet každých dvoch rôznofarebných čísel je prvočíslo, súčet každých dvoch čísel rovnakej farby je zložené číslo.
Najviac koľko čísel môže byť napísaných na tabuli?

Z9-I-4
Nenulové prirodzené číslo nazveme kvadrátové, ak jeho zápis obsahuje cifru alebo skupinu po sebe idúcich cifier, ktoré sú zápisom druhej mocniny nenulového prirodzeného čísla. (Napr. čísla 257 a 725 sú kvadrátové, čísla 275 a 572 nie.)
Určte počet všetkých dvojciferných kvadrátových čísel.

Z9-I-5
V lyžiarskom oddiele sa počet všetkých detí znížil o 10 %, pričom pomer dievčat voči všetkým deťom vzrástol z 50 % na 55 %.
O koľko percent sa zmenil počet dievčat?

Z9-I-6
Kružnice k a l sa dotýkajú zvonku, pričom polomer kružnice k je rovnaký ako priemer kružnice l. Bod S je stred kružnice k, bod T je bod dotyku kružníc, bod A leží na kružnici l mimo spojnice stredov kružníc a bod M je stred úsečky AS.
Dokážte, že uhol ATM je pravý.

Z9-II-1
Rodina dvoch dospelých s dvoma neplnoletými deťmi sa vydala na lyžovačku. V lyžiarskom areáli je cena skipasu pre dospelého vyjadrená v celých desiatkach eur, detský skipas je o 60 eur lacnejší. Areál ponúka dve zľavy. Prvá je zľava 10 % na skipas pre každého. Druhá zľava je rodinný lístok, v ktorom sú detské skipasy zlacnené o 20 % a skipasy pre dospelých sú za plnú cenu.
Rodina si najskôr chcela kúpiť všetky štyri lístky v 10 %-nej zľave. Nakoniec však pri kúpe skipasov mama využila 10 %-nú zľavu a otec si spoločne s deťmi kúpil rodinný lístok. Takto ich vyšli skipasy výhodnejšie. Najmenej koľko mohol stáť nezľavnený lístok pre dospelého?

Z9-II-2
Nájdite všetky štvorciferné prirodzené čísla s nasledujúcimi vlastnosťami:

• na mieste desiatok je cifra 5,
• po odstránení posledných dvoch cifier vznikne číslo, ktoré je 103-krát menšie.

Z9-II-3
Prirodzené číslo nazveme kockové, ak jeho zápis obsahuje cifru alebo skupinu po sebe nasledujúcich cifier, ktorá je zápisom tretej mocniny kladného celého čísla. (Napríklad čísla 279 a 729 sú kockové, ale čísla 297 a 792 nie.)
Určte počet všetkých trojciferných kockových čísel, ktoré sú tvorené iba párnymi ciframi.

Z9-II-4
V trojuholníku ABC je na strane AB bod D, na strane BC je bod E a bod F je priesečník úsečiek AE a CD. Obsahy trojuholníkov ADF, AFC a CFE sú postupne 35 cm², 70 cm² a 20 cm².
Určte obsahy trojuholníkov DEF a BED.

Z9-III-1
Prirodzené čı́slo nazveme vlnité, ak je zapı́sané práve dvoma rôznymi ciframi, ktoré sa striedajú. (Napr. čı́sla 4343 a 43434 sú vlnité, zatiaľ čo čı́sla 4334, 4433 a 43134 nie sú vlnité.)
Určte všetky dvojice päťciferných vlnitých čı́sel takých, že ich súčet je 64645, ich rozdiel je vlnité čı́slo a v zápisoch oboch čı́sel a ich rozdielu je použitých šesť navzájom rôznych cifier.

Z9-III-2
Je daný rovnobežnı́k ABCD a bod E tak, že platı́:

• dĺžka strany 𝐴𝐷 je 17 cm,
• bod 𝐸 je priesečnı́kom polpriamky 𝐶𝐵 a kolmice na priamku 𝐴𝐵 prechádzajúcej bodom 𝐷,
• dĺžka úsečky 𝐷𝐸 je 24 cm,
• obsahy rovnobežnı́ka 𝐴𝐵𝐶𝐷 a trojuholnı́ka 𝐴𝐵𝐸 sú rovnaké.

Vypočı́tajte dĺžku strany 𝐴𝐵.

Z9-III-3
Adrián, Karol a Emil majú dnes všetci traja narodeniny. Adrián je trikrát mladšı́ ako Karol a Karol je o desať rokov mladšı́ ako Emil. Keď bude mať Adrián toľko rokov, koľko má teraz Karol, bude jeden z tejto trojice dvakrát staršı́ ako iný z tejto trojice.
Koľko rokov mô žu mať Adrián, Karol a Emil? Nájdite všetky možnosti.

Z9-III-4
Je daný štvoruholnı́k ABCD, pričom bod D ležı́ na osi úsečky BC a vzdialenosť bodu A od priamky CD je rovnaká ako vzdialenosť bodu C od priamky AD.
Dokážte, že štvoruholnı́ku ABCD sa nedá opı́sať kružnica.

Uložiť

Uložiť