74. ročník matematickej olympiády 2024-2025
Súťažné úlohy kategórií Z5-Z9
aktualizované 11.9.2024 21:30
| Z5 | Z6 | Z7 | Z8 | Z9 |
| domáce | domáce | domáce | domáce | domáce |
| okresné | okresné | okresné | okresné | okresné |
| krajské | ||||
Z5-I-1
Čapkovci majú dvoch synov, Karola a o dva roky staršieho Petra. Nemcovci majú dcéru Boženu. Všetky tri deti majú narodeniny v ten istý deň a obe rodiny ich vtedy oslavujú spoločne. Pri tohtoročnej oslave bola Božena trikrát staršia ako Karol. O tri roky budú mať Karol a Peter spolu toľko rokov ako Božena.
Koľko rokov mali deti pri tohtoročnej oslave?
Z5-I-2
Na obrázku je sivý štvorec so stranou dĺžky 10 cm. Štvorec dopĺňajú štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky do tvaru hviezdy. Súčet obsahov týchto štyroch trojuholníkov je štvornásobkom obsahu štvorca.
Určte dĺžku druhej najdlhšej strany každého z týchto štyroch trojuholníkov.
Z5-I-3
V nasledujúcom výraze je päťkrát použité znamienko + a jeho hodnota 39 je násobkom 3:
Zmeňte dve zo znamienok „+“ na znamienka „−“ tak, aby hodnota nového výrazu bola opäť násobkom 3. Nájdite všetky možnosti.
Z5-I-4
Pinocchio tvrdí, že číslo dňa v dátume jeho narodenia možno bezo zvyšku deliť 3, 4, 5 a 6. Tri z týchto štyroch informáciı́ sú pravdivé, jedna je nepravdivá.
Koľký deň v mesiaci môže mať Pinocchio narodeniny? Nájdite všetky možnosti.
Z5-I-5
V sieti chodníkov vyznačených na obrázku má každý chodník medzi susednými križovatkami dĺžku 1 km.
Koľko ciest dlhých nanajvýš 3 km vedie po chodníkoch z miesta 𝐴 do miesta 𝐵?
Z5-I-6
Anička navlieka na niť bezprostredne za seba koráliky troch rôznych tvarov A, B, C. Postupuje tak, že tvary strieda stále v rovnakom poradí a postupne zvyšuje počty tvarov v skupinách, a to takto:
Korálik tvaru A zaberá 5 mm nite, korálik tvaru B 4 mm, korálik tvaru C 3 mm.
Koľko korálikov potrebuje Anička na výrobu náhrdelníka dlhého aspoň 50 cm?
|
|
 |
Z5-II-1
Z5-II-2
Z5-II-3
|
|
|
Z6-I-1
Z6-I-2
Z6-I-3
Z6-I-4
Z6-I-5
Z6-I-6
|
|
|
Z6-II-1
Z6-II-2
Z6-II-3
|
|
|
Z7-I-1
Z7-I-2
Z7-I-3
Z7-I-4
Z7-I-5
Z7-I-6
|
|
|
Z7-II-1
Z7-II-2
Z7-II-3
|
|
|
Z8-I-1
Z8-I-2
Z8-I-3
Z8-I-4
Z8-I-5
Z8-I-6
|
|
|
Z8-II-1
Z8-II-2
Z8-II-3
|
|
|
Z9-I-1
Nájdite všetky dvojice celých čísel (𝑥, 𝑦) také, že 𝑥 + 𝑦 je prvočíslo a 3𝑥 + 5𝑦 = 16.
Z9-I-2
Pravidelný štvorboký hranol má objem 864 cm3 a obsah jeho plášťa je dvojnásobkom obsahu jeho podstavy. Určte veľkosť jeho telesovej uhlopriečky.
Z9-I-3
Nájdite najväčšie možné 𝑛, pre ktoré je možné množinu {1, 2, … , 𝑛} rozdeliť do 5 neprázdnych podmnožín tak, aby čísla v každej podmnožine boli po dvoch nesúdeliteľné.
Z9-I-4
Rozhodnite, či je možné k číslu s ciferným súčtom 2024 pripočítať jednociferné číslo tak, aby výsledné číslo malo ciferný súčet 74.
Z9-I-5
Nech 𝐴𝐵𝐶 je trojuholník taký, že strana 𝐴𝐵 je dvakrát dlhšia ako strana 𝐴𝐶 a os uhla 𝐵𝐴𝐶 pretína stranu 𝐵𝐶 v bode 𝐷. Nech rovnobežka so stranou 𝐴𝐵 prechádzajúca bodom 𝐷 pretína stranu 𝐴𝐶 v bode 𝐸 a rovnobežka s úsečkou 𝐴𝐷 prechádzajúca bodom 𝐸 pretína stranu 𝐵𝐶 v bode 𝐹.
Určte pomer dĺžok úsečiek 𝐴𝐷 a 𝐸𝐹.
Z9-I-6
Plavci Pstruh a Kapor si chceli zmerať svoje sily. Z protiľahlých strán bazéna skočili súčasne do susedných dráh a plávali proti sebe, každý svojou konštantnou rýchlosťou. Prvýkrát sa plavci minuli vo vzdialenosti 8 metrov od Pstruhovej štartovacej strany, na konci dráhy sa rýchlo otočili a plávali naspäť. Druhýkrát sa plavci minuli vo vzdialenosti 5 metrov od Kaprovej štartovacej strany, doplávali na koniec dráhy, a tým sa preteky skončili.
Určte, kto vyhral a aká bola dĺžka bazéna.
|
|
|
Z9-II-1
Z9-II-2
Z9-II-3
Z9-II-4
|
|
|
Z9-III-1
Z9-III-2
Z9-III-3
(Karel Pazourek)
Z9-III-4
|
|
|