56. ro\u010dn\u00edk matematickej olympi\u00e1dy 2006-07 (kateg\u00f3rie Z4-Z9)<\/p>\n
<\/a>\n[ hana-code-insert ] 'etarget_text' is not found <\/div><\/p>\n\n\nZ4<\/span><\/td>\nZ5<\/span><\/td>\nZ6<\/span><\/td>\nZ7<\/span><\/td>\nZ8<\/span><\/td>\nZ9<\/span><\/td>\n<\/tr>\n\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n1. kolo<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n2. kolo<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n\n <\/td>\n3. kolo<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/a><\/p>\n<\/p>\nZ4-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-2<\/b>\nMiss STRANGELANDIA dostala tak ve\u013ea r\u00f4znych pon\u00fak od r\u00f4znych modelingov\u00fdch agent\u00far, \u017ee si z nich nevedela vybra\u0165. Napokon sa rozhodla, \u017ee prijme ponuku tej z nich, ktor\u00e1 ako prv\u00e1 uh\u00e1dne \u010d\u00edslo jej top\u00e1nok. Prezradila im, \u017ee je to dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edslo s cifern\u00fdm s\u00fa\u010dtom 12 a \u017ee, keby sa v tomto \u010d\u00edsle zmenilo poradie \u010d\u00edslic, vzniklo by \u010d\u00edslo o 54 v\u00e4\u010d\u0161ie. Ak\u00e9 \u010d\u00edslo top\u00e1nok nos\u00ed Miss STRANGELANDIA?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-3<\/b>\nJurko v\u010dera na magnetickej tabuli vytvoril vzorov\u00fd pr\u00edklad. Dnes, ke\u010f pri\u0161iel do \u0161koly, zistil, \u017ee pani upratova\u010dka ho „upratala“ a v\u0161etky pou\u017eit\u00e9 \u010d\u00edslice a znaky zoradila na dolnom okraji tabule takto:<\/p>\n3 4 5 6 8 9 + =<\/p>\nAk\u00fd pr\u00edklad vytvoril v\u010dera Jurko? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-4<\/b>\nRodi\u010dia prvej slovenskej superstar K.K. sa staraj\u00fa o jasky\u0148u „Zl\u00e1 diera<\/em>„. V jaskyni je tma, n\u00e1v\u0161tevn\u00edci si svietia karbidov\u00fdmi lamp\u00e1\u0161ikmi. Pre seba a pre pani u\u010dite\u013eku m\u00e1 p\u00e1n Ko\u0161\u010d v\u00e4\u010d\u0161iu lampi\u010dku. Lamp\u00e1\u0161ikov v\u0161ak mali len 9, preto sprievodca p\u00e1n Ko\u0161\u010d zoradil na\u0161u skupinu ako husi tak, \u017ee tesne pred t\u00fdm, kto nemal lamp\u00e1\u0161ik, i\u0161iel niekto s lamp\u00e1\u0161ikom alebo lampi\u010dkou. Prv\u00fd v z\u00e1stupe bol on, posledn\u00e1 pani u\u010dite\u013eka s lampi\u010dkou. Lamp\u00e1\u0161ik niesli 4 chlapci, 4 diev\u010dat\u00e1 lamp\u00e1\u0161ik nedostali. Ko\u013eko diev\u010dat bolo v na\u0161ej skupine? Ko\u013eko tam bolo chlapcov?Pozn\u00e1mka:<\/em> Nik neniesol dva lamp\u00e1\u0161iky, a \u017eiadni dvaja s lamp\u00e1\u0161ikmi ne\u0161li tesne za sebou.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n<\/p>\nZ4-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-2<\/b>\nMiss STRANGELANDIA dostala tak ve\u013ea r\u00f4znych pon\u00fak od r\u00f4znych modelingov\u00fdch agent\u00far, \u017ee si z nich nevedela vybra\u0165. Napokon sa rozhodla, \u017ee prijme ponuku tej z nich, ktor\u00e1 ako prv\u00e1 uh\u00e1dne \u010d\u00edslo jej top\u00e1nok. Prezradila im, \u017ee je to dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edslo s cifern\u00fdm s\u00fa\u010dtom 12 a \u017ee, keby sa v tomto \u010d\u00edsle zmenilo poradie \u010d\u00edslic, vzniklo by \u010d\u00edslo o 54 v\u00e4\u010d\u0161ie. Ak\u00e9 \u010d\u00edslo top\u00e1nok nos\u00ed Miss STRANGELANDIA?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-3<\/b>\nJurko v\u010dera na magnetickej tabuli vytvoril vzorov\u00fd pr\u00edklad. Dnes, ke\u010f pri\u0161iel do \u0161koly, zistil, \u017ee pani upratova\u010dka ho „upratala“ a v\u0161etky pou\u017eit\u00e9 \u010d\u00edslice a znaky zoradila na dolnom okraji tabule takto:<\/p>\n3 4 5 6 8 9 + =<\/p>\nAk\u00fd pr\u00edklad vytvoril v\u010dera Jurko? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-4<\/b>\nRodi\u010dia prvej slovenskej superstar K.K. sa staraj\u00fa o jasky\u0148u „Zl\u00e1 diera<\/em>„. V jaskyni je tma, n\u00e1v\u0161tevn\u00edci si svietia karbidov\u00fdmi lamp\u00e1\u0161ikmi. Pre seba a pre pani u\u010dite\u013eku m\u00e1 p\u00e1n Ko\u0161\u010d v\u00e4\u010d\u0161iu lampi\u010dku. Lamp\u00e1\u0161ikov v\u0161ak mali len 9, preto sprievodca p\u00e1n Ko\u0161\u010d zoradil na\u0161u skupinu ako husi tak, \u017ee tesne pred t\u00fdm, kto nemal lamp\u00e1\u0161ik, i\u0161iel niekto s lamp\u00e1\u0161ikom alebo lampi\u010dkou. Prv\u00fd v z\u00e1stupe bol on, posledn\u00e1 pani u\u010dite\u013eka s lampi\u010dkou. Lamp\u00e1\u0161ik niesli 4 chlapci, 4 diev\u010dat\u00e1 lamp\u00e1\u0161ik nedostali. Ko\u013eko diev\u010dat bolo v na\u0161ej skupine? Ko\u013eko tam bolo chlapcov?Pozn\u00e1mka:<\/em> Nik neniesol dva lamp\u00e1\u0161iky, a \u017eiadni dvaja s lamp\u00e1\u0161ikmi ne\u0161li tesne za sebou.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/p>\n
Z4-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-2<\/b>\nMiss STRANGELANDIA dostala tak ve\u013ea r\u00f4znych pon\u00fak od r\u00f4znych modelingov\u00fdch agent\u00far, \u017ee si z nich nevedela vybra\u0165. Napokon sa rozhodla, \u017ee prijme ponuku tej z nich, ktor\u00e1 ako prv\u00e1 uh\u00e1dne \u010d\u00edslo jej top\u00e1nok. Prezradila im, \u017ee je to dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edslo s cifern\u00fdm s\u00fa\u010dtom 12 a \u017ee, keby sa v tomto \u010d\u00edsle zmenilo poradie \u010d\u00edslic, vzniklo by \u010d\u00edslo o 54 v\u00e4\u010d\u0161ie. Ak\u00e9 \u010d\u00edslo top\u00e1nok nos\u00ed Miss STRANGELANDIA?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-3<\/b>\nJurko v\u010dera na magnetickej tabuli vytvoril vzorov\u00fd pr\u00edklad. Dnes, ke\u010f pri\u0161iel do \u0161koly, zistil, \u017ee pani upratova\u010dka ho „upratala“ a v\u0161etky pou\u017eit\u00e9 \u010d\u00edslice a znaky zoradila na dolnom okraji tabule takto:<\/p>\n3 4 5 6 8 9 + =<\/p>\nAk\u00fd pr\u00edklad vytvoril v\u010dera Jurko? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-4<\/b>\nRodi\u010dia prvej slovenskej superstar K.K. sa staraj\u00fa o jasky\u0148u „Zl\u00e1 diera<\/em>„. V jaskyni je tma, n\u00e1v\u0161tevn\u00edci si svietia karbidov\u00fdmi lamp\u00e1\u0161ikmi. Pre seba a pre pani u\u010dite\u013eku m\u00e1 p\u00e1n Ko\u0161\u010d v\u00e4\u010d\u0161iu lampi\u010dku. Lamp\u00e1\u0161ikov v\u0161ak mali len 9, preto sprievodca p\u00e1n Ko\u0161\u010d zoradil na\u0161u skupinu ako husi tak, \u017ee tesne pred t\u00fdm, kto nemal lamp\u00e1\u0161ik, i\u0161iel niekto s lamp\u00e1\u0161ikom alebo lampi\u010dkou. Prv\u00fd v z\u00e1stupe bol on, posledn\u00e1 pani u\u010dite\u013eka s lampi\u010dkou. Lamp\u00e1\u0161ik niesli 4 chlapci, 4 diev\u010dat\u00e1 lamp\u00e1\u0161ik nedostali. Ko\u013eko diev\u010dat bolo v na\u0161ej skupine? Ko\u013eko tam bolo chlapcov?Pozn\u00e1mka:<\/em> Nik neniesol dva lamp\u00e1\u0161iky, a \u017eiadni dvaja s lamp\u00e1\u0161ikmi ne\u0161li tesne za sebou.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-I-2<\/b>\nMiss STRANGELANDIA dostala tak ve\u013ea r\u00f4znych pon\u00fak od r\u00f4znych modelingov\u00fdch agent\u00far, \u017ee si z nich nevedela vybra\u0165. Napokon sa rozhodla, \u017ee prijme ponuku tej z nich, ktor\u00e1 ako prv\u00e1 uh\u00e1dne \u010d\u00edslo jej top\u00e1nok. Prezradila im, \u017ee je to dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edslo s cifern\u00fdm s\u00fa\u010dtom 12 a \u017ee, keby sa v tomto \u010d\u00edsle zmenilo poradie \u010d\u00edslic, vzniklo by \u010d\u00edslo o 54 v\u00e4\u010d\u0161ie. Ak\u00e9 \u010d\u00edslo top\u00e1nok nos\u00ed Miss STRANGELANDIA?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-3<\/b>\nJurko v\u010dera na magnetickej tabuli vytvoril vzorov\u00fd pr\u00edklad. Dnes, ke\u010f pri\u0161iel do \u0161koly, zistil, \u017ee pani upratova\u010dka ho „upratala“ a v\u0161etky pou\u017eit\u00e9 \u010d\u00edslice a znaky zoradila na dolnom okraji tabule takto:<\/p>\n3 4 5 6 8 9 + =<\/p>\nAk\u00fd pr\u00edklad vytvoril v\u010dera Jurko? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-4<\/b>\nRodi\u010dia prvej slovenskej superstar K.K. sa staraj\u00fa o jasky\u0148u „Zl\u00e1 diera<\/em>„. V jaskyni je tma, n\u00e1v\u0161tevn\u00edci si svietia karbidov\u00fdmi lamp\u00e1\u0161ikmi. Pre seba a pre pani u\u010dite\u013eku m\u00e1 p\u00e1n Ko\u0161\u010d v\u00e4\u010d\u0161iu lampi\u010dku. Lamp\u00e1\u0161ikov v\u0161ak mali len 9, preto sprievodca p\u00e1n Ko\u0161\u010d zoradil na\u0161u skupinu ako husi tak, \u017ee tesne pred t\u00fdm, kto nemal lamp\u00e1\u0161ik, i\u0161iel niekto s lamp\u00e1\u0161ikom alebo lampi\u010dkou. Prv\u00fd v z\u00e1stupe bol on, posledn\u00e1 pani u\u010dite\u013eka s lampi\u010dkou. Lamp\u00e1\u0161ik niesli 4 chlapci, 4 diev\u010dat\u00e1 lamp\u00e1\u0161ik nedostali. Ko\u013eko diev\u010dat bolo v na\u0161ej skupine? Ko\u013eko tam bolo chlapcov?Pozn\u00e1mka:<\/em> Nik neniesol dva lamp\u00e1\u0161iky, a \u017eiadni dvaja s lamp\u00e1\u0161ikmi ne\u0161li tesne za sebou.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-I-3<\/b>\nJurko v\u010dera na magnetickej tabuli vytvoril vzorov\u00fd pr\u00edklad. Dnes, ke\u010f pri\u0161iel do \u0161koly, zistil, \u017ee pani upratova\u010dka ho „upratala“ a v\u0161etky pou\u017eit\u00e9 \u010d\u00edslice a znaky zoradila na dolnom okraji tabule takto:<\/p>\n
3 4 5 6 8 9 + =<\/p>\n
Ak\u00fd pr\u00edklad vytvoril v\u010dera Jurko? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n
Z4-I-4<\/b>\nRodi\u010dia prvej slovenskej superstar K.K. sa staraj\u00fa o jasky\u0148u „Zl\u00e1 diera<\/em>„. V jaskyni je tma, n\u00e1v\u0161tevn\u00edci si svietia karbidov\u00fdmi lamp\u00e1\u0161ikmi. Pre seba a pre pani u\u010dite\u013eku m\u00e1 p\u00e1n Ko\u0161\u010d v\u00e4\u010d\u0161iu lampi\u010dku. Lamp\u00e1\u0161ikov v\u0161ak mali len 9, preto sprievodca p\u00e1n Ko\u0161\u010d zoradil na\u0161u skupinu ako husi tak, \u017ee tesne pred t\u00fdm, kto nemal lamp\u00e1\u0161ik, i\u0161iel niekto s lamp\u00e1\u0161ikom alebo lampi\u010dkou. Prv\u00fd v z\u00e1stupe bol on, posledn\u00e1 pani u\u010dite\u013eka s lampi\u010dkou. Lamp\u00e1\u0161ik niesli 4 chlapci, 4 diev\u010dat\u00e1 lamp\u00e1\u0161ik nedostali. Ko\u013eko diev\u010dat bolo v na\u0161ej skupine? Ko\u013eko tam bolo chlapcov?Pozn\u00e1mka:<\/em> Nik neniesol dva lamp\u00e1\u0161iky, a \u017eiadni dvaja s lamp\u00e1\u0161ikmi ne\u0161li tesne za sebou.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-I-6<\/b>\nZ \u010d\u00edsla 1583719<\/strong> vy\u0161krtni tri \u010d\u00edslice tak, aby vzniklo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-II-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 dva ZUBOUHOLN\u00cdKY (svetlosiv\u00fd a tmavosiv\u00fd), ktor\u00e9 sa zahryzli do seba. (ZUBOUHOLN\u00cdK je \u0161peci\u00e1lny druh mnohouholn\u00edka.) Zistite, ktor\u00fd z nich m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obsah a ktor\u00fd m\u00e1 v\u00e4\u010d\u0161\u00ed obvod.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-II-2<\/b>\nV st\u00e1nku s kvetmi maj\u00fa ru\u017ee, tulip\u00e1ny a klin\u010deky (a \u017eiadne in\u00e9 kvety). Ru\u017e\u00ed je o 12 viac ako tulip\u00e1nov a tulip\u00e1nov je o 6 menej ako klin\u010dekov. Spolu je v st\u00e1nku 60 kvetov. Ko\u013eko z tohto po\u010dtu je ru\u017e\u00ed? Ko\u013eko je tulip\u00e1nov a ko\u013eko klin\u010dekov?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z4-II-3<\/b>\nZ \u010d\u00edsel 1523 a 6346 vy\u0161krtni spolu dve \u010d\u00edslice tak, aby s\u00fa\u010det vzniknut\u00fdch \u010d\u00edsel bolo \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo, ktor\u00e9ho ka\u017ed\u00e1 \u010d\u00edslica je nep\u00e1rna.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-1<\/b>\nNa obr\u00e1zku \u010d\u00edslo vid\u00ed\u0161 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk so spolo\u010dnou stranou. Dopl\u0148 do kr\u00fa\u017ekov na tomto obr\u00e1zku \u010d\u00edsla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v \u0161es\u0165uholn\u00edku aj s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v p\u00e4\u0165uholn\u00edku bol 24. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo smie\u0161 pou\u017ei\u0165 len raz. Sta\u010d\u00ed, ke\u010f n\u00e1jde\u0161 jedno rie\u0161enie.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-2<\/b>\nCyklistick\u00e9ho preteku Kr\u00ed\u017eom – kr\u00e1\u017eom sa z\u00fa\u010dastnili \u0161es\u0165\u010dlenn\u00e9 dru\u017estv\u00e1 z celej Eur\u00f3py. Prv\u00fdch desa\u0165 et\u00e1p e\u0161te zvl\u00e1dli v\u0161etci, ale v jeden\u00e1stej etape po hromadnom p\u00e1de odst\u00fapilo 17 cyklistov. V ka\u017edej \u010fal\u0161ej etape ich potom odst\u00fapilo o troch menej ako v predo\u0161lej. Do cie\u013ea poslednej, 15. etapy, do\u0161lo 53 cyklistov. Ko\u013eko dru\u017estiev sa z\u00fa\u010dastnilo preteku?<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-3<\/b>\nTom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n
a)<\/strong> Na bodke pri ktorom \u010d\u00edsle mohla skon\u010di\u0165 Sk\u00e1kalka po tre\u0165om skoku?\n b)<\/strong> Na ktor\u00e9 \u010d\u00edslo sa blcha po\u010das hry v\u00f4bec nemohla dosta\u0165?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-4<\/b>\nPomocou \u010d\u00edslic 0 a\u017e 9 a dvoch desatinn\u00fdch \u010diarok utvor dve desatinn\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby ich s\u00fa\u010det bol \u010do najmen\u0161\u00ed. N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti! (Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu treba pou\u017ei\u0165 pr\u00e1ve raz!)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-5<\/b>\nSedem Snehulienkin\u00fdch trpasl\u00edkov bolo na hr\u00edboch. Pri\u0161li s ko\u0161\u00ed\u010dkami, v ktor\u00fdch mali 34, 19, 50, 44, 31, 28 a 37 hr\u00edbov. Snehulienka im povedala, aby niektor\u00e9 ko\u0161\u00ed\u010dky ulo\u017eili do \u0161pajze, niektor\u00e9 dali ku spor\u00e1ku a ostatn\u00e9 polo\u017eili na st\u00f4l tak, \u017ee v\u0161ade malo by\u0165 rovnako ve\u013ea hr\u00edbov. Trpasl\u00edci sa rozhodli, \u017ee hr\u00edby z ko\u0161\u00ed\u010dkov nebud\u00fa vybera\u0165. Podar\u00ed sa im ulo\u017ei\u0165 ko\u0161\u00ed\u010dky tak, ako to chcela Snehulienka? N\u00e1jdi aspo\u0148 jeden sp\u00f4sob.<\/p>\n(\u0160. Pt\u00e1\u010dkov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-I-6<\/b>\nNa obr\u00e1zku je v \u0161tvor\u010dekovej sieti zn\u00e1zornen\u00e9 \u010d\u00edslo 2007. Zisti obsah sivej \u010dasti obr\u00e1zka, ak vie\u0161, \u017ee strana ka\u017ed\u00e9ho mal\u00e9ho \u0161tvor\u010deka meria 4 cm.<\/p>\n<\/div>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-II-1<\/b>\nDiev\u010dat\u00e1 zbierali uz\u00e1very PET- f\u013ea\u0161\u00ed. \u0160\u00e1rka ich nazbierala 20, Svetlana 29, Marta 31, Maru\u0161ka 49 a Monika 51. Ka\u017ed\u00e9 z diev\u010dat nasypalo v\u0161etky svoje nazbieran\u00e9 uz\u00e1very bu\u010f do modrej, alebo do \u010dervenej \u0161katule. Pa\u013eko pri po\u010d\u00edtan\u00ed uz\u00e1verov zistil, \u017ee v modrej \u0161katuli je dvakr\u00e1t viac uz\u00e1verov ako v \u010dervenej. Ktor\u00e9 diev\u010dat\u00e1 nasypali svoje uz\u00e1very do modrej a ktor\u00e9 do \u010dervenej \u0161katule?<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z5-II-2<\/b>\nNa obr\u00e1zku s\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 3 navz\u00e1jom sa prekr\u00fdvaj\u00face \u0161tvorce. Zisti ich obsahy, ak vie\u0161, \u017ee:<\/p>\n\nstrana najv\u00e4\u010d\u0161ieho \u0161tvorca je o 1 mm dlh\u0161ia, ako strana prostredn\u00e9ho a o 2 mm dlh\u0161ia ako strana najmen\u0161ieho z nich,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 najv\u00e4\u010d\u0161ieho a prostredn\u00e9ho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 100 mm2<\/sup>,\nspolo\u010dn\u00e1 \u010das\u0165 prostredn\u00e9ho a najmen\u0161ieho \u0161tvorca je \u0161tvorec s obsahom 64 mm2<\/sup>.<\/ul>\n(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
(Pozor, obr\u00e1zok m\u00f4\u017ee by\u0165 ve\u013emi nepresn\u00fd, neoplat\u00ed sa ti mera\u0165.)<\/p>\n
Z5-II-3<\/b>\nNa z\u00e1hradke vyr\u00e1stlo \u0161tyrikr\u00e1t viac kaler\u00e1bov ako brokol\u00edc a trikr\u00e1t viac re\u010fkvi\u010diek ako kaler\u00e1bov. Celkov\u00e1 hmotnos\u0165 brokol\u00edc bola 5 kg. Ko\u013eko kusov zeleniny vyr\u00e1stlo na z\u00e1hradke, ak ka\u017ed\u00e1 brokolica v\u00e1\u017eila 250 g? (In\u00e1 zelenina tam ner\u00e1stla.)<\/p>\n(L. \u010cern\u00ed\u010dek)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-1<\/b>\nLuk\u00e1\u0161 natieral latkov\u00fd plot. Ka\u017ed\u00fdch 10 min\u00fat natrel 8 latiek. Jeho mlad\u0161\u00ed brat Kubko mu chv\u00ed\u013eku pom\u00e1hal. Za 7 min\u00fat natrel v\u017edy 4 latky, tak\u017ee Luk\u00e1\u0161 skon\u010dil o \u0161tvr\u0165 hodiny sk\u00f4r, ako predpokladal. Ako dlho mu Kubko pom\u00e1hal?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-2<\/b>\nZo zhodn\u00fdch rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Zisti ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov t\u00fdchto rovnoramenn\u00fdch trojuholn\u00edkov.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-3<\/b>\nHviezda na obr\u00e1zku v \u0161tvorcovej sieti je rozdelen\u00e1 dvomi \u00fase\u010dkami na tri \u010dasti. Zisti obsahy jednotliv\u00fdch \u010dast\u00ed.<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-4<\/b>\nZo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova ved\u00fa tri cesty. (pozri obr\u00e1zok) T\u00e1, ktor\u00e1 je na mape vyzna\u010den\u00e1 ako pln\u00e1, meria 40 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 80 km\/h a vyber\u00e1 sa na nej m\u00fdto 50 kor\u00fan. „Bodkovan\u00e1“ cesta je dlh\u00e1 35 km, najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je na nej 60 km\/h a m\u00fdtne je 150 kor\u00fan. Na „\u010diarkovanej“ ceste, ktor\u00e1 je dlh\u00e1 45 km sa vyber\u00e1 m\u00fdto 100 kor\u00fan a najvy\u0161\u0161ia povolen\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 je 100 km\/h. Ujo Pon\u00e1h\u013eav\u00fd a teta \u0160porovliv\u00e1 sa chc\u00fa dosta\u0165 zo Smut\u0148an do Vesel\u00edkova, ujo \u010do najsk\u00f4r a teta \u010do najlacnej\u0161ie. Obaja si zavolali tax\u00edk. \u0160of\u00e9ri tax\u00edkov cel\u00fa cestu id\u00fa maxim\u00e1lnou povolenou r\u00fdchlos\u0165ou a \u00fa\u010dtuj\u00fa si 15 kor\u00fan za jeden km cesty a zaplaten\u00e9 m\u00fdtne.<\/p>\n
a)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r uja Pon\u00e1h\u013eav\u00e9ho?\n b)<\/strong> Ktorou cestou sa m\u00e1 vybra\u0165 taxik\u00e1r tety \u0160porovlivej?\n c)<\/strong> O ko\u013eko min\u00fat menej bude trva\u0165 ujova cesta v porovnan\u00ed s tetinou?\n d)<\/strong> O ko\u013eko kor\u00fan viac zaplat\u00ed ujo ako teta?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-5<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9. S\u00fa\u010det sedemcifern\u00e9ho pesimistick\u00e9ho a sedemcifern\u00e9ho optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 11001000. Ktor\u00e9 \u010d\u00edslice sme pou\u017eili na z\u00e1pis t\u00fdchto dvoch \u010d\u00edsel?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-I-6<\/b>\nNa\u0161a trieda pl\u00e1novala turistick\u00fd v\u00fdlet. Niektor\u00ed \u017eiaci sa dohadovali o d\u013a\u017eke jeho trasy a tvrdili, \u017ee je to 28, 16, 32, 37 a 15 km. M\u00fdlili sa v\u0161ak o 5, 7, 8, 9 a 14 km. Ak\u00fd dlh\u00fd bol v\u00fdlet v skuto\u010dnosti?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-II-1<\/b>\nZo zhodn\u00fdch siv\u00fdch trojuholn\u00edkov a \u0161iestich zhodn\u00fdch \u0161tvorcov sme zlo\u017eili (bez prekr\u00fdvania) \u00fatvar zn\u00e1zornen\u00fd na obr\u00e1zku. Do jeho stredu sa bez prekr\u00fdvania zmestili tri zhodn\u00e9 \u0161tvoruholn\u00edky, ka\u017ed\u00fd s obsahom 4 cm2<\/sup>.<\/p>\n a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
a)<\/strong> Zistite ve\u013ekosti vn\u00fatorn\u00fdch uhlov siv\u00e9ho trojuholn\u00edka.\n b)<\/strong> Zistite obsah celej sivej plochy.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-II-2<\/b>\nCyril m\u00e1 o \u0161tvrtinu guliek viac ako Boris a ten o \u0161tvrtinu guliek viac ako Adam. Spolu maj\u00fa 122 guliek. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00fd z nich?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z6-II-3<\/b>\nViaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo sa naz\u00fdva optimistick\u00e9<\/i>, ak jeho \u010d\u00edslice z\u013eava doprava rast\u00fa. Ak \u010d\u00edslice \u010d\u00edsla z\u013eava doprava klesaj\u00fa, hovor\u00edme, \u017ee je to \u010d\u00edslo pesimistick\u00e9<\/i>. S\u00fa\u010det pesimistick\u00e9ho a optimistick\u00e9ho \u010d\u00edsla zlo\u017een\u00e9ho z t\u00fdch ist\u00fdch \u010d\u00edslic je 109900, ich rozdiel je 84942. Ktor\u00e9 s\u00fa to \u010d\u00edsla?<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-1<\/b>\nJanka narysovala 6-uholn\u00edk, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n vyjadren\u00e9 v cm s\u00fa cel\u00e9 \u010d\u00edsla. Potom si uvedomila, \u017ee ka\u017ed\u00e9 dve jeho susedn\u00e9 strany s\u00fa na seba kolm\u00e9. Zisti, ako mohol vyzera\u0165 Jankin 6-uholn\u00edk, ak jeho obvod m\u00e1 by\u0165 16 cm a jeho obsah m\u00e1 by\u0165 12 cm2<\/sup>. Narysuj obe mo\u017enosti.<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-2<\/b>\nRozde\u013e obd\u013a\u017enik na obr\u00e1zku, ktor\u00fd sa sklad\u00e1 z rovnak\u00fdch \u0161tvorcov na \u010do najmen\u0161\u00ed po\u010det zhodn\u00fdch \u010dast\u00ed tak, aby ka\u017ed\u00e1 z nich obsahovala len tak\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 d\u00e1vaj\u00fa po delen\u00ed tromi navz\u00e1jom r\u00f4zne zvy\u0161ky. Pozor, reza\u0165 sa smie len po \u010diarach siete!<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-3<\/b>\nUr\u010di po\u010det zlomkov, ktor\u00fdch hodnota je n\u00e1sobkom troch a \u010ditate\u013e aj menovate\u013e s\u00fa trojcifern\u00e9 prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-4<\/b>\nRozpr\u00e1vkov\u00fd dedu\u0161ko niesol vrece zrna do mlyna. Po ceste mu zrno za\u010dalo z vreca vypad\u00e1va\u0165. Tri vt\u00e1\u010diky si v\u0161imli, \u017ee za dedu\u0161kom ost\u00e1va cesti\u010dka ozna\u010den\u00e1 jednotliv\u00fdmi zrnkami. Prv\u00fd i\u0161iel zoba\u0165 zrnk\u00e1 zelen\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 \u0161tvrt\u00e9 zrnko le\u017eiace na zemi. Potom priletel zoba\u0165 \u010derven\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 piate na zemi le\u017eiace zrnko. Nakoniec zlietol na cesti\u010dku modr\u00fd vt\u00e1\u010dik a zozobal ka\u017ed\u00e9 tretie na zemi le\u017eiace zrnko. Ko\u013eko zrniek stratil dedu\u0161ko z vreca, ak vt\u00e1\u010diky zozobali spolu 79 zrniek?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-5<\/b>\nTroj- a viaccifern\u00e9 \u010d\u00edslo s navz\u00e1jom r\u00f4znymi ciframi, pre ktor\u00e9ho \u017eiadne tri za sebou id\u00face \u010d\u00edslice a, b, c<\/em> neplat\u00ed a < b < c<\/em> ani a > b > c<\/em>, sa naz\u00fdva vlnit\u00e9. Nap\u00ed\u0161<\/p>\n a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
a)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 nie je delite\u013en\u00e9 3,\n b)<\/strong> najv\u00e4\u010d\u0161ie vlnit\u00e9 \u010d\u00edslo delite\u013en\u00e9 150.<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-I-6<\/b>\nOsembok\u00fd kolm\u00fd hranol na\u010drtnut\u00fd na obr\u00e1zku vznikol zlepen\u00edm troch kv\u00e1drov. Zisti objem a povrch tohto hranola, ak pozn\u00e1\u0161 d\u013a\u017eky vyzna\u010den\u00fdch hr\u00e1n a vie\u0161, \u017ee z \u00f4smich jeho bo\u010dn\u00fdch stien s\u00fa v\u017edy dve a dve zhodn\u00e9.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-II-1<\/b>\nBaba Jaga pripravila vz\u00e1cny elix\u00edr. Na trhu pon\u00fakala 6 f\u013ea\u0161ti\u010diek \u2013 o objeme 11 ml, 12 ml, 17 ml, 19 ml, 21 ml<\/i> a 26 ml<\/i>. Elix\u00edr bol v\u0161ak iba v piatich z nich. Jedna f\u013ea\u0161ti\u010dka obsahovala zafarben\u00fa vodu. Prv\u00fd kupec si odniesol 2 f\u013ea\u0161ti\u010dky s elix\u00edrom. Druh\u00fd z\u00edskal tie\u017e iba elix\u00edr a bolo ho dvakr\u00e1t viac, ne\u017e ko\u013eko si odniesol prv\u00fd kupec. Viac kupcov nepri\u0161lo a tak si baba Jaga musela svoju f\u013ea\u0161ti\u010dku s vodou odnies\u0165 domov. Ktor\u00e1 to bola? Ko\u013eko ml<\/i> elix\u00edru k\u00fapil prv\u00fd, ko\u013eko druh\u00fd kupec?<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-II-2<\/b>\nKr\u00ed\u017e na obr\u00e1zku je rozdelen\u00fd dvomi \u00fase\u010dkami na \u0161tyri diely. Ur\u010dte obsah ka\u017ed\u00e9ho z nich.<\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\nZ7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z7-II-3<\/b>\nHanka sa hr\u00e1 s tromi pr\u00e1zdnymi n\u00e1dobami. Najprv naplnila vodou a\u017e po okraj najmen\u0161iu a stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu. T\u00fato vodu preliala z oboch n\u00e1dob do najv\u00e4\u010d\u0161ej. T\u00fdm ju naplnila na 50%. Potom znovu naplnila vodou stredne ve\u013ek\u00fa n\u00e1dobu a\u017e po okraj. Touto vodou najprv naplnila najmen\u0161iu n\u00e1dobu a cel\u00fd zvy\u0161ok preliala do najv\u00e4\u010d\u0161ej, ktor\u00fa t\u00fdm doplnila do 2\/3 jej objemu. Ak\u00e9 s\u00fa objemy najmen\u0161ej a najv\u00e4\u010d\u0161ej n\u00e1doby, ak stredne ve\u013ek\u00e1 n\u00e1doba m\u00e1 objem 6 dl?<\/p>\n(M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-1<\/b>\nZ \u010d\u00edslic 1 a\u017e 9 sme utvorili tri zmie\u0161an\u00e9 \u010d\u00edsla . Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?\n(Ka\u017ed\u00fa \u010d\u00edslicu sme pou\u017eili pr\u00e1ve raz!<\/em>)<\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-2<\/b>\nP\u00e1n kr\u00e1\u013e si dal nalia\u0165 pln\u00fa \u010da\u0161u v\u00edna. P\u00e4tinu v\u00edna z nej odpil. Potom si nechal \u010da\u0161u doplni\u0165 vodou a odpil \u0161tvrtinu objemu. Op\u00e4\u0165 mu ju doliali vodou a kr\u00e1\u013e odpil tretinu. Nakoniec \u010da\u0161u e\u0161te raz doliali vodou doplna. Ko\u013eko percent objemu \u010da\u0161e tvor\u00ed p\u00f4vodn\u00e9 v\u00edno?<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-3<\/b>\nJe dan\u00fd pravideln\u00fd dev\u00e4\u0165uholn\u00edk ABCDEFGHI<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 uhla, ktor\u00fd zvieraj\u00fa priamky DG<\/em> a BE<\/em>.<\/p>\n(M. Krej\u010dov\u00e1, M. Raabov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-4<\/b>\n\u017diaci postavili z mno\u017estva rovnak\u00fdch kociek pyram\u00eddu, ktorej \u010das\u0165 vid\u00edte na obr\u00e1zku. Pyram\u00edda, svojho druhu najv\u00e4\u010d\u0161ia na svete, st\u00e1la od tej doby na \u0161kolskom dvore a pr\u0161alo na \u0148u. Po \u010dase sa museli v\u0161etky kocky, na ktor\u00e9 pr\u0161alo, teda tie na povrchu, vymeni\u0165. Vymenilo sa celkom 2 025 kociek. Ko\u013eko mala pyram\u00edda vodorovn\u00fdch vrstiev?<\/p>\n<\/div>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-5<\/b>\nNa l\u00fake sa p\u00e1sli ovce. T\u00fdch s rohami bolo dvakr\u00e1t menej ako t\u00fdch bez rohov. T\u00fdch s tmav\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom bolo to\u013eko ako t\u00fdch so svetl\u00fdm ko\u017e\u00fa\u0161kom. (In\u00e9 ovce, jednoroh\u00e9, f\u013eakat\u00e9 a pod., sa na l\u00fake nep\u00e1sli.) Iba tri tmav\u00e9 ove\u010dky nemali rohy a svetl\u00e9 v\u00f4bec nemali rohy. Ko\u013eko sa p\u00e1slo ove\u010diek na l\u00fake?<\/p>\n(M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-I-6<\/b>\nV\u00fd\u0161ka rovnoramenn\u00e9ho trojuholn\u00edka ABC<\/em> del\u00ed tento trojuholn\u00edk na dve \u010dasti, ktor\u00fdch obsahy s\u00fa v pomere 1:3<\/em>. Ur\u010dte obsah a obvod trojuholn\u00edka ABC<\/em>, ak viete, \u017ee |AC<\/em>| = |BC<\/em>| a |AB<\/em>| = cm.<\/p>\n(L. Hozov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\n<\/p>\nZ8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-II-1<\/b>\nDopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby pr\u00e1ve dve z t\u00fdchto doplnen\u00fdch \u010d\u00edsel boli rovnak\u00e9. N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia!\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku.<\/i><\/p>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-II-2<\/b>\n a)<\/b> Zistite s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch dvojcifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed \u010d\u00edslicou 9.\n b)<\/b> N\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00fdch druh\u00e1 mocnina kon\u010d\u00ed dvoj\u010d\u00edsl\u00edm 44.<\/p>\n(M. Smitkov\u00e1, M. Dillingerov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z8-II-3<\/b>\nDo kru\u017enice k so stredom O<\/i> je vp\u00edsan\u00fd lichobe\u017en\u00edk ABCD<\/i> (AB<\/i>||CD<\/i>), pri\u010dom priamka AC<\/i> je osou uhla DAB<\/i>. Uk\u00e1\u017ete, \u017ee potom |AD<\/i>|=|CD<\/i>| a navy\u0161e, priamka CO<\/i> je osou uhla BCD<\/i>.<\/p>\n(F. Kardo\u0161)<\/div>\n<\/p>\n<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
<\/a><\/p>\n\nZ9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z9-I-1<\/b>\nZistite, ko\u013eko je tak\u00fdch \u0161es\u0165cifern\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 maj\u00fa cifern\u00fd s\u00fa\u010din 750?<\/p>\n(P. Tlust\u00fd)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z9-I-2<\/b>\nV s\u010d\u00edtacej pyram\u00edde sa na ka\u017edej tehli\u010dke (okrem t\u00fdch z najspodnej\u0161ieho riadku) nach\u00e1dza s\u00fa\u010det toho, \u010do je nap\u00edsan\u00e9 na dvoch s \u0148ou susediacich tehli\u010dk\u00e1ch z ni\u017e\u0161ieho riadku. Dopl\u0148te na pr\u00e1zdne tehli\u010dky s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face v\u00fdrazy.<\/p>\n<\/div>\n(S. Bedn\u00e1\u0159ov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z9-I-3<\/b>\nDo kru\u017enice s polomerom 2 cm<\/em> je vp\u00edsan\u00fd pravideln\u00fd \u0161es\u0165uholn\u00edk ABCDEF<\/em>. Priese\u010dn\u00edk priamok FE<\/em> a CD<\/em> ozna\u010dme M<\/em>. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM<\/em>.<\/p>\n(M. Volfov\u00e1)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z9-I-4<\/b>\nMatematickej s\u00fa\u0165a\u017ee sa z\u00fa\u010dastnilo 142 \u017eiakov. Po skon\u010den\u00ed s\u00fa\u0165a\u017ee autor zistil, \u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedn\u00e9ho s\u00fa\u0165a\u017eiaceho je 2,7 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Nie ka\u017ed\u00fd s\u00fa\u0165a\u017eiaci v\u0161ak tretiu \u00falohu odovzdal, tak\u017ee priemern\u00fd po\u010det bodov udelen\u00fdch za tretiu \u00falohu pripadaj\u00faci na jedno odovzdan\u00e9 rie\u0161enie bol 3,9 (zaokr\u00fahlen\u00e9 na desatiny). Ko\u013eko s\u00fa\u0165a\u017eiacich mohlo odovzda\u0165 tretiu \u00falohu?\nPozn\u00e1mka:<\/strong> Ude\u013eovali sa len cel\u00e9 body, neodovzdan\u00e1 \u00faloha bola hodnoten\u00e1 0 bodmi.<\/em><\/p>\n(L. \u0160im\u016fnek)<\/div>\n<\/p>\nZ9-I-5<\/b>
Z9-I-5<\/b>
![\"\"](\"\/56\/56z4a1.gif\")
<\/p>\n![](\"\/56\/56z4b1.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"\/56\/56z5a1.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"\/56\/56z5a2.jpg\")
Tom\u00e1\u0161kova cvi\u010den\u00e1 blcha Sk\u00e1kalka st\u00e1la na cifern\u00edku hod\u00edn na bodke pri \u010d\u00edsle 12. Hrala sa s n\u00edm tak\u00fato hru: Tom\u00e1\u0161ko hodil kockou a blcha sko\u010dila o to\u013eko bodiek \u010falej, ko\u013eko mu padlo na kocke. Ale po prvom hode sk\u00e1kala v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek, po druhom proti smeru a po tre\u0165om op\u00e4\u0165 v smere pohybu hodinov\u00fdch ru\u010di\u010diek. Vieme, \u017ee Tom\u00e1\u0161ko hodil dvojku, p\u00e4\u0165ku a \u0161estku, ale nevieme, v akom porad\u00ed mu padli.<\/p>\n![\"\"](\"\/56\/56z5a2.gif\")
<\/div>\n![](\"\/56\/56z5b1.gif\")
![\"\"](\"\/56\/56z6a1.gif\")
<\/div>\n![\"\"](\"\/56\/56z6a2.gif\")
<\/div>\n![\"\"](\"\/56\/56z6a3.gif\")
![\"\"](\"\/56\/56z6a4.gif\")
![](\"\/56\/56z6b1.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"\/56\/56z7a1.gif\")
<\/div>\n![\"\"](\"\/56\/56z7a2.gif\")
<\/div>\n![](\"56z7b1.gif\")
<\/p>\n![\"\"](\"56z8a1.gif\")
. Potom sme tieto tri \u010d\u00edsla spr\u00e1vne s\u010d\u00edtali. Ak\u00fd najmen\u0161\u00ed s\u00fa\u010det sme mohli dosta\u0165?![\"\"](\"56z8a2.gif\")
<\/div>\n![\"\"](\"56z8a3.gif\")
cm.<\/p>\n![](\"56z8b1.gif\")
<\/p>\n![](\"56z8a4.gif\")
<\/div>\n