{"id":1476,"date":"2021-01-03T16:04:08","date_gmt":"2021-01-03T16:04:08","guid":{"rendered":"http:\/\/matematika.besaba.com\/?p=1476"},"modified":"2021-01-03T16:48:08","modified_gmt":"2021-01-03T16:48:08","slug":"sutazne-ulohy-kategorii-z4-z9-4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematika.besaba.com\/?p=1476","title":{"rendered":"S\u00fa\u0165a\u017en\u00e9 \u00falohy kateg\u00f3ri\u00ed Z4-Z9"},"content":{"rendered":"

<\/a>52. ro\u010dn\u00edk matematickej olympi\u00e1dy 2002-2003
\nS\u00fa\u0165a\u017en\u00e9 \u00falohy kateg\u00f3ri\u00ed Z4-Z9<\/p>\n

aktualizovan\u00e9 3.1.2021 18:00<\/span><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Z4<\/span><\/td>\nZ5<\/span><\/td>\nZ6<\/span><\/td>\nZ7<\/span><\/td>\nZ8<\/span><\/td>\nZ9<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
dom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\ndom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\ndom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\ndom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\ndom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\ndom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
dom\u00e1ce<\/a><\/span><\/td>\nobvodn\u00e9<\/a><\/span><\/td>\nobvodn\u00e9<\/a><\/span><\/td>\nobvodn\u00e9<\/a><\/span><\/td>\nobvodn\u00e9<\/a><\/span><\/td>\nobvodn\u00e9<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0<\/td>\nkrajsk\u00e9<\/a><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Z4-I-1<\/b>
\nNa konskej farme Kop\u00fdtko maj\u00fa len biele, hned\u00e9 a \u010dierne kone. Spolu ich je 27. Pritom hned\u00fdch je viac ako polovica a bielych je dvakr\u00e1t to\u013eko, ako \u010diernych. Ko\u013eko m\u00f4\u017ee by\u0165 na farme bielych, ko\u013eko \u010diernych a ko\u013eko hned\u00fdch kon\u00ed? N\u00e1jdi v\u0161etky mo\u017enosti.<\/p>\n

Z4-I-2<\/b>
\nVladko si rozde\u013eoval lentilky z krabi\u010dky na 5 k\u00f4pok. Ke\u010f u\u017e mal na ka\u017edej rovnako ve\u013ea, ostali mu 2 lentilky v krabi\u010dke, tak ich zjedol. Potom chcel lentilky prerozdeli\u0165 na 4 k\u00f4pky. Op\u00e4\u0165 mu dve ostali a on ich zjedol. Naposledy e\u0161te prerozdelil lentilky na tri k\u00f4pky a jednu zvy\u0161uj\u00facu zjedol. Ko\u013eko najmenej lentiliek mohol ma\u0165 Vladko pred prv\u00fdm delen\u00edm? Ko\u013eko mu ich zostalo po poslednom delen\u00ed?<\/p>\n

Z4-I-3<\/b>
\nMi\u0161ko postavil z dreven\u00fdch kociek na stole stavbu a zakreslil, ako jeho stavba vyzer\u00e1 zhora, spredu a z\u013eava (obr\u00e1zok). Jeho brat Ivko stavbu doplnil rovnak\u00fdmi kockami na najmen\u0161\u00ed mo\u017en\u00fd kv\u00e1der. Ko\u013eko dreven\u00fdch kociek mal kv\u00e1der? Ko\u013eko kociek dop\u013a\u0148al Ivko?<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z4-I-4<\/b>
\nDo ka\u017ed\u00e9ho riadku tabu\u013eky na obr\u00e1zku dop\u00ed\u0161 \u010d\u00edsla 6, 7, 8 a 9 (do riadku ka\u017ed\u00e9 raz) tak, aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel nap\u00edsan\u00fdch v ka\u017edom riadku, st\u013apci aj na uhloprie\u010dke sa dal deli\u0165 tromi bezo zvy\u0161ku. N\u00e1jdi aspo\u0148 dve rie\u0161enia.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z4-I-5<\/b>
\nV Rokforte sa plat\u00ed knutmi a siklami (1 sikel = 24 knutov). Knutov\u00e9 mince existuj\u00fa s tromi r\u00f4znymi hodnotami. Vymyslen\u00e9 s\u00fa tak, \u017ee na zaplatenie ka\u017edej ceny od 1 knuta po 1 sikel sta\u010dia najviac 4 mince. Zisti, ak\u00e9 hodnoty maj\u00fa knutov\u00e9 mince v Rokforte.<\/p>\n

Z4-I-6<\/b>
\nVeronika chod\u00ed ve\u010der beha\u0165. Ke\u010f beh\u00e1 s tatinom, obehn\u00fa tri razy \u0161k\u00f4lku aj \u0161kolu (obr. \u010d. 3). Ke\u010f beh\u00e1 s mamou, obehn\u00fa \u0161tyri razy len \u0161kolu (obr. \u010d. 4). Pritom prebehn\u00fa rovnako ve\u013ea ako s tatinom. Dnes ide beha\u0165 sama iba okolo \u0161k\u00f4lky (obr. \u010d. 5). Ko\u013ekokr\u00e1t ju m\u00e1 obehn\u00fa\u0165, aby prebehla op\u00e4\u0165 rovnako ve\u013ea ako s tatinom?<\/p>\n\n\n\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
obr. 3<\/td>\nobr. 4<\/td>\nobr. 5<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z4-II-1<\/b>
\nTibor chod\u00ed ve\u010der beha\u0165. Ka\u017ed\u00fd ve\u010der prebehne t\u00fa ist\u00fa vzdialenos\u0165, ale beh\u00e1 po dvoch r\u00f4znych tras\u00e1ch. Cez v\u00edkend beh\u00e1 len okolo \u0161koly (obr. 1) a v ostatn\u00e9 dni beh\u00e1 okolo \u0161koly aj \u0161k\u00f4lky (obr. 2). Cez v\u00edkend obehne \u0161kolu v\u017edy 6-kr\u00e1t a v ostatn\u00e9 dni prebehne svoju tra\u0165 v\u017edy iba 4-kr\u00e1t. Vypo\u010d\u00edtajte, ak\u00e9 s\u00fa rozmery pozemku \u0161koly. Ko\u013eko metrov prebehne Tibor v sobotu ve\u010der?<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z4-II-2<\/b>
\nIvko sa v\u017edy na Silvestra sna\u017e\u00ed ve\u010der nezaspa\u0165 a vydr\u017ea\u0165 a\u017e do Nov\u00e9ho roku. Vlani vst\u00e1val na Silvestra o 7:46 r\u00e1no. Aby \u010do najdlh\u0161ie ve\u010der vydr\u017eal, pospal si poobede od 12:35 do 13:52. Ke\u010f potom najbli\u017e\u0161ie zaspal, zistilo sa, \u017ee od r\u00e1na prebdel celkom 16 hod\u00edn a 2 min\u00faty. Vydr\u017eal Ivko a\u017e do Nov\u00e9ho roka? O ko\u013ekej zaspal?<\/P>
\n

Z4-II-3<\/b>
\nAk\u00fd de\u0148 bude pozajtra v\u010deraj\u0161ka, ak predv\u010deraj\u0161ok bol v pondelok popozajtraj\u0161kom?<\/P><\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z5-I-1<\/b>
\nDopl\u0148te do tabu\u013eky prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby v ka\u017edom jej bielom pol\u00ed\u010dku bol s\u00fa\u010din pr\u00edslu\u0161n\u00fdch \u010d\u00edsel z jej \u0161ed\u00e9ho z\u00e1hlavia.<\/p>\n

    <\/div>\n<\/p>\n

Z5-I-2<\/b>
\nNevill zabudol heslo pre vstup do ve\u017ee. Profesorka Mc Gonagallov\u00e1 mu v\u0161ak poradila, \u017ee heslo<\/p>\n

    ▪ sa sklad\u00e1 z 3 r\u00f4znych p\u00edsmen,
\n    ▪ dobre sa vyslovuje, lebo v \u0148om nie s\u00fa 2 spoluhl\u00e1sky ved\u013ea seba,
\n    ▪ v\u0161etky p\u00edsmen\u00e1 hesla n\u00e1jde v mene ved\u00faceho u\u010dite\u013ea Slizolinu – „Snape“.<\/p>\n

Po vysk\u00fa\u0161an\u00ed tretiny v\u0161etk\u00fdch hesiel vyhovuj\u00facich t\u00fdmto podmienkam sa vstup do ve\u017ee otvoril. Ko\u013eko hesiel Nevill vysk\u00fa\u0161al?<\/p>\n

Z5-I-3<\/b>
\nO mnohouholn\u00edku na\u010drtnutom na obr\u00e1zku vieme, \u017ee ho priamka p<\/i><\/b> del\u00ed na dve rovnak\u00e9 \u010dasti a \u017ee 4 jeho r\u00f4zne dlh\u00e9 strany meraj\u00fa 3, 4, 5 a 6 cm. Ak\u00fd obvod m\u00f4\u017ee ma\u0165 tento mnohouholn\u00edk?<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z5-I-4<\/b>
\nMi\u0161o mal v\u010dera o 15 samolepiek viac ako Jo\u017eo. Dnes v\u0161ak ale 17 svojich vymenil za 9 Jo\u017eov\u00fdch a \u010fal\u0161\u00edch 7 vymenil za 13 Ferov\u00fdch. Jo\u017eo okrem t\u00fdch deviatich, ktor\u00e9 vymenil za 17 Mi\u0161ov\u00fdch, vymenil e\u0161te 11 svojich za 6 Andrejov\u00fdch.
Ktor\u00fd z chlapcov m\u00e1 teraz viac samolepiek, Mi\u0161o alebo Jo\u017eo? O ko\u013eko?<\/p>\n

Z5-I-5<\/b>
\nDopl\u0148te do obr\u00e1zku \u010d\u00edsla tak, aby bol na ka\u017edej tehli\u010dke nap\u00edsan\u00fd s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 s\u00fa na tehli\u010dk\u00e1ch od nej tmav\u0161\u00edch.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z5-I-6<\/b>
\nNa obr\u00e1zkus\u00fa zn\u00e1zornen\u00e9 p\u00e4\u0165uholn\u00edk a \u0161es\u0165uholn\u00edk s vrcholmi v mre\u017eov\u00fdch bodoch \u0161tvorcovej siete. Ur\u010dte obsah \u0161es\u0165uholn\u00edka, ak viete, \u017ee p\u00e4\u0165uholn\u00edk m\u00e1 obsah 7,5 cm2<\/sup>.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z5-II-1<\/b>
\nZ prav\u00e9ho vrecka nohav\u00edc som prelo\u017eila 4 p\u00e4\u0165korun\u00e1\u010dky do \u013eav\u00e9ho a z \u013eav\u00e9ho 16 dvojkorun\u00e1\u010dok do prav\u00e9ho. Teraz m\u00e1m v \u013eavom vrecku o 13 kor\u00fan menej ako v pravom. V ktorom vrecku som mala na za\u010diatku viac kor\u00fan a o ko\u013eko?<\/p>\n

Z5-II-2<\/b>
\nNa obr\u00e1zku vid\u00edte \u0161tvorec rozdelen\u00fd na \u0161es\u0165 mnohouholn\u00edkov. V\u0161etky tieto mnohouholn\u00edky maj\u00fa vrcholy v mre\u017eov\u00fdch bodoch \u0161tvorcovej siete a najv\u00e4\u010d\u0161\u00ed z nich m\u00e1 obsah 35mm2<\/sup>. Zistite obsah cel\u00e9ho \u0161tvorca.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z5-II-3<\/b>
\nV \u010dak\u00e1rni u lek\u00e1ra sedeli Ane\u017eka, Bra\u0148o, Cilka, Danka a Edo. Vyp\u00ed\u0161te v\u0161etky mo\u017en\u00e9 poradia, ako si ich lek\u00e1rka mohla vola\u0165 dnu, ak po ka\u017edom diev\u010dati i\u0161iel chlapec, Ane\u017eka ne\u0161la prv\u00e1 a Edo nebol posledn\u00fd.
(Ak je diev\u010da posledn\u00e9, nemus\u00ed po \u0148om u\u017e chlapec \u00eds\u0165.)<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z6-I-1<\/b>
\nSnehulienka pripravuje svojich sedem trpasl\u00edkov na prij\u00edmacie sk\u00fa\u0161ky na S\u0160PT (stredn\u00fa \u0161kolu pre trpasl\u00edkov). V prvom cvi\u010dnom dikt\u00e1te spravili trpasl\u00edci priemerne 35 ch\u00fdb. V druhom \u0160\u0165astko spravil o 15 ch\u00fdb menej ako v prvom, Spachto\u0161 sa zhor\u0161il o 13 a K\u00fdblik o 2 chyby. Hap\u010d\u00ed sa zlep\u0161il o 9 a Vedko dokonca o 19 ch\u00fdb. Ostatn\u00ed dvaja trpasl\u00edci spravili v druhom dikt\u00e1te rovnako ve\u013ea ch\u00fdb ako v prvom. Ko\u013eko ch\u00fdb priemerne spravili trpasl\u00edci v druhom dikt\u00e1te?\n<\/p>\n

Z6-I-2<\/b>
\nDopl\u0148te do s\u010d\u00edtacej pyram\u00eddy zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku \u010d\u00edsla tak, aby medzi dop\u013a\u0148an\u00fdmi \u010d\u00edslami boli aj \u010d\u00edsla: -1,2<\/b> ; 2,3<\/b> ; -3,4<\/b> a aby hore bolo<\/p>\n

    a)<\/i><\/b> \u010do najv\u00e4\u010d\u0161ie \u010d\u00edslo,
\n     b)<\/i><\/b> \u010do najmen\u0161ie \u010d\u00edslo.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z6-I-3<\/b>
\nBoris postavil z 32 z\u00e1paliek obd\u013a\u017enik s r\u00f4zne dlh\u00fdmi stranami. Jeho sestra vlo\u017eila do obd\u013a\u017enika nieko\u013eko z\u00e1paliek a tak ho rozdelila presne na 7 \u0161tvorcov. Ko\u013eko z\u00e1paliek mohli mera\u0165 strany Borisovho obd\u013a\u017enika? V\u0161etky pou\u017eit\u00e9 z\u00e1palky boli rovnako dlh\u00e9 a nel\u00e1mali ich.<\/p>\n

Z6-I-4<\/b>
\nOdvtedy, \u010do si Nov\u00e1kovci k\u00fapili \u0161teniatka Pun\u0165u a F\u013eaka, boli ka\u017ed\u00fd de\u0148 na jednej prech\u00e1dzke. Niekedy so sebou zobrali Pun\u0165u, niekedy F\u013eaka, nikdy nie v\u0161ak oboch ps\u00edkov naraz. Pun\u0165a zatia\u013e ostala doma 14-kr\u00e1t, F\u013eak 16-kr\u00e1t. Na osemn\u00e1stich prech\u00e1dzkach v\u0161ak niektor\u00e9ho zo ps\u00edkov mali. Ako dlho u\u017e Nov\u00e1kovci maj\u00fa Pun\u0165u a F\u013eaka?<\/p>\n

Z6-I-5<\/b>
\nFin\u00e1le s\u00fa\u0165a\u017ee o najkraj\u0161ieho \u0161arkana sa z\u00fa\u010dastnili Adam, Ba\u0161ka a Zuzka. Ka\u017ed\u00fd z 22 porotcov pridelil ka\u017ed\u00e9mu z finalistov 1, 2 alebo 3 body – v\u017edy in\u00fd po\u010det. Adam z\u00edskal 3 body to\u013ekokr\u00e1t ako 1 bod. Dva body mu pridelilo o 4 viac porotcov ako tri body. Ba\u0161ka z\u00edskala 3 body rovnako ve\u013eakr\u00e1t ako Zuzka, zato 2 body pridelilo Ba\u0161ke dva razy to\u013eko porotcov ako Zuzke. Ktor\u00fd z finalistov z\u00edskal najv\u00e4\u010d\u0161\u00ed po\u010det bodov a vyhral? Ko\u013eko bodov to bolo?<\/p>\n

Z6-I-6<\/b>
\nKubo mal v krabici 100 rovnak\u00fdch dreven\u00fdch kociek s hranou 1 dm. Z niektor\u00fdch z nich postavil ve\u013ek\u00fa kocku a 5 jej stien zafarbil na \u010derveno. Potom t\u00fato kocku zb\u00faral a zo v\u0161etk\u00fdch kociek, z ktor\u00fdch bola postaven\u00e1, postavil kv\u00e1der. Aj ten mal pr\u00e1ve 5 stien zafarben\u00fdch na \u010derveno. Ak\u00e9 rozmery mala ve\u013ek\u00e1 kocka a ak\u00e9 kv\u00e1der?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z6-II-1<\/b>
\nV hra\u010dk\u00e1rstve maj\u00fa ve\u013ek\u00e9 a mal\u00e9 ply\u0161ov\u00e9 klokany. Spolu ich je 100. Niektor\u00e9 ve\u013ek\u00e9 klokany s\u00fa klokanice. Ka\u017ed\u00e1 klokanica m\u00e1 vo vaku tri mal\u00e9 klokany, ostatn\u00e9 klokany maj\u00fa vaky pr\u00e1zdne. Zistite, ko\u013eko ve\u013ek\u00fdch klokanov maj\u00fa v obchode, ak viete, \u017ee t\u00fdch s pr\u00e1zdnym vakom je 77.<\/p>\n

Z6-II-2<\/b>
\nKa\u017ed\u00fa zo 64 mal\u00fdch dreven\u00fdch kociek s hranou dlhou 2 cm sme oblepili papierom. Potom sme z t\u00fdchto kociek postavili ve\u013ek\u00fa kocku. Ko\u013eko cm2 papiera by sme u\u0161etrili, keby sme najprv zlepili ve\u013ek\u00fa kocku a a\u017e potom ju oblepili papierom. (Papier lep\u00edme v\u017edy len v jednej vrstve.)<\/p>\n

Z6-II-3<\/b>
\nVeveri\u010dky si na zimu robia z\u00e1soby lieskov\u00fdch orie\u0161kov, hr\u00edbov a jed\u013eov\u00fdch \u0161u\u0161iek. Hrdzavka, Belu\u0161ka aj Kriv\u00e9 u\u0161ko maj\u00fa rovnako ve\u013ea z\u00e1sob, teda orie\u0161kov, hr\u00edbov a \u0161u\u0161iek spolu. Hrdzavka m\u00e1 dvakr\u00e1t to\u013eko orie\u0161kov ako Belu\u0161ka. Kriv\u00e9 u\u0161ko m\u00e1 o 20 orie\u0161kov viac ako Belu\u0161ka. Hr\u00edbov maj\u00fa v\u0161etky tri rovnako ve\u013ea, po 48 kusov. \u0160u\u0161iek maj\u00fa spolu to\u013eko isto ako orie\u0161kov, 180. Ko\u013eko m\u00e1 ka\u017ed\u00e1 veveri\u010dka orie\u0161kov, ko\u013eko \u0161u\u0161iek a ko\u013eko hr\u00edbov?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z7-I-1<\/b>
\nDopl\u0148te do pyram\u00eddy na obr\u00e1zku ch\u00fdbaj\u00face \u010d\u00edsla tak, aby bol na ka\u017edej tehli\u010dke nap\u00edsan\u00fd aritmetick\u00fd priemer \u010d\u00edsel, ktor\u00e9 s\u00fa na tehli\u010dk\u00e1ch od nej tmav\u0161\u00edch.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z7-I-2<\/b>
\nZuzka, Pe\u0165o, Jakub a Hanka hrali gu\u013eky. Ke\u010f hra skon\u010dila, ch\u00fdbali Zuzke do polovice v\u0161etk\u00fdch guliek 4, Pe\u0165o mal jednu p\u00e4tinu a e\u0161te 6 guliek, Jakub trikr\u00e1t menej ako Zuzka a Hanka o jednu gu\u013eku menej ako Jakub. Ktor\u00e9 z det\u00ed malo po skon\u010den\u00ed hry najviac a ktor\u00e9 najmenej guliek?<\/p>\n

Z7-I-3<\/b>
\nV pravidelnom 5-uholn\u00edku ABCDE so stranou d\u013a\u017eky 5 cm ozna\u010dme M priese\u010dn\u00edk \u00fase\u010diek AC a BD. Vypo\u010d\u00edtajte d\u013a\u017eku \u00fase\u010dky AM a ve\u013ekos\u0165 uhla AMB.<\/p>\n

Z7-I-4<\/b>
\nKo\u013eko najmenej \u010dinite\u013eov mus\u00ed ma\u0165 s\u00fa\u010din , aby bol delite\u013en\u00fd stomi?<\/p>\n

Z7-I-5<\/b>
\nNarysovali sme rovnostrann\u00fd trojuholn\u00edk. Rozdelili sme ho na \u0161tyri zhodn\u00e9 \u010dasti. Jednu z nich sme zafarbili a zvy\u0161ok trojuholn\u00edka sme op\u00e4\u0165 rozdelili na 4 zhodn\u00e9 \u010dasti. Narysuj obr\u00e1zok, ktor\u00fd sme takto z\u00edskali.<\/p>\n

Z7-I-6<\/b>
\nPo\u010das dovolenky pani Smoliarikovej 15-kr\u00e1t pr\u0161alo, nikdy nie v\u0161ak cel\u00fd de\u0148: Ak pr\u0161alo doobeda, bolo poobede jasno. Ak pr\u0161alo poobede, bolo jasno ten de\u0148 doobeda. Jasno bolo 9 dopoludn\u00ed a 8 popoludn\u00ed. Ako dlho trvala dovolenka pani Smoliarikovej?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z7-II-1<\/b>
\nN\u00e1jdi v\u0161etky trojice prirodzen\u00fdch \u010d\u00edsel a, b, c tak, aby s\u00fa\u010dasne platilo:<\/p>\n

    •  a < b < c<\/i><\/b>
\n    •  hodnota zlomku je tie\u017e prirodzen\u00e9 \u010d\u00edslo.<\/p>\n

Z7-II-2<\/b>
\nO \u0161tvoruholn\u00edku ABCD vieme, \u017ee ½<\/FONT>AD<\/i>½ = ½<\/FONT>DC<\/i>½<\/FONT>, \u010falej ½Ð<\/FONT> DAB<\/i>½ = ½Ð<\/FONT> BCD<\/i>½<\/FONT> = 90° a ½Ð<\/FONT> ADC<\/i>½<\/FONT> + 100° = ½Ð<\/FONT> ABC<\/i>½<\/FONT>. Ozna\u010dme M priese\u010dn\u00edk os\u00ed uhlov DAC a ACD.<\/p>\n

    a)  Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 vn\u00fatorn\u00e9ho uhla pri vrchole M v trojuholn\u00edku AMC.
\n    b)  Vypo\u010d\u00edtajte ve\u013ekos\u0165 vn\u00fatorn\u00e9ho uhla pri vrchole M v trojuholn\u00edku AMD.<\/p>\n

Z7-II-3<\/b>
\nDominik pozoroval seda\u010dkov\u00fa lanovku. Vyhliadol si jednu seda\u010dku a chcel zisti\u0165, za ako dlho urob\u00ed cel\u00fd okruh, teda zo spodnej stanice sp\u00e4\u0165 do spodnej stanice. Ke\u010f bola jeho seda\u010dka v spodnej stanici, zapol stopky. Spo\u010diatku spodnou stanicou prech\u00e1dzala ka\u017ed\u00fdch 8 sek\u00fand jedna seda\u010dka. No po 3 min\u00fatach a 28 sekund\u00e1ch lanovku pustili r\u00fdchlej\u0161ie a teraz spodnou stanicou prech\u00e1dzali seda\u010dky ka\u017ed\u00fdch 5 sek\u00fand. Ke\u010f sa Dominikova seda\u010dka vr\u00e1tila do spodnej stanice, vypol stopky. Ukazovali 11 min\u00fat a 13 sek\u00fand. Ko\u013eko seda\u010diek mala lanovka?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z8-I-1<\/b>
\nDo tabu\u013eky na obr\u00e1zku vp\u00ed\u0161te navz\u00e1jom r\u00f4zne prirodzen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, aby s\u00fa\u010din \u010d\u00edsel v ka\u017edom riadku, v ka\u017edom st\u013apci a na oboch diagon\u00e1lach bol 1 000 a z\u00e1rove\u0148 aby s\u00fa\u010det \u010d\u00edsel v prvom riadku aj v prvom st\u013apci bol \u010do najv\u00e4\u010d\u0161\u00ed.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z8-I-2<\/b>
\nMravec obieha r\u00fdchlos\u0165ou 1 cm za 4 sekundy po dr\u00e1he pravideln\u00e9ho \u0161es\u0165uholn\u00edka so stranou d\u013a\u017eky 1 cm okolo matice zn\u00e1zornenej na obr\u00e1zku. Ako \u010faleko od miesta, z ktor\u00e9ho vy\u0161tartoval
\n(bod \u0160), bude za 2 a \u0161tvr\u0165 min\u00faty?<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z8-I-3<\/b>
\nNa obr\u00e1zku je trojbok\u00fd hranol. Ko\u013eko existuje tak\u00fdch trojuholn\u00edkov, ktor\u00fdch strany s\u00fa len hrany alebo stenov\u00e9 uhloprie\u010dky tohto hranola?<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z8-I-4<\/b>
\nV t\u00e1bore bolo 80 det\u00ed. Rozdelili sa do 5 skup\u00edn. Ved\u00faci v\u0161ak nebol spokojn\u00fd, a tak p\u00e4tinu det\u00ed z prvej skupiny presunul do druhej. E\u0161te st\u00e1le to nebolo \u00faplne dobr\u00e9, tak presunul p\u00e4tinu det\u00ed z druhej do tretej skupiny. Potom e\u0161te p\u00e4tina det\u00ed z tretej skupiny pre\u0161la do \u0161tvrtej, p\u00e4tina det\u00ed zo \u0161tvrtej skupiny pre\u0161la do piatej a nakoniec p\u00e4tina det\u00ed z piatej skupiny sa pridala k prvej skupine. Takto vznikli skupiny s rovnak\u00fdm po\u010dtom det\u00ed. Ko\u013eko det\u00ed bolo v jednotliv\u00fdch skupin\u00e1ch p\u00f4vodne?<\/p>\n

Z8-I-5<\/b>
\nSle\u010dna Vectorov\u00e1 dala na aritmancii Hermione tak\u00fato \u00falohu: „Narodila som sa v tak\u00fd de\u0148 a mesiac, ktor\u00fdch d\u00e1tum zap\u00edsan\u00fd bez bodiek je s\u00fa\u010dasne poradov\u00fdm \u010d\u00edslom tohto d\u0148a v roku. (Napr. d\u00e1tum 14.1. d\u00e1 \u010d\u00edslo 141, ale je to iba 14. de\u0148 v roku.) Ak vyn\u00e1sob\u00ed\u0161 de\u0148 a mesiac mojich naroden\u00edn, dostane\u0161 m\u00f4j vek v roku 2201. Zisti kedy som sa narodila.“ Vypo\u010d\u00edtajte to aj vy.<\/p>\n

Z8-I-6<\/b>
\nRadka rada posiela z mobiln\u00e9ho telef\u00f3nu textov\u00e9 spr\u00e1vy (SMS). Ka\u017ed\u00fd de\u0148 po\u0161le 3. Zaslanie jednej spr\u00e1vy stoj\u00ed 2,50 Sk. Pri zaslan\u00ed v\u00e4\u010d\u0161ieho po\u010dtu spr\u00e1v m\u00e1 mo\u017enos\u0165 vybra\u0165 si pr\u00e1ve jednu z nasleduj\u00facich pr\u00e9mi\u00ed:
\nPo zaslan\u00ed 10 SMS m\u00f4\u017ee posla\u0165 1 SMS zadarmo.
\nPo zaslan\u00ed 100 SMS m\u00f4\u017ee posla\u0165 10 SMS zadarmo.
\nPo zaslan\u00ed 1000 SMS m\u00f4\u017ee posla\u0165 100 SMS zadarmo.
\nKo\u013eko kor\u00fan najmenej zaplat\u00ed za poslan\u00e9 SMS za jeden rok, od prvej odoslanej SMS?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z8-II-1<\/b>
\nDo Miroslavovho kr\u00e1\u013eovstva chodil Matej nielen si zaspieva\u0165, ale aj dobre sa najes\u0165 a napi\u0165. Za jeden zlat\u00fd dostal cel\u00fa hus a jeden d\u017eb\u00e1nok v\u00edna. Potom tam ale zv\u00fd\u0161ili ceny o 20% a za zlat\u00fd a 5 gro\u0161ov dostal u\u017e len pol d\u017eb\u00e1nku v\u00edna a cel\u00fa hus. Hovor\u00ed sa, \u017ee po splne mesiaca sa ceny znovu zv\u00fd\u0161ia o 20%. Dostane potom Matej za svoj zlat\u00fd a 10 gro\u0161ov aspo\u0148 jednu cel\u00fa hus? Jeden zlat\u00fd m\u00e1 100 gro\u0161ov.<\/p>\n

Z8-II-2<\/b>
\nZistite obsah trojuholn\u00edka ABC<\/b><\/i> z obr\u00e1zka, ak viete:
\n     • ka\u017ed\u00fd bod le\u017eiaci na nejakej \u00fase\u010dke je bu\u010f jej krajn\u00fd bod alebo jej stred,
\n     • obsah \u0161tvoruholn\u00edka CHFI<\/b><\/i> je 5 cm2<\/sup>.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z8-II-3<\/b>
\n\u017diaci 8. A. volili zo \u0161tyroch kandid\u00e1tov svojho z\u00e1stupcu do \u0161kolsk\u00e9ho parlamentu. Dohodli sa, \u017ee na zvolenie je potrebn\u00fd nadpolovi\u010dn\u00fd po\u010det v\u0161etk\u00fdch hlasov a ka\u017ed\u00fd z pr\u00edtomn\u00fdch \u017eiakov, v\u010d\u00edtane kandid\u00e1tov, m\u00e1 jeden hlas. V prvom kole nebol zvolen\u00fd nikto. Ani\u010dke ch\u00fdbali k zvoleniu 3 hlasy, Petrovi 9 hlasov, Marekovi 5 hlasov a Judite 4 hlasy. Ko\u013eko je \u017eiakov v triede, ak hlasovali v\u0161etci \u017eiaci 8. A, okrem piatich, ktor\u00ed sa hlasovania pre chorobu nez\u00fa\u010dastnili?<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z9-I-1<\/b>
\nNahra\u010fte hviezdi\u010dky v \u010d\u00edsle 683 ***<\/b> vhodn\u00fdmi ciframi tak, aby v\u00fdsledn\u00e9 6-cifern\u00e9 \u010d\u00edslo bolo delite\u013en\u00e9 7, 8 a 9. <\/p>\n

Z9-I-2<\/b>
\nVypo\u010d\u00edtajte obsah \u0161edej plochy vyzna\u010denej na obr\u00e1zku, ak viete, \u017ee KL a MN s\u00fa dva navz\u00e1jom kolm\u00e9 priemery kru\u017enice k(S, 6 cm)<\/i><\/b> a A, B, C a D s\u00fa stredy \u00fase\u010diek KS, MS, LS a NS .<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z9-I-3<\/b>
\nDo tabu\u013eky na obr\u00e1zku boli doplnen\u00e9 \u010d\u00edsla tak, \u017ee s\u00fa\u010det trojice \u010d\u00edsel v ka\u017edom „troj\u0161tvor\u010deku<\/em>“ (obr\u00e1zok) bol rovnak\u00fd. „Troj\u0161tvor\u010dek<\/em>“ sa pritom nesmie ot\u00e1\u010da\u0165. Ur\u010dte s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch \u010d\u00edsel v tabu\u013eke.<\/p>\n

     <\/div>\n<\/p>\n

Z9-I-4<\/b>
\nNa priemere kru\u017enice k(S; r)<\/i><\/b> le\u017eia stredy kru\u017en\u00edc l(A; r1<\/sub>)<\/i><\/b> a m(B; r2<\/sub>)<\/i><\/b>. Kru\u017enice l<\/i><\/b> a m<\/i><\/b> maj\u00fa vz\u00e1jomn\u00fd vonkaj\u0161\u00ed dotyk a obe sa dot\u00fdkaj\u00fa aj kru\u017enice k<\/i><\/b>. Okrem nich le\u017e\u00ed v kru\u017enici k <\/i><\/b> e\u0161te kru\u017enica n(C; r3<\/sub>)<\/i><\/b>, ktor\u00e1 sa v\u0161etk\u00fdch troch (teda l<\/i><\/b>, m<\/i><\/b> aj k<\/i><\/b>) dot\u00fdka. Svetlana si mysl\u00ed, \u017ee obvod trojuholn\u00edka ACS je v\u00e4\u010d\u0161\u00ed ako priemer kru\u017enice k<\/i><\/b>. M\u00e1 pravdu? Pre\u010do?<\/p>\n

Z9-I-5<\/b>
\nPriemern\u00fd vek \u017eiaka na\u0161ej \u0161koly je 10 rokov, priemern\u00fd vek u\u010dite\u013ea 54, priemern\u00fd vek v\u0161etk\u00fdch u\u010diacich sa a vyu\u010duj\u00facich spolu je 12 rokov. Zistite priemern\u00fd po\u010det det\u00ed v triedach tejto \u0161koly, ak viete, \u017ee u\u010ditelia u\u010dia v priemere 21 hod\u00edn t\u00fd\u017edenne a \u017eiaci maj\u00fa priemerne 24 vyu\u010dovac\u00edch hod\u00edn do t\u00fd\u017ed\u0148a.<\/p>\n

Z9-I-6<\/b>
\nZvy\u010dajne chod\u00ed Mi\u0161o zo \u0161koly pe\u0161i. Ak v\u0161ak ide na bicykli, jeho priemern\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 sa zv\u00fd\u0161i o 10 km\/h a \u010das, za ktor\u00fd pr\u00edde domov sa skr\u00e1ti o 15 min\u00fat, Ak pre neho pr\u00edde otec autom, priemern\u00e1 r\u00fdchlos\u0165 vzrastie oproti chodeniu pe\u0161i \u0161es\u0165n\u00e1sobne a \u010das sa skr\u00e1ti o 20 min\u00fat. Ako \u010faleko to m\u00e1 Mi\u0161o zo \u0161koly domov? (Pe\u0161i, na bicykli aj autom chod\u00ed tou istou trasou.)<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z9-II-1<\/b>
\nFero a Mi\u0161o si v kempingu postavili stany. Ke\u010f ide Fero najprv po Mi\u0161a, a\u017e potom do jed\u00e1lne, prejde o 20 metrov viac, ako keby i\u0161iel priamo do jed\u00e1lne. Ke\u010f ide Mi\u0161o najprv po Fera a a\u017e potom do jed\u00e1lne, prejde o 16 metrov viac, ako keby i\u0161iel priamo do jed\u00e1lne. Ko\u013eko metrov s\u00fa vzdialen\u00e9 stany kamar\u00e1tov? Ktor\u00fd z nich to m\u00e1 priamou cestou do jed\u00e1lne \u010falej? O ko\u013eko metrov?<\/p>\n

Z9-II-2<\/b>
\nV \u0161achovnici 5\u00d75 na obr\u00e1zku, zlo\u017eenej z piatich \u010dast\u00ed, vyfarbite v\u0161etky pol\u00ed\u010dka piatimi r\u00f4znymi farbami tak, aby bola v ka\u017edej \u010dasti, ka\u017edom riadku aj ka\u017edom st\u013apci ka\u017ed\u00e1 farba pou\u017eit\u00e1 pr\u00e1ve raz. Svoj postup zap\u00ed\u0161te. Napr.: „20 \u2014 \u010derven\u00e1, preto …“<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n

Z9-II-3<\/b>
\nObd\u013a\u017enikov\u00fd papierik s rozmermi 48 mm a 64 mm sme prelo\u017eili po uhloprie\u010dke a vznikol p\u00e4\u0165uholn\u00edk. O ko\u013eko mm2<\/sup> m\u00e1 vzniknut\u00fd p\u00e4\u0165uholn\u00edk men\u0161\u00ed obsah ako p\u00f4vodn\u00fd obd\u013a\u017enik?<\/p>\n

Z9-II-4<\/b>
\nN\u00e1jdite najmen\u0161ie prirodzen\u00e9 \u010d\u00edslo, ktor\u00e9 sa sklad\u00e1 len z cifier 0 a 1 a je bezo zvy\u0161ku delite\u013en\u00e9 s\u00fa\u010dinom \u0161iestich najmen\u0161\u00edch prirodzen\u00fdch \u010d\u00edsel.<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		<\/a>\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Z9-III-1<\/b>
\nN\u00e1jdite v\u0161etky dvojcifern\u00e9 \u010d\u00edsla, ktor\u00e9 po vydelen\u00ed svoj\u00edm cifern\u00fdm s\u00fa\u010dtom d\u00e1vaj\u00fa tretinu svojho cifern\u00e9ho s\u00fa\u010dtu.<\/p>\n

Z9-III-2<\/b>
\nSilvia, Martina a Zdenka maj\u00fa ka\u017ed\u00e1 in\u00fd ob\u013e\u00faben\u00fd kvet, tr\u00e9nuj\u00fa pr\u00e1ve jeden \u0161port (ka\u017ed\u00e1 in\u00fd) a hraj\u00fa pr\u00e1ve na jednom hudobnom n\u00e1stroji (ka\u017ed\u00e1 na inom). Silvia nehr\u00e1 volejbal. T\u00e1, ktorej ob\u013e\u00faben\u00fdm kvetom je tulip\u00e1n, hr\u00e1 basketbal a nehr\u00e1 na klav\u00edri (na tom hr\u00e1 in\u00e9 diev\u010da). Zdenka hr\u00e1 na gitare a jej ob\u013e\u00faben\u00fd kvet je ru\u017ea. Martina hr\u00e1 na flaute. Narcis nie je ob\u013e\u00faben\u00fdm kvetom volejbalistky, ale p\u00e1\u010di sa in\u00e9mu diev\u010da\u0165u. Jedno z diev\u010dat hr\u00e1 tenis; ktor\u00e9 to je? Vyp\u00ed\u0161te, ktor\u00e9 z diev\u010dat \u010do tr\u00e9nuje, na akom n\u00e1stroji hr\u00e1 a ak\u00fd je jeho ob\u013e\u00faben\u00fd kvet.<\/P><\/p>\n

Z9-III-3<\/b>
\nLaco si vystrihol z papiera obd\u013a\u017enik, ktor\u00e9ho d\u013a\u017eky str\u00e1n boli v pomere 3 : 4 a kru\u017enica op\u00edsan\u00e1 tomuto obd\u013a\u017eniku mala polomer 8 cm. Potom tento obd\u013a\u017enik prelo\u017eil po uhloprie\u010dke a vznikol mu p\u00e4\u0165uholn\u00edk. Vypo\u010d\u00edtajte obvod Lacovho p\u00e4\u0165uholn\u00edka.<\/p>\n

Z9-III-4<\/b>
\nDo kr\u00fa\u017ekov na obr\u00e1zku dopl\u0148te \u010d\u00edsla od 1 do 10 (ka\u017ed\u00e9 raz), aby s\u00fa\u010dasne platilo:<\/p>\n

    • „s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch \u010d\u00edsel vo vrcholoch mal\u00e9ho p\u00e4\u0165uholn\u00edka je o 5 men\u0161\u00ed ako s\u00fa\u010det v\u0161etk\u00fdch \u010d\u00edsel vo vrcholoch ve\u013ek\u00e9ho p\u00e4\u0165uholn\u00edka“;
\n    • „v\u0161etky s\u00fa\u010dty troj\u00edc \u010d\u00edsel vo vrcholoch \u0161ed\u00fdch trojuholn\u00edkov s\u00fa rovnak\u00e9“.<\/i><\/p>\n

N\u00e1jdite v\u0161etky rie\u0161enia.<\/p>\n

<\/div>\n<\/p>\n\n\n\n
\n
\n<\/td>\n		\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n