60. ročník matematickej olympiády 2010-2011

Z4	Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
domáce	domáce	domáce	domáce	domáce	domáce
školské	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné	obvodné
					krajské

Z4-I-1
Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Z4-I-2
Miško a Jarka sú súrodenci. Jarka má narodeniny niekedy v januári. O Miškovi vieme, že v roku 2010 bola od Jarkiných narodenín po Miškove narodeniny presne jedna sobota trinásteho. Zisti, v ktorom mesiaci sa narodil Miško. Nájdi všetky možnosti.

Z4-I-3
Koľko trojciferných čísiel má prvú číslicu trikrát väčšiu ako druhú a tretiu číslicu o 4 menšiu ako prvú? Vypíš všetky také čísla.

Z4-I-4
Jožkovi sa podarilo rozlámať čokoládu na takéto kúsky:

Dala by sa táto čokoláda bez ďalšieho lámania spravodlivo rozdeliť dvom kamarátom? Ako?
Dala by sa táto čokoláda spravodlivo rozdeliť bez ďalšieho lámania trom kamarátom? Ako?
Ak sa to dá, nájdi vždy aspoň jeden spôsob.

Z4-I-5
Na stôl do kuchyne položila mamička vylúskaný hrach v miske. Danka a Janka pochúťku objavili a začali hrášky z misky vyjedať. Dohodli sa, že Danka si bude z misky brať vždy 2 guľôčky hrachu. Janka si bude pravidelne brať 2, 4, 1 a 1 guľôčku hrachu a potom začne opäť od začiatku. Najskôr si vzala z misky Danka 2 hrášky, potom Janka 2, opäť Danka 2, Janka svoje 4, atď. Zrazu prišla do kuchyne ich mamička a prekvapene zhíkla: ”Veď v miske už zostala iba polovica hrachu!“ Dievčatá začali byť zvedavé a spočítali, že tam ostalo 45 guľôčok hrachu.
Ak sa mamička nemýlila a zvyšných 45 guľôčok bola naozaj polovica z toho, čo bolo v miske na začiatku, zjedli potom dievčatá rovnako alebo niektorá zjedla viac? Koľko hráškov zjedla Danka? A koľko ich zjedla Janka?

Z4-I-6
V našej bytovke je 10 bytov. Niektoré majú 4, niektoré 3 a niektoré 2 okná. Na našej bytovke je celkom 27 okien. Bytov s dvomi oknami je v bytovke najviac. Koľko je ktorých bytov?

Z4-II-1
Doplň do prázdnych políčok 8 za sebou idúcich jednociferných čísel každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Z4-II-2
Pred školou v Kocúrkove stáli bicykle a autá. Keby sa tu zastavilo ešte jedno auto, bolo by ich toľko ako bicyklov. Keby sa tu zastavilo ešte 5 bicyklov, mali by rovnako veľa kolies ako autá. Koľko stálo pred školou áut? Koľko tam stálo bicyklov?

Z4-II-3
Janko dostal na Vianoce knihu, ktorú hneď v ten deň začal čítať. V posledný januárový deň nového roka Janko zistil, že prečítal 60 strán, čo je polovica knihy a povedal si, že ak chce knihu celú dočítať do svojich narodenín, musí každý deň prečítať 5 strán. Kedy (presne ktorý deň a mesiac) má Janko narodeniny?

Z5-I-1
Vlado má napísané dve čísla, 541 a 293. Zo šiestich použitých cifer má najskôr vyškrtnúť dve tak, aby súčet dvoch takto získaných čísel bol najväčší možný. Potom má z pôvodných šiestich cifer vyškrtnúť dve tak, aby rozdiel dvoch takto získaných čísel bol najmenší možný (odčíta menšie číslo od väčšieho). Ktoré cifry má v jednotlivých prípadoch vyškrtnúť?

Z5-I-2
V Trpasličom kráľovstve merajú vzdialenosti v rozprávkových míľach (rm), v rozprávkových siahach (rs) a v rozprávkových lakťoch (rl). Na vstupnej bráne do Trpasličieho kráľovstva je nasledujúca tabuľka na prevody medzi ich jednotkami a našimi:
•  1 rm = 385 cm,
•  1 rs = 105 cm,
•  1 rl = 250 mm.
Kráľ Trpaslík I. nechal premerať vzdialenosť od zámockej brány k rozprávkovému jazierku. Traja pozvaní zememerači dospeli k týmto výsledkom: prvý nameral 4 rm 4 rs 18 rl, druhý 3 rm 2 rs 43 rl a tretí 6 rm 1 rs 1 rl. Jeden z nich sa však pomýlil. Aká je vzdialenosť v centimetroch od zámockej brány k rozprávkovému jazierku? O koľko centimetrov sa pomýlil nepresný zememerač?

Z5-I-3
Štyria kamaráti Adam, Mojmír a dvojčatá Peter a Pavol získali na hodinách matematiky celkom 52 smajlíkov, každý aspoň 1. Pritom dvojčatá dokopy majú 33, ale najúspešnejší bol Mojmír. Koľko ich získal Adam?

Z5-I-4
Pán Tik a pán Tak predávali budíky v predajniach „Pred Rohom“ a „Za Rohom“. Pán Tik tvrdil, že „Pred Rohom“ predali o 30 budíkov viac ako „Za Rohom“, zatiaľ čo pán Tak tvrdil, že „Pred Rohom“ predali trikrát viac budíkov ako „Za Rohom“. Nakoniec sa ukázalo, že Tik aj Tak mali pravdu. Koľko budíkov predali v oboch predajniach celkom?

Z5-I-5
Do krúžkov na obrázku doplňte čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7 tak, aby súčet čísel na každej vyznačenej línii bol rovnaký. Žiadne číslo pritom nesmie byť použité viackrát.

Z5-I-6
Pani Šikovná čakala večer hostí. Najskôr pre nich pripravila 25 chlebíčkov. Potom spočítala, že by si každý hosť mohol zobrať dva, ale po troch by už na všetkých nevyšlo. Povedala si, že keby vyrobila ešte 10 chlebíčkov, mohol by si každý hosť vziať tri, ale štyri nie každý. To sa jej zdalo stále málo. Na koniec prichystala dokopy 52 chlebíčkov. Každý hosť by si teda mohol vziať štyri chlebíčky, ale po päť by už všetkých nevyšlo. Koľko hostí pani Šikovná čakala? Ona sama drží diétu a večer nikdy neje.

Z5-II-1
Miro napísal do radu všetky násobky čísla sedem počnúc 7 a končiac 70. Medzi číslami nepísal čiarky ani medzery a čísla napísal od najmenšieho po najväčšie. V tomto rade čísel potom škrtol jedenásť cifier. Zistite, aké najväčšie a aké najmenšie číslo mohol dostať.

Z5-II-2
Rytier Miloslav sa chystal na turnaj do Veselína. Turnaj sa konal v stredu. Keďže cesta z Rytierova, kde býva, do Veselína trvá až dva dni, vyrazil už v pondelok. Cesta vedie cez ďalšie dve mestá, Kostín a Zubín. Prvý deň jazdy prešiel Miloslav 25míľ a prenocoval v Zubíne. Druhý deň, v utorok, šťastne došiel do Veselína. Turnaj s prehľadom vyhral, takže keď sa vo štvrtok vracal späť, išiel rýchlejšie. Prešiel o 6 míľ viac ako v pondelok a prenocoval v Kostíne. V piatok prešiel zvyšných 11 míľ a bol doma. Zisti vzdialenosť medzi Zubínom a Veselínom.

Z5-II-3
Správca kúpeľov pán Slniečko kúpil pre kúpeľných hostí 58 slnečníkov. Niektoré boli červené a niektoré žlté. Červené boli balené v krabiciach po deviatich kusoch. Žlté boli balené v krabiciach po štyroch kusoch. Oba druhy slnečníkov nakupoval po celých baleniach. Koľko mohlo byť žltých slnečníkov?

Z6-I-1

Keď Bernard natieral dvere garáže, pretrel omylom aj stupnicu nástenného vonkajšieho teplomera. Trubička s ortuťou však zostala nepoškodená, a tak Bernard pôvodnú stupnicu prelepil pásikom vlastnej výroby. Na nej starostlivo narysoval dieliky, všetky boli rovnako veľké a označené číslami. Jeho dielik mal však inú veľkosť ako pôvodný dielik, ktorý predstavoval jeden stupeň Celzia, a aj nulu Bernard umiestnil inde, ako bolo 0°C. Takto začal Bernard merať teplotu vo vlastných jednotkách: bernardoch. Keď by mal teplomer ukazovať teplotu 18°C, ukazoval 23 bernardov. Keď by mal ukazovať 9°C, ukazoval 8 bernardov. Aká je teplota v °C, ak vidí Bernard na svojom teplomere teplotu 13 bernardov?

Z6-I-2

Firma vyrábajúca mikrovlnné rúry predávala na trhu vždy po krátkej prezentácii svoje modely. Vo štvrtok predala osem rovnakých mikrovlniek. Deň nato už ponúkala aj svoj nový model a ľudia si tak mohli kúpiť ten istý ako vo štvrtok alebo nový. V sobotu chceli všetci záujemcovia nový model a firma ich predala v ten deň šesť. V jednotlivých dňoch utŕžila 590€, 720€ a 840€, neprezradíme však, ktorá suma patrí ku ktorému dňu.
•  Koľko stál starší model mikrovlnky?
•  Koľko nových modelov predala firma v piatok?
Poznámka: Cena každej mikrovlnky bola v celých eurách.

Z6-I-3
Vojto napísal číslo 2010 stokrát bez medzier za sebou. Koľko štvorciferných a koľko päťciferných súmerných čísel bolo skrytých v tomto zápise?
(Súmerné číslo je také číslo, ktoré je rovnaké, či ho čítame spredu alebo zozadu, napr. 39193.)

Z6-I-4
Súčin vekov deda Vendelína a jeho vnúčat je 2010. Súčet vekov všetkých vnúčat je 12 a žiadne dve vnúčatá nemajú rovnako veľa rokov. Koľko vnúčat má dedo Vendelín?

Z6-I-5
Na tábore sa dvaja vedúci s dvoma táborníkmi a psom potrebovali dostať cez rieku a k dispozícii mali iba jednu loďku s nosnosťou 65 kg. Našťastie všetci (okrem psa) dokázali loďku cez rieku priviezť. Každý vedúci vážil približne 60 kg, každý táborník 30 kg a pes 12 kg. Ako si mali počínať? Koľkokrát najmenej musela loďka prekonať rieku?

Z6-I-6
Karol obstaval krabicu s obdĺžnikovým dnom obrubou z kocôčok. Použil práve 22 kocôčok s hranou 1 dm, ktoré staval tesne vedľa seba v jednej vrstve. Medzi obrubou a stenami krabice nebola medzera a celá táto stavba mala obdĺžnikový pôdorys. Aké rozmery mohlo mať dno krabice?

Z6-II-1
Pani Hundravá mala 1.júla 2010 na svojom mobile kredit 3,14€. Z kreditu sa postupne odpočítavajú čiastky za hovory a to tak, že za každú začatú minútu sa odčíta 9 centov. Textové správy pani Hundravá nepíše a nevyužíva ani žiadne ďalšie platené služby. Svoj kredit dobíja podľa potreby a to vždy sumou 8€. Dňa 31.decembra 2010 bol jej kredit 7,06€. Koľkokrát minimálne dobíjala pani Hundravá za uvedený polrok svojkredit?

Z6-II-2
V obdĺžniku KLMN je vzdialenosť priesečníka jeho uhlopriečok od priamky KL o 2 cm menšia ako jeho vzdialenosť od priamky LM. Obvod obdĺžnika je 56 cm. Aký je obsah obdĺžnika KLMN?

Z6-II-3
V lete sa u babičky stretlo všetkých jej šesť vnúčat. O vnúčatách nám babička prezradila, že

• Martinka sa niekedy musí starať o bračeka Tomáška, ktorý je o 8 rokov mladší,
• Vierka, ktorá je o 7 rokov staršia ako Ivana, rada rozpráva strašidelné príbehy,
• s Martinkou sa často hašterí o rok mladší Jaromír,
• Tomáško je o 11 rokov mladší ako Katka,
• Ivana často hnevá svojho o 4 roky staršieho brata Jaromíra,
• chlapci majú dokopy 13 rokov.

Koľko rokov majú jednotlivé deti?

Z7-I-1
Súčin cifier ľubovoľného viacciferného čísla je vždy menší ako toto číslo. Ak počítame súčin cifier daného čísla, potom súčin cifier tohto súčinu, potom znova súčin cifier nového súčinu atď., nutne po nejakom počte krokov dospejeme k jednocifernému číslu. Tento počet krokov nazývame perzistencia čísla. Napr. číslo 723 má perzistenciu 2, lebo 7 · 2 · 3 = 42 (1. krok) a 4 · 2 = 8 (2. krok).
•  Nájdite najväčšie nepárne číslo, ktoré má navzájom rôzne cifry a perzistenciu 1.
•  Nájdite najväčšie párne číslo, ktoré má navzájom rôzne nenulové cifry a perzistenciu 1.
•  Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré má perzistenciu 3.

Z7-I-2
Ondro na výlete utratil 2/3 peňazí a zo zvyšku dal ešte 2/3 na školu pre deti z Tibetu. Za 2/3 nového zvyšku kúpil malý darček pre mamičku. Z deravéh ovrecka stratil 4/5 zvyšných peňazí, a keď zo zvyšných dal polovicu malej sestričke, ostalo mu práve jedno euro. S akou sumou išiel Ondro na výlet?

Z7-I-3
Silvia prehlásila:
„Sme tri sestry, ja som najmladšia, Lívia je staršia o tri roky a Edita o osem. Naša mamka rada počuje, že všetky (aj s ňou) máme v priemere 21 rokov. Pritom keď som sa narodila, mala mamka už 29.“
Pred koľkými rokmi sa Silvia narodila?

Z7-I-4
Juro mal napísané štvorciferné číslo. Toto číslo zaokrúhlil na desiatky, na stovky a na tisícky a všetky tri výsledky zapísal pod pôvodné číslo. Všetky štyri čísla správne sčítal a dostal 5 443. Ktoré číslo mal Juro napísané?

Z7-I-5
Laco narysoval kružnicu so stredom S a body A, B, C, D, ako ukazuje obrázok. Zistil, že úsečky SC a BD sú rovnako dlhé. V akom pomere sú veľkosti uhlov ASC a SCD?

Z7-I-6
Nájdite všetky trojciferné prirodzené čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné číslom 6 a v ktorých môžeme vyškrtnúť ktorúkoľvek cifru a vždy dostaneme dvojciferné prirodzené číslo, ktoré je tiež bezo zvyšku deliteľné číslom 6.

Z7-II-1
Mám kartičku, na ktorej je napísané štvorciferné prirodzené číslo. V tomto čísle môžeme vyškrtnúť akékoľvek dve cifry a vždy dostaneme dvojciferné prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 5. Koľko takých štvorciferných prirodzených čísel existuje?
(Pozor, napr. 06 nie je dvojciferné číslo!)

Z7-II-2
Karol a Vojto zistili, že kuchynské hodiny na chalupe každú hodinu nadbehnú o 1,5 minúty a hodiny v spálni každú hodinu pol minúty meškajú. Druhého apríla na pravé poludnie nastavili hodiny na rovnaký a správny čas. Urči, kedy opäť budú (bez ďalšieho opravovania)

•  kuchynské hodiny ukazovať správny čas;
•  hodiny v spálni ukazovať správny čas;
•  oboje hodiny ukazovať rovnaký (aj keď nie nutne správny) čas.

(Hodiny v kuchyni aj v spálni majú dvanásť hodinový ciferník.)

Z7-II-3
V trojuholníku ABC označíme stredy strán CB a CA písmenami K a L. Vieme, že štvoruholník ABKL má obvod 10 cm a trojuholník KLC má obvod 6 cm. Vypočítaj dĺžku úsečky KL.

Z8-I-1
Martin má na papieri napísané päťciferné číslo s piatimi rôznymi ciframi a nasledujúcimi vlastnosťami:
•  škrtnutím druhej cifry zľava (t.j. cifry na mieste tisícok) dostane číslo, ktoré je deliteľné dvoma,
•  škrtnutím tretej cifry zľava dostane číslo, ktoré je deliteľné tromi,
•  škrtnutím štvrtej cifry zľava dostane číslo, ktoré je deliteľné štyrmi,
•  škrtnutím piatej cifry zľava dostane číslo, ktoré je deliteľné piatimi,
•  ak neškrtne žiadnu cifru, má číslo deliteľné šiestimi.
Ktoré najväčšie číslo môže mať Martin napísané na papieri?

Z8-I-2
Karol sa snažil do prázdnych políčok na obrázku vpísať prirodzené čísla od 1 do 14 tak, aby žiadne číslo nebolo použité viackrát a súčet všetkých čísel na každej priamej línii bol rovnaký. Po chvíli si uvedomil, že to nie je možné. Ako by ste Karolovo pozorovanie zdôvodnili vy?
(Pod priamou líniou rozumieme skupinu všetkých susediacich políčok, ktorých stredy ležia na jednej priamke.)

Z8-I-3
Cena encyklopédie „Hádanky, rébusy a hlavolamy“ bola znížená o 62,5%. Matej zistil, že obe ceny (pred znížením aj po ňom) sú dvojciferné čísla a dajú sa vyjadriť rovnakými ciframi, len v rôznom poradí. O koľko € bola encyklopédia zlacnená?

Z8-I-4
Rozdeľte kocku s hranou 8 cm na menšie zhodné kocôčky tak, aby súčet ich povrchov bol päťkrát väčší ako povrch pôvodnej kocky. Aký bude objem malej kocôčky a koľko centimetrov bude merať jej hrana?

Z8-I-5
Klára, Lenka a Matej si precvičovali písomné delenie so zvyškom. Ako delenca mal každý zadané iné prirodzené číslo, ako deliteľa však mali všetci rovnaké prirodzené číslo. Lenkin delenec bol o 30 väčší ako Klárin. Matejov delenec bol o 50 väčší ako Lenkin. Kláre vyšiel vo výsledku zvyšok 8, Lenke zvyšok 2 a Matejovi zvyšok 4. Všetci počítali bez chyby. Aký deliteľ mali žiaci zadaný?

Z8-I-6
V rovnoramennom lichobežníku ABCD sú uhlopriečky AC a DB na seba kolmé, ich dĺžka je 8 cm a dĺžka najdlhšej strany AB je tiež 8 cm. Vypočítajte obsah tohto lichobežníka.

Z8-II-1
Myslím si dvojciferné prirodzené číslo. Súčet ci fier tohto čísla je deliteľný tromi. Keď odčítam od mysleného čísla číslo 27, dostanem iné dvojciferné prirodzené číslo, zapísané pomocou tých istých cifier, ale v opačnom poradí. Aké čísla si môžem myslieť?

Z8-II-2
Martina si vymyslela postup na výrobu číselnej postupnosti. Začala číslom 52. Z neho odvodila ďalší člen postupnosti takto: 2² +2.5=4+10=14. Potom pokračovala rovnakým spôsobom ďalej a z čísla 14 dostala 4²+2.1=16+2=18. Vždy teda vezme číslo, odtrhne z neho cifru na mieste jednotiek, túto odtrhnutú cifru umocní na druhú a  k výslednej mocnine pripočíta dvojnásobok čísla, ktoré ostalo po odtrhnutí poslednej cifry. Aké je 2011. číslo takto vytvorenej postupnosti?

Z8-II-3
V kružnici k so stredom S a polomerom 52 mm sú dané dve na seba kolmé tetivy AB a CD. Ich priesečník X je od stredu S vzdialený 25 mm. Aká dlhá je tetiva CD, ak dĺžka tetivy AB je 96 mm?

Z9-I-1
Pán Vlk čakal na zastávke pred školou na autobus. Z okna počul slová učiteľa:
„Aký povrch môže mať pravidelný štvorboký hranol, ak viete, že dĺžky všetkých jeho hrán sú v centimetroch vyjadrené celými číslami a že jeho objem je …“
Toto dôležité číslo pán Vlk nepočul, pretože práve prešlo okolo auto. Za chvíľu počul žiaka oznamujúceho výsledok 918 cm². Učiteľ na to povedal:
„Áno, ale úloha má celkom štyri riešenia. Hľadajte ďalej.“
Viac sa pán Vlk už nedozvedel, lebo nastúpil do svojho autobusu. Keďže matematika bola vždy jeho hobby, vybral si v autobuse ceruzku a papier a po čase určil aj zvyšné tri riešenia učiteľovej úlohy. Spočítajte ich aj vy.

Z9-I-2
Na obrázku sú bodkovanou čiarou znázornené hranice štyroch rovnako veľkých obdĺžnikových parciel. Sivou farbou je význačná zastavaná plocha. Tá má tvar obdĺžnika, ktorého jedna strana tvorí zároveň hranice parciel. Zapísané čísla vyjadrujú obsah nezastavanej plochy na jednotlivých parcelách, a to v m². Vypočítajte obsah celkovej zastavanej plochy.

Z9-I-3
Vĺčkovci lisovali jablkový mušt. Mali ho v dvoch rovnako objemných súdkoch, v oboch takmer rovnaké množstvo. Keby z prvého preliali do druhého 1 liter, mali by v oboch rovnako, ale to by ani jeden súdok nebol plný. Tak radšej preliali 9 litrov z druhého do prvého. Potom bol prvý súdok úplne plný a mušt v druhom zapĺňal práve tretinu objemu. Koľko litrov muštu vylisovali, aký bol objem súdkov a koľko muštu v nich bolo pôvodne?

Z9-I-4
Pán Rýchly a pán Ťarbák v rovnakom čase vyštartovali na tú istú turistickú trasu, len pán Rýchly ju išiel zhora z horskej chaty a pán Ťarbák naopak od autobusu dolu v mestečku na chatu smerom nahor. Keď bolo 10 hodín, stretli sa na trase. Pán Rýchly sa ponáhľal a už o 12:00 bol v cieli. Naopak pán Ťarbák postupoval pomaly, a tak dorazil na chatu až o 18:00. O koľkej páni vyrazili na cestu, ak vieme, že každý z nich išiel celý čas svojou stálou rýchlosťou?

Z9-I-5
Kružnici so stredom S a polomerom 12 cm sme opísali pravidelný šesťuholník ABCDEF a vpísali pravidelný šesťuholník TUVXYZ tak, aby bod T bol stredom strany BC. Vypočítajte obsah a obvod štvoruholníka TCUS.

Z9-I-6
Peter a Pavol oberali v sade jablká a hrušky. V pondelok zjedol Peter o 2 hrušky viac ako Pavol a o 2 jablká menej ako Pavol. V utorok Peter zjedol o 4 hrušky menej ako v pondelok. Pavol zjedol v utorok o 3 hrušky viac ako Peter a o 3 jablká menej ako Peter. Pavol zjedol za oba dni 12 jabĺk a v utorok zjedol rovnaký počet jabĺk ako hrušiek. V utorok večer obaja chlapci zistili, že počet jabĺk, ktoré spolu za oba dni zjedli, je rovnako veľký ako počet spoločne zjedených hrušiek. Koľko jabĺk zjedol Peter v pondelok a koľko hrušiek zjedol Pavol v utorok?

Z9-II-1
Koľko existuje dvojíc štvorciferných palindrómov, ktorých rozdiel je 3674? Palindróm je číslo, ktoré ostane rovnaké, keď ho napíšeme odzadu. Štvorciferný palindróm je teda také štvorciferné prirodzené číslo, ktoré má na mieste jednotiek rovnakú cifru ako na mieste tisícok a na mieste desiatok rovnakú cifru ako na mieste stoviek.

Z9-II-2
Na obrázku sú rovnostranné trojuholníky ABC, DBE, IEF a HIG. Obsahy trojuholníkov DBE, IEF a HIG sú v pomere 9:16:4. V akom pomere sú
1. dĺžky úsečiek HI a IE,
2. obsahy trojuholníkov ABC a HEC?

Z9-II-3
Dané sú štvorce ABCD a KLMN. Dĺžky strán oboch štvorcov sú v centimetroch vyjadrené celým číslom. Bod K je vnútorným bodom úsečky AB, bod L leží v bode B a bod M je vnútorným bodom úsečky BC. Obsah šesťuholníka AKNMCD je 225 cm².
Aký môže byť obvod tohto šesťuholníka? Nájdite všetky možnosti.

Z9-II-4
Martina si vymyslela postup na výrobu číselnej postupnosti. Začala číslom 128. Z neho odvodila ďalší člen postupnosti takto:8² + 5 = 64 + 5 = 69. Potom pokračovala rovnakým spôsobom a z čísla 69 dostala 9² + 5 = 81 + 5 = 86. Vždy teda z predchádzajúceho člena postupnosti vezme cifru na mieste jednotiek, umocní ju na druhú a k tejto mocnine pripočíta konštantu 5.

1. Aké je 2011. číslo tejto postupnosti?
2. Martina opäť začala číslom 128, ale namiesto čísla 5 zvolila ako konštantu iné
prirodzené číslo. Tentoraz jej na 2011. mieste vyšlo číslo 16. Akú konštantu zvolila v tomto prípade?

Z9-III-1
Usporiadateľom výstavy „Na Mesiac a ešte ďalej“ sa po prvom výstavnom dni zdalo, že málo ľudí si kúpilo na pamiatku leták o rakete Apollo 11. Preto znížili jeho cenu o 12 centov. Tým sa síce druhý deň zvýšil počet kupcov letáku o 10%, ale celková denná tržba za letáky sa znížila o 5%. Koľko centov stál leták Apollo 11 po zľave?

Z9-III-2
Lichobežník ABCD, v ktorom strana AB je rovnobežná so stranou CD, je rozdelený uhlopriečkami, ktoré sa pretínajú v bode M, na štyri časti. Určte jeho obsah, keď viete, že trojuholník AMD má obsah 8cm² a trojuholník DCM má obsah 4cm².

Z9-III-3
Cyril a Mirka počítali zo zbierky tú istú úlohu. Zadané boli dĺžky hrán kvádra v milimetroch a úlohou bolo vypočítať jeho objem a povrch. Cyril najskôr previedol zadané dĺžky na centimetre. Počítalo sa mu tak ľahšie, pretože aj po prevode boli všetky dĺžky vyjadrené celými číslami. Obom vyšli správne výsledky, Mirke v mm³ a mm², Cyrilovi v cm³ a cm². Mirkin výsledok v mm³ bol o 17982 väčší ako Cyrilov výsledok v cm³. Mirkin výsledok v mm² bol o 5742 väčší ako Cyrilov výsledok v cm². Určte dĺžky hrán kvádra.

Z9-III-4
Na tabuli sú napísané čísla 1, [pmath size=7]1/2[/pmath], [pmath size=8]1/3[/pmath], [pmath size=8]1/4[/pmath], [pmath size=8]1/5[/pmath] a [pmath size=8]1/6[/pmath]. Na tabuľu môžeme pripísať súčet alebo súčin ľubovoľných dvoch čísel z tabule. Je možné takýmto pripisovaním dosiahnuť, aby sa na tabuli objavilo číslo

a) [pmath size=8]1/60[/pmath]
b) [pmath size=8]2011/375[/pmath]
c) [pmath size=8]1/7[/pmath]?